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吉林省实验中学2014届高三年级第一次模拟数学文试题



吉林省实验中学 2014 届高三年级第一次模拟 数学文试题
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {1, 2 }, B ? {a, b}, 若 A ? B ? { } ,则 A ? B 为(
a

1 2

)

1 1

1 C. {1, } D. {?1, ,1} 2 2 2 10 2.设 i 是虚数单位,若复数 a ? (a ? R) 是纯虚数,则 a 的值为( ) 3?i
A. { ,1, b} B. {?1, } A. ?3 B. ?1 C.1 D.3 3.已知直线 l ⊥平面 ? ,直线 m?平面 ? ,则“ ? ∥ ? ”是“l ⊥m”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

1 2

4.若 {an } 为等差数列, S n 是其前 n 项和,且 S11 ? A. 3 B. ? 3 C. ? 3

22? ,则 tan a6 的值为( 3
D. ?



3 3

5.函数 f ( x) ? cos 2 x ? sin( A.非奇非偶函数

5? ? x) 是( ) 2

B.仅有最小值的奇函数

C.仅有最大值的偶函数 D.既有最大值又有最小值的偶函数 6.在 ?ABC 中,D 是 AB 中点,E 是 AC 中点,CD 与 BE 交于点 F, 设 AB ? a, AC ? b, AF ? xa ? yb ,则 ( x, y ) 为( A. ( , )

??? ?

? ????

? ??? ?

?

?

) D. ( , )

1 1 2 2

B. ( , )

2 2 3 3

C. ( , )

1 1 3 3

2 1 3 2

7.已知函数 f ( x ) ? ? 围是( A. [0,1) )

?0, x ? 0
x ?e , x ? 0

,则使函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? m 有零点的实数 m 的取值范

B. (??,1)

C. (??,1] ? (2,??)
2

D. (??,0] ? (1,??)
y A

8.如图,F1,F2 是双曲线 C1: x 2 ?

y ? 1 与椭圆 C2 的公共 3
F1

焦点,点 A 是 C1,C2 在第一象限的公共点.若|F1F2|=|F1A|,则 C2
O

的离心率是( A.



F2

x

1 3

B.

2 3

C. 或

2 3

2 5

D.

2 5

(第 8 题图)

·1 ·

4

3

9.某棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体 的体积等于( ) A.10 cm3 C.30 cm3 B.20 cm3 D.40 cm3
正视图

5 侧视图 3 俯视图 (第 9 题图)

10.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 , 抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l 2 的距
2

离之和的最小值( A.2

) B.3 C.

11 5

D.

37 16

11.已知正三棱锥 P-ABC,点 P、A、B、C 都在半径为 3 的球面上,若 PA、PB、PC 两两互相垂直, 则球心到截面 ABC 的距离为( A. 2 B. ) C.

3

3 3

D.

2 3 3

12.已知函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (1) ? 1 ,且 f ?( x) ? 解集为( ) A. (0,

lg 2 x 1 1 2 ,则不等式 f (lg x) ? ? 的 2 2 2

1 ) 10

B. (0,

1 ) ? (10, ??) 10

C. (

1 ,10) 10

D. (10, ??)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设 ? 为锐角,若 cos(? ?

?
6

)?

4 ? ,则 sin(2? ? ) ? ________ 5 3

? x≥1 ? 1 ? 14.设 x,y 满足约束条件 ? y≥ x ,向量 a ? ( y ? 2x,m), b ? (1 , ? 1) ,且 a//b,则 m 的 2 ? ? 2 x ? y≤10 ?

最小值为



·2 ·

15.若直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 被圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 截得的弦长为 4
2 2



1 1 ? 的最小值是 a b

.

16. 已知奇函数 f ( x) 是定义在 R 上的增函数,数列 ? xn ? 是一个公差为 2 的等差数列,且满足

f ( x8 ) ? f ( x9 ) ? f ( x10 ) ? f ( x11 ) ? 0 .则 x2014 ? _______ .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 12 分)
2 2 2 已知 a, b, c 是△ABC 三边长且 a ? b ? c ? ab ,△ABC 的面积 S ? 10 3, c ? 7.

(Ⅰ)求角 C; (Ⅱ)求 a, b 的值.

18.(本题满分 12 分) 已知各项均为正数的等比数列{ an }的首项为 a1=2,且 4a1 是 2a2,a3 等差中项. (1)求数列{ an }的通项公式 an ; (2)若 bn = an log 2 an , S n =b1+b2+…+ bn ,求 S n .

·3 ·

19.(本题满分 12 分) 如图, ABCD 是边长为 2 的正方形, ED ? 平面 ABCD , ED ? 1 , EF // BD 且 EF ? (1)求证: BF ∥平面 ACE ; (2)求证:平面 EAC ? 平面 BDEF (3)求几何体 ABCDEF 的体积

1 BD . 2

20.(本题满分 12 分)

3 1 x2 y 2 ,经过点 , 离心率 ,直线 l 的方程为 x ? 4 . P ( 1 , ) e ? ? ? 1( a ? b ? 0) 2 2 a 2 b2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P) ,设直线 l 与直线 AB 相交于点 M,记 PA、PB、PM 的
已知椭圆 C: 斜率分别为 k1 , k 2 , k3 ,问:是否存在常数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ?k3 ?若存在,求出 ? 的值,若不存在, 说明理由. y P M O F A B x l

21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? e (a ? 0) .
x

(1)若 a ?

1 ,求函数 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; 2

(2)当 1 ? a ? e ? 1时,求证: f ( x) ? x .

·4 ·

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,做答时请写清题 号。 22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,∠BAC 的平分线 AD 交⊙O 于点 D, DE⊥AC,交 AC 的延长线于点 E,OE 交 AD 于点 F。 (I)求证:DE 是⊙O 的切线; (II)若

AC 2 AF 的值. ? ,求 AB 5 DF

23.(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 ? x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 ? (sin ? ? 3 cos ? ) ? 3 3 ,射线 OM : ? ? 交点为 O、P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长.

? x ? 1 ? cos ? (? 为参数) .以 O 为极点, ? y ? sin ?

?
3

与圆 C 的

24.(本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ?| x ? a | . (1)若 f ( x ) ? m 的解集为 { x | ?1 ? x ? 5} ,求实数 a , m 的值。 (2)当 a ? 2 且 0 ? t ? 2 时,解关于 x 的不等式 f ( x) ? t ? f ( x ? 2) 。

·5 ·

参考答案
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分.在每个选项中只有一项符合题目要求 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 答案 D D 14. ?6 A B D C D B B A 二、填空题:每小题 5 分,共 20 分. 13. 11 C 12 B

24 25

15. 4

16. 4009

三、解答题 17.(本题满分 12 分) ( ? )? a ? b ? c ? ab,? cos C ?
2 2 2

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? ????3分 2ab 2

又? 0 ? C ? ? ? C ?

?
3

??? 6分

? ?1 ab sin ? 10 3 ? ?2 3 ? S ? 10 3, C ? 7 ? ? ???8分 (II) ? 2 2 2 ?C ? a ? b ? 2ab cos ? 3 ?
?ab ? 40 ?a ? 5 ?a ? 8 ?? 2 ???10分 ? ? 或? ???12分 2 ?b ? 8 ?b ? 5 ?a ? b ? 89

19.

·6 ·

( 2 )

? ED ? 平面ABCD, AC ? 平面ABCD, ? ED ? AC.
? ABCD为正方形 ? BD ? AC, 又ED ? BD ? D ? AC ? 平面BDEF ,
又 AC ? 平面EAC ,?平面EAC ? 平面BDEF ………8 分 (3)因为 ED ? 平面 ABCD ∴ ED ? BD 又? EF ∥ BD 且 EF =

1 BD , 2

? BDEF是直角梯形 ,又? ABCD是边长为2的正方形 , BD ? 2 2 , EF ? 2

( 2 ? 2 2) ?1 3 2 ? 梯形BDEF的面积为 ? ,由(1)知 AC ? 平面BDEF , 2 2
所以几何体的体积

1 1 3 2 V ABCDEF ? 2V A? BDEF ? 2 ? S BDEF ? AO ? 2 ? ? ? 2 ? 2. ………12 分 3 3 2

20. (1)由点 P (1, ) 在椭圆上得,
2 2 2

3 2

1 9 1 c 1 ? 2 ? 1 ① 又e ? , 所以 ? 2 a 4b 2 a 2
x2 y 2 ? ? 1 .......4 分 4 3



由 ①②得 c ? 1, a ? 4, b ? 3 ,故椭圆 C 的方程为 (2)假设存在常数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ? k3 .

由题意可设 AB的斜率为k , 则直线AB的方程为 y ? k ( x ? 1)



代入椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 并整理得 (4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 4 3

·7 ·

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ?

8k 2 4(k 2 ? 3) , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
y1 ?

④......6 分

3 3 y2 ? 2 ,k ? 2, 在方程③中,令 x ? 4 得, M (4,3k ) ,从而 k1 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1

3 2 ? k ? 1 .又因为 A、F、B 共线,则有 k ? k ? k , k3 ? AF BF 4 ?1 2 3k ?
即有

y1 y ? 2 ?k x1 ? 1 x2 ? 1

3 3 y2 ? 2? 2 ? y1 ? y 2 ? 3 ( 1 ? 1 ) 所以 k1 ? k 2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 2 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? x2 ? 2 3 = 2k ? . ⑤ 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 y1 ?
8k 2 ?2 3 1 4k 2 ? 3 将④代入⑤得 k1 ? k 2 ? 2k ? . ? 2k ? 1 ,又 k3 ? k ? , 2 2 2 4(k ? 3) 2 8k ? 2 ?1 2 4k ? 3 4k ? 3 所以 k1 ? k 2 ? 2k3 故存在常数 ? ? 2 符合题意......12 分 1 1 1 x 21. (1)当 a ? 时, f ( x) ? x ? e , f (1) ? ? e 2 2 2 1 1 f ' ( x) ? ? e x , f ' (1) ? ? e, ???3分 2 2 1 1 故函数 f ( x)在 x ? 1处的切线方程为y ? ? e ? ( ? e)( x ? 1), 2 2
即 ( ? e) x ? y ? 0 ??? 6分 (2)令 g (a) ? x ? f ( x) ? ?ax ? x ? e ,
x

1 2

只需证明 g (a) ? 0在1 ? a ? e ? 1 时恒成立

g (1) ? ? x ? x ? e x ? e x ? 0 ①
x ' x

g ( 1? e ) ? ? x (? 1e ? )x ? e x ? e x ? ex

设 h( x) ? e ? ex, 则h ( x) ? e ? e???8分
·8 ·

当x ? 1时,h' ( x) ? 0;当x ? 1时,h' ( x) ? 0. 当x ? 1时,h' ( x) ? 0;当x ? 1时,h' ( x) ? 0.
∴ h( x)在(-?, 1 )单调递减;在(, 1 +?)单调递增. ∴ h( x) ? h(1) ? e ? e.1 ? 0 ,即 g (1 ? e) ? 0 由①②知, g (a) ? 0在1 ? a ? e ? 1 时恒成立 故当 1 ? a ? e ? 1时, f ( x) ? x ? ? ?12 分 22. (I)证明:连结 OD,可得∠ODA=∠OAD=∠DAC …………………2 分 ∴OD//AE 又 AE⊥DE …………………………………3 分 ∴OE⊥OD,又 OD 为半径 ∴DE 是的⊙O 切线 ………………………5 分 (II)解:过 D 作 DH⊥AB 于 H, 则有∠DOH=∠CAB ② ……10 分

cos ?DOH ? cos ?CAB ?
? AH ? 7 x

AC 2 ? AB 5

…………6 分

设 OD=5x,则 AB=10x,OH=2x, 由△AED≌△AHD 可得 AE=AH=7x ……………8 分 又由△AEF∽△DOF 可得 AF : DF ? AE : OD ?

7 5

?

AF 7 ? DF 5

……………………………………………………10 分

·9 ·

24 .解:( 1 ) ? x ? a ? m,? a ? m ? x ? a ? m ? ?1 ? x ? 5 ? a ? m ? ?1 ? a ? 2 ?? ,? ? .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... 5分 ?a ? m ? 5 ?m ? 3 (2) ? a ? 2? x ? 2 ? t ? x 当x ? 2时,x ? 2 ? t ? x,? 0 ? t ? 2,? 舍去 当0 ? x ? 2时,2 ? x ? t ? x ? 0 ? x ? 当x ? 0时,2 ? x ? t ? ? x ? 成立 ? 解集为( ? ?, t?2 ]......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ 10分 2 t?2 , 成立 2

·10·



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