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回归分析与独立性检验



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第( )

周 观察期:□

回归分析与独立性检验
掌握回归分析的实际价值与基本思想.

上课时间

求回归直线方程,会用所学的知识对实际问题进行回归分析. 能运用自己所学的知识对具体案例进行检验与说明. 残差变量的解释; 偏差平方和分解的思想;

回归分析的基本知识点 一、基础知识梳理
1.回归直线:

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有 线性相关关系,这条直线叫作回归直线。 求回归直线方程的一般步骤: ①作出散点图(由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系),若存在 线性相关关系→②求回归系数 →③写出回归直线方程 ,并利用回归直线方程进行预测说明.
2.回归分析:

对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。 教学 过程 建立回归模型的基本步骤是: ①确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量; ②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(线性关系). ③由经验确定回归方程的类型. ④按一定规则估计回归方程中的参数 (最小二乘法); ⑤得出结论后在分析残差图是否异常,若存在异常,则检验数据是否有误,后模型是否合适 等.
3.利用统计方法解决实际问题的基本步骤:

(1)提出问题; (2)收集数据; (3)分析整理数据; (4)进行预测或决策。
4.残差变量 的主要来源:

(1)用线性回归模型近似真实模型(真实模型是客观存在的,通常我们并不知道真实模型

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到底是什么)所引起的误差。可能存在非线性的函数能够更好地描述



之间的关系,

但是现在却用线性函数来表述这种关系,结果就会产生误差。这种由于模型近似所引起的误 差包含在 中。 的因素不只变量 一个,可能还包含其他许多因

(2)忽略了某些因素的影响。影响变量

素(例如在描述身高和体重关系的模型中,体重不仅受身高的影响,还会受遗传基因、饮 食习惯、生长环境等其他因素的影响),但通常它们每一个因素的影响可能都是比较小的, 它们的影响都体现在 中。 的观测值一般是有误差的(比如一个人的

(3)观测误差。由于测量工具等原因,得到的

体重是确定的数,不同的秤可能会得到不同的观测值,它们与真实值之间存在误差),这 样的误差也包含在 中。 上面三项误差越小,说明我们的回归模型的拟合效果越好。

二、例题选讲 例1
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的

生产能耗 y(吨)标准煤的几组对照数据.

x y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图; ? ? (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y = b? x+ a ; (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归 方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 解 (1)散点图如下图:

(2) x =

3? 4?5? 6 4

=4.5, y =

2 .5 ? 3 ? 4 ? 4 .5 4

=3.5

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?
i ?1

4

xi yi

=3×2.5+4×3+4×5+6×4.5=66.5.

?
i ?1

4

xi

2

=3 +4 +5 +6 =86

2

2

2

2

∴ b?

?x
=
i ?1

4

i

yi ? 4 x ? y

?
i ?1

4

=
2 xi

66 . 5 ? 4 ? 3 . 5 ? 4 . 5 86 ? 4 ? 4 . 5
2

=0.7

? 4x

2

? a

= y - b?

x

=3.5-0.7×4.5=0.35.

? ∴所求的线性回归方程为 y =0.7x+0.35.

(3)现在生产 100 吨甲产品用煤 y=0.7×100+0.35=70.35, ∴降低 90-70.35=19.65(吨)标准煤.

例 2:研究某灌溉渠道水的流速
水深 流速 (1)求 对 1.40 1.70

与水深

之间的关系,测得一组数据如下:

1.50 1.79

1.60 1.88

1.70 1.95

1.80 2.03

1.90 2.10

2.00 2.16

2.10 2.21

的回归直线方程; 时水的流速是多少?

(2)预测水深为 1.95

分析:本题考查如何求回归直线的方程,可先把有关数据用散点图表示出来,若这些点 大致分布在通过散点图中心的一条直线附近,说明这两个变量线性相关,从而可利用我们学 过的最小二乘估计思想及计算公式求得线性回归直线方程。 解:1)由于问题中要求根据水深预报水的流速,因此选取水深为解释变量,流速为预报 变量,作散点图:

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由图容易看出,



之间有近似的线性关系,或者说,可以用一个回归直线方程

来反映这种关系。

由计算器求得 对 的回归直线方程为

。 。 代入,易得

(2)由(1)中求出的回归直线方程,把 。 计算结果表示,当水深为 评注: 建立回归模型的一般步骤:

时可以预测渠水的流速为



(1)确定研究对象,明确两个变量即解释变量和预报变量; (2)画出散点图,观察它们之间的关系; (3)由经验确定回归方程类型(若呈线性关系,选用线性回归方程); (4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法); (5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应残差过大,或残差出现不随机的规 律性,等等),若存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否合适等。

例 3:1993 年到 2002 年中国的国内生产总值(GDP)的数据如下:
年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 GDP 34634.4 46759.4 58478.1 67884.6 74462.6 78345.2 82067.5 89468.1 97314.8 104790.6

(1)作 GDP 和年份的散点图,根据该图猜想它们之间的关系应是什么。 (2)建立年份为解释变量,GDP 为预报变量的回归模型,并计算残差。 (3)根据你得到的模型,预报 2003 年的 GDP,并查阅资料,看看你的预报与实际 GDP 的误差 是多少。
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(4)你认为这个模型能较好地刻画 GDP 和年份的关系吗?请说明理由。

解:(1)由表中数据制作的散点图如下:

从散点图中可以看出 GDP 值与年份近线呈线性关系; (2)用 yt 表示 GDP 值,t 表示年份,根据截距和斜率的最小二乘计算公式, 得: 从而得线性回归方程: 残差计算结果见下表:GDP 值与年份线性拟合残差表 年份 残差 年份 残差 1993 -6422.269 1998 1328.685 1994 -1489.238 1999 -2140.984 1995 3037.493 2000 -1932.353 1996 5252.024 2001 -1277.622 1997 4638.055 2002 -993.791

(3)2003 年的 GDP 预报值为 112976.360,根据国家统计局 2004 年统计,2003 年实际 GDP 值 为 117251.9,所以预报与实际相-4275.540; (4)上面建立的回归方程的 R2=0.974,说明年份能够解释约 97%的 GDP 值变化,因此所建立 的模型能够很好地刻画 GDP 和年份的关系。

说明: 关于 2003 年的 GDP 的值来源,不同的渠道可能会有所不同。

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例 4:如下表所示,某地区一段时间内观察到的大于或等于某震级 x 的地震个数为 N,试建
立回归方程表述二者之间的关系。 震级 地震数 震级 地震数 3 28381 5.2 746 3.2 20380 5.4 604 3.4 14795 5.6 435 3.6 10695 5.8 274 3.8 7641 6 206 4 5502 6.2 148 4.2 3842 6.4 98 4.4 2698 6.6 57 4.6 1919 6.8 41 4.8 7 25 5.0

1356 973

解:由表中数据得散点图如下:

从散点图中可以看出,震级 x 与大于该震级的地震次数 N 之间不呈线性相关关系,随着 x 的减少,所考察的地震数 N 近似地以指数形式增长. 做变换 y=lgN,得到的数据如下表所示: x y x y 3 4.453 5.2 2.873 3.2 4.309 5.4 2.781 3.4 4.170 5.6 2.638 3.6 4.029 5.8 2.438 3.8 3.883 6 2.314 4 3.741 6.2 2.170 4.2 3.585 6.4 1.991 4.4 3.431 6.6 1.756 4.6 3.283 6.8 1.613 4.8 3.132 7 1.398 5 2.988

x 和 y 的散点图如下:

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从这个散点图中可以看出 x 和 y 之间有很强的线性相差性,因此可以用线性回归模型拟合它 们之间的关系。根据截距和斜率的最小二乘计算公式,得: 故线性回归方程为: 99.7%的变化。因此,可以用回归方程 描述 x 和 y 之间的关系。 相关指数 R2≈0.997,说明 x 可以解释 y 的

例 4:电容器充电后,电压达到
变化的规律公式

,然后开始放电,由经验知道,此后电压 表示,观测得时间 时的电压

随时间

如下表所示:

0 100 试求电压 对时间

1 75

2 55

3 40

4 30

5 20

6 15

7 10

8 10

9 5

10 5

的回归方程。

分析:由于两个变量不呈线性相关关系,所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之 间的关系,我们可通过对数变换把指数关系变为线性关系,通过线性回归模型来建立 之间的非线性回归方程。 解:对 两边取自然对数得 ,令 由所给数据可得 ,即 。 与

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0 4.6 其散点图为:

1 4.3

2 4.0

3 3.9

4 3.4

5 2.9

6 2.7

7 2.3

8 2.3

9 1.6

10 1.6

由散点图可知 经计算得:



具有线性相关关系,可用

来表示。

(最小二乘法), ,即 。所以, 。

评注:一般地,有些非线性回归模型通过变换可以转化为线性回归模型,即借助于线性 回归模型研究呈非线性回归关系的两个变量之间的关系: (1)如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域,可以选用线性回归模型来建模; (2)如果散点图中的点的分布在一个曲线状带形区域,要先对变量作适当的变换,再利 用线性回归模型来建模。

课后练习:
1.对具有相关关系的两个变量统计分析的一种常用的方法是( A.回归分析 B.相关系数分析 C.残差分析 ) 2.在画两个变量的散点图时,下面叙述正确的是( A.预报变量在 B.解释变量在 轴上,解释变量在 轴上,预报变量在 轴上 轴上 轴上 轴上 ) C.越接近于-1 D.-1 或 1
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) D.相关指数分析

C.可以选择两个变量中任意一个变量在 D.可以选择两个变量中任意一个变量在 3.两个变量相关性越强,相关系数 A.越接近于 0 A.0 B.1 (

B.越接近于 1 C.-1

D.绝对值越接近 1 )

4.若散点图中所有样本点都在一条直线上,解释变量与预报变量的相关系数为(

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5.一位母亲记录了她儿子 3 到 9 岁的身高,数据如下表: 年龄(岁) 身高( 3 94.8 4 104.2 5 108.7 6 117.8 7 124.3 8 130.8 9 139.0

由此她建立了身高与年龄的回归模型 身高,则下面的叙述正确的是( 上 C.她儿子 10 岁时的身高在 145.83 )

,她用这个模型预测儿子 10 岁时的

A.她儿子 10 岁时的身高一定是 145.83

B.她儿子 10 岁时的身高在 145.83 左右 D.她儿子 10 岁时的身高在 145.83 的系数 (

以 以下 )

6.两个变量有线性相关关系且正相关,则回归直线方程中, A. B. C. D. )

7.两个变量有线性相关关系且残差的平方和等于 0,则( A.样本点都在回归直线上 C.样本点比较分散 8.在建立两个变量 与 D.不存在规律

B.样本点都集中在回归直线附近

的回归模型中,分别选择了 4 个不同的模型,它们的相关指数 ) B.模型 2 的相关指数 D.模型 4 的相关指数 为 0.80 为 0.25

如下,其中拟合最好的模型是( A.模型 1 的相关指数 C.模型 3 的相关指数 9.相关指数 = 10.某农场对单位面积化肥用量 下: 15 330 如果 与 20 345 25 365 为 0.98 为 0.50

。 和水稻相应产量 的关系作了统计,得到数据如

30 405

35 445

40 450

45 455

之间具有线性相关关系,求出回归直线方程,并预测当单位面积化肥用量为 )

时水稻的产量大约是多少?(精确到 11.假设美国 10 家最大的工业公司提供了以下数据: 公司 通用汽车

销售总额经 x1/百万美元 126974
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利润 x2/百万美元 4224

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福特 埃克森 IBM 通用电气 美孚 菲利普· 莫利斯 克莱斯勒 杜邦 德士古

96933 86656 63438 55264 50976 39069 36156 35209 32416

3835 3510 3758 3939 1809 2946 359 2480 2413

(1) 作销售总额和利润的散点图,根据该图猜想它们之间的关系应是什么形式; (2)建立销售总额为解释变量,利润为预报变量的回归模型,并计算残差; (3)你认为这个模型能较好地刻画销售总额和利润之间的关系吗?请说明理由。

参考答案: ABDB CAAA

9. 10.由于问题中要求根据单位面积化肥用量预报水稻相应的产量,因此选取单位面积的化肥用 量为解释变量,相应水稻的产量为预报变量,作散点图:

由图容易看出,



之间有近似的线性关系,或者说,可以用一个回归直线方程 由计算器求得 ( *)。 代入, 易得 。 。

来反映这种关系。 对 的回归直线方程为

由 (*) 中求出的回归直线方程, 把

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计算结果表示,当单位面积化肥用量为 11.

时水稻的产量大约是

.

(1)将销售总额作为横轴,利润作为纵轴,根据表中数据绘制散点图如下:

由于散点图中的样本点基本上在一个带形区域分布,猜想销售总额与利润之间呈现线性相关

(2)由最小二乘法的计算公式,得: 则线性回归方程为: 其残差值计算结果见下表: 销售总额 利润 残差 销售总额 利润 残差 126974 4224 -361.034 50976 1809 96933 3835 19.015 39069 2946 86656 3510 -42.894 36156 359 63438 3758 799.487 35209 2480 55264 3939 1189.742 32416 2413

-830.486 611.334 -1901.09 244.150 248.650 2 (3)对于(2)中所建立的线性回归方程,相关指数为 R ≈0.457,说明在线性回归模型中销售总额 只能解释利润变化的 46%,所以线性回归模型不能很好地刻画销售总额和利润之间的关系。 说明:此题也可以建立对数模型或二次回归模型等,只要计算和分析合理,就算正确。

独立性检验的基本知识点
基础知识梳理
1.独立性检验 利用随机变量 来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个

分类变量的独立性检验。
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2.判断结论成立的可能性的步骤: (1)通过三维柱形图和二维条形图,可以粗略地判断两个分类变量是否有关系,但是这 种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度。 (2)可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系,并且能较精确地给出这种判 断的可靠程度。

例题选讲
例 1.为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关,调查了 339 名 50 岁以上的人,调查结果如下
表所示: 患病 吸烟 不吸烟 合计 43 13 56 不患病 162 121 283 合计 205 134 339

试问:50 岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关吗? 分析: 最理想的解决办法是向所有 50 岁以上的人作调查, 然后对所得到的数据进行统计处理, 但这花费的代价太大,实际上是行不通的,339 人相对于全体 50 岁以上的人,只是一个小部 分,已学过总体和样本的关系,当用样本平均数,样本方差去估计总体相应的数字特征时, 由于抽样的随机性,结果并不唯一。现在情况类似,我们用部分对全体作推断,推断可能正 确,也可能错误。如果抽取的 339 个调查对象中很多人是吸烟但没患慢性气管炎,而虽不吸 烟因身体体质差而患慢性气管炎,能够得出什么结论呢?我们有 95%(或 99%)的把握说事 件 与事件 有关,是指推断犯错误的可能性为 5%(或 1%),这也常常说成是“以 95%

(或 99%)的概率”是一样的。 解:根据列联表中的数据,得

。 因为 有关。 评注:对两个分类变量进行独立性检验,要对样本的选取背景、时间等因素进行分析。 ,所以我们有 99%的把握说:50 岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯

例 2.甲乙两个班级进行一门考试,按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后,得到如下
的列联表: 班级与成绩列联表 优秀
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不优秀

总计

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甲班 乙班 总计

10 7 17

35 38 73

45 45 90

画出列联表的条形图,并通过图形判断成绩与班级是否有关;利用列联表的独立性检验估计, 认为“成绩与班级有关系”犯错误的概率是多少。 解:列联表的条形图如图所示:

由图及表直观判断,好像“成绩优秀与班级有关系”;由表中数据计算得 K2 的观察值为 k≈0.653>0.455。 由下表中数据 P(K2≥k) k
2

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

得:P(K ≥0.455)≈0.50, 从而有 50%的把握认为“成绩与班级有关系”,即断言“成绩优秀与班级有关系”犯错误的概 率为 0.5。 评注:(1)画出条形图后,从图形上判断两个分类变量之间是否有关系。这里通过图形的直 观感觉的结果可能会出错。 (2)计算得到 K2 的观测值比较小,所以没有理由说明“成绩优秀与班级有关系”。这与 反证法也有类似的地方,在使用反证法证明结论时,假设结论不成立的条件下如果没有推出 矛盾,并不能说明结论成立也不能说明结论不成立。在独立性检验中,在假设“成绩优秀与班 级没有关系”的情况下, 计算得到的 K2 的值比较小, P(K2≥0.653)≈0.42, 且 说明事件(K2≥0.653) 不是一个小概率事件,这个事件的发生不足以说明“成绩优秀与班级没有关系”,即没有理由 说明“成绩优秀与班级有关系”。 这里没有推出小概率事件发生类似于反证法中没有推出矛盾。

例 3.为考察某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,得到如下的列联列表:
药物效果与动物试验列联表 患病 服用药 没服用药 总计 10 20 30
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未患病 45 30 75

总计 55 50 105

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请问能有多大把握认为药物有效? 解: 假设“服药情况与是否患病之间没有关系”,则 K2 的值应比较小;如果 K2 的值很大,则 说明很可能“服药情况与是否患病之间有关系”。由题目中所给数据计算,得 K2 的观测值为 k≈6.110, P(K2≥5.024)≈0.025, 而 所以有 97.5%的把握认为“服药情况与是否患病之间有关系”, 即大约有 97.5%的把握认为药物有效。

例 4.在一次恶劣气候的飞行航程中调查男女乘客在机上晕机的情况如下表所示,根据此资
料你是否认为在恶劣气候中男人比女人更容易晕机? 晕机 男人 女人 合计 分析:这是一个 24 8 32 不晕机 31 26 57 合计 55 34 89

列联表的独立性检验问题,根据列联表的数据求解。

解:由条件中数据,计算得: 因为



,所以我们没有理由说晕机是否跟男女性别有关,尽管这次航班中

男人晕机的比例 人比女人更容易晕机。 评注:在使用

比女人晕机的比例

高, 但我们不能认为在恶劣的气候飞行中男

统计量作

列联表的独立性检验时,要求表中的 4 个数据大于等

于 5,为此,在选取样本的容量时一定要注意这一点,本例中的 4 个数据都大于 5,且满足这 一要求的。

课后练习:
1.在一次独立性检验中,其把握性超过了 99%,则随机变量 A.6.635 B.5.024 C.7.897 ) D.独立性检验 D.3.841 的可能值为( )

2.把两个分类变量的频数列出,称为( A.三维柱形图 3.由列联表 B.二维条形图

C.列联表

合计

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43 13 合计 则随机变量 的值为 56

162 121 283 。

205 134 339

4.某大学希望研究性别与职称之间是否有关系,你认为应该收集哪些数据? 5.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了该选修课的一些学生情况,具体数据如下表: 非统计专业 男 女 13 7 统计专业 10 20

为了检验主修专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到

。因为 别有关系。这种判断出错的可能性为 。

,所以断定主修统计专业与性

6.在对人们休闲的一次调查中,共调查了 124 人,其中女性 70 人,男性 54 人。女性中有 43 人主要的休闲方式是看电视,另外 27 人主要的休闲方式是运动;男性中有 21 人主要的休 闲方式是看电视,另外 33 人主要的休闲方式是运动。 (1)根据以上数据建立一个 的列联表;

(2)检验性别与休闲方式是否有关系。

7. 调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系,得到下面的数据表。试问能以多 大把握认为婴儿的性别与出生的时间有关系。 出生时间 性别 男婴 女婴 合计

晚上 24 8 32

白天 31 26 57

合计 55 34 89

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参考答案: 1.C 2.C 3.7.469 4.女教授人数,男教授人数,女副教授人数,男副教授人数(或高级职称中女性的人数,高级职 称中男性的人数,中级职称中女性的人数,中级职称中男性的人数。) 5.5%(或 0.05) 6.答案: (1) 的列联表:

看电视 女 男 合计 43 21 64

运动 27 33 60

合计 70 54 124

(2)假设休闲方式与性别无关,计算

; 因为 ,所以有理由认为假设休闲方式与性别无关是不合理的,即我们有 97.5%

的把握认为休闲方式与性别无关。 7.由所给数据计算得 K2 的观测值为 k≈3.689,而由 P(K2≥k) k 0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

知 P(K2≥2.706)=0.10 所以有 90%的把握认为“婴儿的性别与出生的时间有关系”。

作业
本节课教学计划完成情况:照常完成□ 课 后 记 学生的接受程度:完全能接受□ 学生的课堂表现:很积极□ 提前完成□ 延后完成□

部分能接受□ 一般□

不能接受□ 不积极□ 分 存在问题

比较积极□

学生上次的作业完成情况:数量 备

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