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高一数学竞赛试题(1)



高一数学竞赛试题(1)
一、单选题(8×5′=40′) 1、已知集合 A ? x ?2 ? x ? 7 , B ? x m ? 1 ? x ? 2m ? 1 且 B ? ? ,若 A ? B ? A , 则( ) (A) ?3 ? m ? 4 (C) 2 ? m ? 4 (B) ?3 ? m ? 4 (D) 2 ? m ? 4

?

/>?

?

?

2、已知 a ? ?1, 2 ? , b ? ? x, ?2 ? 且 a ? a ? b ,则实数 x 为( (A)-7 (B)9 (C)4 (D)-4 3、同时掷两枚骰子,得到的点数和为 6 的概率是( ) (A)

?

?

?

?

?

?

?



5 12

(B)

5 36
2 2

(C)

1 9

(D)

5 18


4、直线 3x ? y ? m ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 2 ? 0 相切,则实数 m 等于( (A) 3 或 ? 3 (C) ?3 3 或 3 5、函数 y ? 2sin ? 2 x ? (B) ? 3 或 3 3 (D) ?3 3 或 3 3

? ?

??

? 的一个单调递减区间是( 4?
(B) ? ?



(A) ? ? , ? ? 8 8 (C) ? ? , ? ? 4 4

?3 ?

7 ? ? 5 ? ?

? ? 3 ? , ? ? 8 8 ? ? ? ? ?? , ? 4 4? ?

?3 ?

(D) ? ?

6、一个与球心距离为 1 的平面截球所得圆面面积为 ? ,则球的表面积为( ) (A) 8 2? (C) 4 2? (B) 8? (D) 4? )

7、直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是( (A) x ? 2 y ? 1 ? 0 (C) 2 x ? y ? 3 ? 0 (B) 2 x ? y ? 1 ? 0 (D) x ? 2 y ? 3 ? 0

8、已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2 ? ? ? f ? x ? ,则 f ? 6 ? 的值为( ) (A)-1 (B)0 二、填空题(6×5′=30′) (C)1 (D)2

1

9、方程 log 3

?x

2

?10

?

? 1 ? log 3 x 的解是

。 。 。

10、正方体的内切球与其外接球的体积之比为 11、过点 ? ?1,3? 且平行于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为 12、方程 sin x ?

x 有 10

个根。

1 ,则 cos ? ? 。 2 ? ? ? ? 14、已知 a ? ?1, 2 ? , b ? ? ?2,3 ? ,则 a 在 b 上的射影长
13、已知 sin ?? ? ? ? ? ? 三、解答题(第 15、16 题各 12 分,第 17、18、19、20 题各 14 分) 15、若对于一切实数 x 、 y ,都有 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? (1)求 f ? 0 ? 并证明 f ? x ? 为奇函数; (2)若 f ?1? ? 3 ,求 f ? ?3? 。



16、为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从 A 、 B 、 C 三 个区中抽取 7 个工厂进行调查,已知 A 、 B 、 C 区中分别有 18、27、18 个工厂。 (1)求从 A 、 B 、 C 区中应分别抽取的工厂个数; (2) 若从抽得的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果的对比, 用列举法计算这 2 个工 厂中至少有 1 个来自 A 区的概率。

17、已知函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? (1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)如何由 y ? 2sin x 的图象通过 适当的变换得到函数 f ? x ? 的 图象,写出变换过程。

? ?

??

? 的部分图象如图所示 2?
y 2 · O ?

·

5 ? 12
x

6

2

18、设两个非零向量 e1 和 e2 不共线; (1)试确定实数 k ,使 ke1 ? e2 和 e1 ? ke2 共线; (2)若 e1 ? 2 , e2 ? 3 ,e1 与 e2 的夹角为 60°,试确定 k ,使 ke1 ? e2 与 e1 ? ke2 垂 直。

??

?? ?

?? ?? ?
??

??

?? ?

??

?? ?

?? ?

?? ?? ?

??

?? ?

19、如图:在四面体 A ? BCD 中, AE ? 平面 BCD , BC ? CD , BC ? CD , AC ? BD , E 是 BD 的中点; (1)求证 AC ? BD ; (2)求直线 AC 与平面 BCD 所成的角。

A

B

E

D

C 20、已知方程 x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 ;
2 2

(1)若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M 、 N 两点且 OM ? ON ( O 为坐标原点) ,求 m 的值。

3

高一数学竞赛试题参考答案

∴ f ??x? ? ? f ? x? ∴ y ? f ? x ? 为奇函数 (2)∵ y ? f ? x ? 为奇函数 ∴ f ? ?3? ? ? f ? 3? 又 f ? 3? ? f ?1? ? f ?1? ? f ?1? ? 3 f ?1? ∴ f ? ?3? ? ?3 f ?1? ? ?9 16、解: (1)工厂总数为 18+27+18=63 (2)样本容量与总体中的个体数之比为

7 1 ? 63 9

∴从 A 、 B 、 C 三个区应分别抽取工厂数为 2、3、2

11 21 17、 (1)由图象可知 A ? 2
(2) P ?

?? 2? ? 5 f ? x ? 的最小正周期 T ? 4 ? ? ? ? ? ? ,故 ? ? ?2 6? T ? 12

4

∵点 ?

?? ? , 2 ? 在 f ? x ? 的图象上 ?6 ? ?? ? ?? ? ?1 ?3 ?

∴ sin ?

∵? ? ∴? ?

?
2

?

6
? ?

∴ f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

??
? 6?

即 ? k ? ? ? e1 ? ?1 ? ? k ? e2 ? 0 ∵ e1 与 e2 为非零不共线向量 ∴?

??

?? ?

?

??

?? ?

?k ? ? ? 0 ?1 ? ? k ? 0
?? ?? ?

∴ k ? ?1

(2)由 ke1 ? e2

?

? ? e ? ke ? ? 0 得
1 2

??

?? ?

? 2 ? ? ?? ? ? ?? 2 ? k e1 ? ? k 2 ? 1? e1 ? e2 ? k e2 ? 0
∴ 4k ? 3k ? 3 ? 9k ? 0
2



3k 2 ? 13k ? 3 ? 0

5

∴k ?

?13 ? 133 6

20、解: (1)方程 x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 变形为
2 2

? x ? 1?

2

? ? y ? 2? ? 5 ? m
2

∵此方程表示圆 ∴5?m ? 0 ∴m?5

? x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 (2)由 ? 消去 x 得 ?x ? 2 y ? 4 ? 0

5 y 2 ? 16 y ? m ? 8 ? 0
设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ?

6

16 ? ? y1 ? y2 ? 5 ? ∴? ?y y ? m ?8 ? 1 2 5 ?
∵ OM ? ON ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 又∵ x1 ? 4 ? 2 y1 , x2 ? 4 ? 2 y2 ∴ ? 4 ? 2 y1 ?? 4 ? 2 y2 ? ? y1 y2 ? 0 ∴ 16 ? 8 ? y1 ? y2 ? ? 5 y1 y2 ? 0 ∴ 16 ? 8 ? ∴m ?

16 m?8 ? 5? ?0 5 5

8 5

7



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