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辅导资料:全等三角形问题中常见的辅助线的作法 (1) 2


全等三角形问题中常见的辅助线的作法
常见辅助线的作法有以下几种: 1) 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变 换中的“对折” . 2) 遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的 思维模式是全等变换中的“旋转” . 3) 遇到角平分线, 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线, 利用的思维模式是三角 形全等变换中的“对折” ,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理. 4) 过图形上某一点作特定的平分线, 构造全等三角形, 利用的思维模式是全等变换中的 “平 移”或“翻转折叠” 5) 截长法与补短法, 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等, 或是将某条 线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法, 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目. 特殊方法: 在求有关三角形的定值一类的问题时, 常把某点到原三角形各顶点的线段连 接起来,利用三角形面积的知识解答. 一、倍长中线(线段)造全等 例 1、 ( “希望杯” 试题) 已知, 如图△ABC 中, AB=5, AC=3, 则中线 AD 的取值范围是_________.

A

B

D

C

例 2、如图,△ABC 中,E、F 分别在 AB、AC 上,DE⊥DF,D 是中点,试比较 BE+CF 与 EF 的 大小.

A E F B D C

-1-

例 3、如图,△ABC 中,BD=DC=AC,E 是 DC 的中点,求证:AD 平分∠BAE.

A

B

D

E

C

应用: 1、 (09崇文二模)以 ? ABC 的两边AB 、 AC为腰分别向外作等腰Rt ?ABD 和等腰 Rt ? ACE , ?BAD ? ?CAE ? 90?, 连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:AM与DE 的位置关系及数量关系. (1)如图① 当 ? ABC 为直角三角形时,AM与DE的位置关系是 线段AM与DE的数量关系是 ;
?



(2) 将图①中的等腰Rt ?ABD 绕点A沿逆时针方向旋转 ? (0< ? <90)后, 如图②所示, (1) 问中得到的两个结论是否发生改变?并说明理由.

-2-

二、截长补短 1、如图, ?ABC 中,AB=2AC,AD 平分 ?BAC ,且 AD=BD,求证:CD⊥AC
A

C B D

2、如图,AC∥BD,EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA,CD 过点 E,求证;AB=AC+BD
A D

E

B

C

0 3、如图,已知在 ? ABC 内, ?BAC ? 60 , ?C ? 40 ,P,Q 分别在 BC,CA 上,并且 AP,
0

BQ 分别是 ?BAC , ?ABC 的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP
B

A

Q P

4、如图,在四边形 ABCD 中,BC>BA,AD=CD,BD 平分 ?ABC , 求证: ?A ? ?C ? 180
0

C

A D

B

C

-3-

5、如图在△ABC 中,AB>AC,∠1=∠2,P 为 AD 上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC
A

1 P

2

B

C D

应用:

三、平移变换 例 1 AD 为△ABC 的角平分线,直线 MN⊥AD 于 A.E 为 MN 上一点,△ABC 周长记为 PA , △EBC 周长记为 PB .求证 PB > PA .

-4-

例 2 如图,在△ABC 的边上取两点 D、E,且 BD=CE,求证:AB+AC>AD+AE.

A

B

D

E

C

四、借助角平分线造全等 1、如图,已知在△ABC 中,∠B=60°,△ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O,求证:OE=OD
A

E O

B

D

C

2、如图,△ABC 中,AD 平分∠BAC,DG⊥BC 且平分 BC,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F. (1)说明 BE=CF 的理由; (2)如果 AB= a ,AC= b ,求 AE、BE 的长.

A

E B G C F

D

-5-

应用: 1、如图①,OP 是∠MON 的平分线,请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全 等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题: (1)如图②,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B=60°,AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA 的平分线,AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系; (2)如图③,在△ABC 中,如果∠ACB 不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问,你 在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。 B M E O
图①

B E F A
图② (第 23 题图)

P N

D C A

F

D

图③

C

五、旋转 例 1 正方形 ABCD 中,E 为 BC 上的一点,F 为 CD 上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF 的度数.

A

D F

B

E

C

例 2 D 为等腰 Rt ?ABC 斜边 AB 的中点,DM⊥DN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。 (1) 当 ?MDN 绕点 D 转动时,求证 DE=DF。 (2) 若 AB=2,求四边形 DECF 的面积。 B

A E C F

M

A

N

-6-

例 3 如图, ?ABC 是边长为 3 的等边三角形, ?BDC 是等腰三角形,且 ?BDC ? 120 ,
0

以 D 为顶点做一个 60 角,使其两边分别交 AB 于点 M,交 AC 于点 N,连接 MN,则 ?AMN
0

的周长为


A

M

N B C

D

应用: 1 、 已 知 四 边 形 ABC D中 , AB ? AD, BC ? CD , AB ? BC , ∠ABC ? 120 ,
?

∠MBN ? 60? ,∠MBN 绕 B 点旋转,它的两边分别交 AD,DC (或它们的延长线)
于 E,F . 当 ∠MBN 绕 B 点旋转到 AE ? CF 时(如图 1) ,易证 AE ? CF ? EF . 当 ∠MBN 绕 B 点旋转到 AE ? CF 时,在图 2 和图 3 这两种情况下,上述结论是否成 立?若成立,请给予证明;若不成立,线段 AE,CF , EF 又有怎样的数量关系?请写出 你的猜想,不需证明.

A
B
C

A
E M B
C

A E
M D B F
N
(图 3)

F

D

C

N

F

D E M

N

(图 1)

(图 2)

-7-

2、 (西城 09 年一模)已知:PA= 2 ,PB=4,以 AB 为一边作正方形 ABCD,使 P、D 两点落在 直线 AB 的两侧. (1)如图,当∠APB=45°时,求 AB 及 PD 的长; (2)当∠APB 变化,且其它条件不变时,求 PD 的最大值,及相应∠APB 的大小.

3、在等边 ?ABC 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N,D 为 ? ABC 外一点,且

?MDN ? 60 ? , ?BDC ? 120 ? ,BD=DC. 探究:当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时,
BM、NC、MN 之间的数量关系及 ?AMN 的周长 Q 与等边 ?ABC 的周长 L 的关系.

图1 图2 图3 (I)如图 1,当点 M、N 边 AB、AC 上,且 DM=DN 时,BM、NC、MN 之间的数量 关系是 ; 此时

(II)如图 2,点 M、N 边 AB、AC 上,且当 DM ? DN 时,猜想(I)问的两个结论还 成立吗?写出你的猜想并加以证明; (III) 如图 3,当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时, 若 AN= x ,则 Q= (用 x 、L 表示) .

Q ? L



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