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第一讲 三角形的基本概念



第一讲

三角形基本概念

知识点一: 三角形 1、定义:由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形叫做三角形。 2、分类: (1)按角分:锐角三角形;直角三角形;钝角三角形; (2)按边分:不等边三角形;等腰三角形;等边三角形; 3、角平分线:三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平

分线。 4、中线:连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线。 5、高:从三角形的一个顶点向它的对边作垂线,顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。 注意:三角形的角平分线、中线和高都有三条。 6、三角形的三边关系:三角形的任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边。 7、三角形的内角:三角形的内角和等于 180 。如图: ?1 ? ?2 ? ?3 ? 180
? ?

8、三角形的外角 (1)三角形的一个外角与相邻的内角互补。 ?1 ? ?4 ? 180
?

2

(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 ?4 ? ?2 ? ?3 (3) 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。? 4 > ? 2 或 ? 4 > ?3 6、三角形的周长、面积求法和三角形稳定性。 (1)如图 1:C△ABC=AB+BC+AC 或 C△ABC= a+b+c。 四个量中已知其中三个能求第四个。

4 1

3

(2)如图 2:AD 为高,S△ABC =

·BC·AD

三个量中已知其中两个能求第三个。 (3)如图 3:△ABC 中,∠ACB=90° ,CD 为 AB 边上的高,则有:

S△ABC =

·AB·CD=

·AC·BC 即:AB·CD=AC·BC

四条线段中已知其中三条能求第四条。 知识点二:多边形及其内角和 1、 n 边形的内角和= 180? ? ?n ? 2? ; 2、 n 边形的外角和= 360 。
?

3、一个 n 边形的对角线有 角形。

n?n ? 3? 条,过 n 边形一个顶点能作出 ?n ? 3? 条对角线,把 n 边形分成了 ?n ? 2? 个三 2

例题讲解 例 1.如图, 为估计池塘岸边 的距离,小方在池塘的一侧选取一点 间的距离不可能是( ) A.20 米 B.15 米 C.10 米 D.5 米 ,测得 米, =10 米,

解析: 因为三角形的三边满足任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边, 所以第三边 AB 的取值范围是: 15-10<AB<15+10,即 5<AB<25. 答案:D. 例 2 已知一个多边形的内角和与某个外角的度数的总和为 1350°,求这个多边形的边数. 分析 应充分利用多边形每个外角在 0°~180°间和等式的性质巧解此题. 解:设这个多边形的这个外角为 x,它的边数为 n, 则(n-2)·180°+x=1350°, ∴(n-2) ·180°=8×180°-(90°+x), 由此可得 90°+x 是 180°的倍数. ∵0°<x<180°, ∴x=180°-90°=90°, ∴(n-2) ·180°=7×180°, ∴n=9. 例 3 若一个多边形有 77 条对角线,求它的内角和. 分析 由 =77,求 n.

解:设这个多边形的边数为 n,由题意,得 =77. 解得 n=14,即这个多边形是十四边形, 十四边形的内角和为(14-2) ×180°=2160°,即内角和为 2160°. 【解题策略】 根据对角线条数的公式 ,即已知边数可求对角线的条数,反之已知对角线的条数,可求出边数. 例 4 下列各组三条线段中,不能 组成三角形的是( )。 .. A、三线段之比为 1:2:3 C、5cm ,6 cm ,10 cm B、 a + 1 ,a + 2 ,a + 3(a﹥0) D、3cm ,4 cm ,9 cm

分析:根据三角形(任意)两边的和大于第三边判断。一般用最小两边相加。 例 5 等腰三角形的两边长分别为 12 和 6,则此三角形的周长为( A、24 B、30 C、24 或 30 )。

D、以上都不对

分析:要考虑 12 和 6 中哪个是腰长。(1)若以 12 为腰长,则有 12+12+6=30;(2)若以 6 为腰长,则有 6+6 +12=24,但 6+6 却不大于第三边 12,因此以 6 为腰长不能组成三角形。 例 6 如图 AD、AE 分别是△ABC 的高和中线,AB=6 ㎝,AC=8 ㎝,BC=10 ㎝,∠BAC=90°,试求:(1)AD 的 长;(2)△ABE 的面积;(3)△ACE 与△ABE 的周长的差。

分析:(1)△ABC 面积等于

·AB·AC,也等于

·BC·AD,即:AB·AC= BC·AD,可求出 AD 长;

(2)而 S△ABE =

S△ABC(底 BE 是底 BC 的一半);

(3) C△ACE -C△ABE =(AE+EC+AC)-(AE+BE+AB) =AC-AB

练习 1、一个多边形的边数是从它的一个顶点出发所引的对角线条数的 4 倍,求这个多边形的内角和。

2、如图,AB∥CD,点 P 是 AD 上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,那么 PB 与 PC 有何位置关系?为什么?
B 4 A 3 P 2
A 1 2 D

C 1 D

3、如图,已知∠2=∠BAC,那么∠1 与∠B 有何关系?为什么?

B

C

4、如图,在△ABC 中,D 是 BC 上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=60°,求∠DAC 的度数。
A 1 B 2 D 4 3 C

基础应用 一、填空题 1. 锐角三角形的三条高都在 的 。 。 ,钝角三角形有 条高在三角形外,直角三角形有两条高恰是它

2. 若等腰三角形的两边长分别为 3cm 和 8cm,则它的周长是 3. 要使六边形木架不变形,至少要再钉上 4. 在△ABC 中,若∠A=∠C= 根木条。 ,∠B=

1 ∠B,则∠A= 3

,这个三角形是



5、三角形有两条边的长度分别是 5 和 7,则第三条边 a 的取值范围是___________。 6、△ABC 中,∠A=50°,∠B=60°,则∠C= 。

7、将一个三角形截去一个角后,所形成的一个新的多边形的内角和___________。 8、等腰三角形的底边长为 10cm,一腰上的中线将这个三角形分成两部分,这两部分的周长之差为 2cm,则这个等腰 三角形的腰长为_____________________. 9、古希腊数学家把数 1,3,6,10,15,21,?,叫做三角形数,它有一定的规律性,则第 24 个三角形数与第 22 个三角形数的差为 .

10、在 ? ABC 中,如果∠B-∠A-∠C=50°,∠B=____________。 11、一个多边形的内角和是 1980°,则它的边数是____,共有条对角线____,它的外角和是____。

12、观察下图,我们可以发现:图⑴中有 1 个正方形;图⑵中有 5 个正方形,图⑶中共有 14 个正方形,按照这种 规律继续下去,图⑹中共有_______个正方形。

A

B E

二、选择题 1、小芳画一个有两边长分别为 5 和 6 的等腰三角形,则它的周长是( A、16 B、17 C、11 D、16 或 17 )
C D

2、如图,已知直线 AB∥CD,当点 E 直线 AB 与 CD 之间时,有∠BED=∠ABE+∠CDE 成立;而当点 E 在直线 AB 与 CD 之外时,下列关系式成立的是( ) B、∠BED=∠ABE-∠CDE D、∠BED=∠CDE-∠ABE

A、∠BED=∠ABE+∠CDE 或∠BED=∠ABE-∠CDE C、∠BED=∠CDE-∠ABE 或∠BED=∠ABE-∠CDE

3、 以长为 3cm,5cm,7cm,10cm 的四根木棍中的三根木棍为边,可以构成三角形的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4、已知一多边形的每一个内角都等于 150°,则这个多边形是正( ) (A) 十二边形 (B) 十边形 (C) 八边形 (D) 六边形 5、边长相等的下列两种正多边形的组合,不能作平面镶嵌的是( ) A.正方形与正三角形 B.正五边形与正三角形 C.正六边形与正三角形 D.正八边形与正方形 6、如图,在锐角△ABC 中,CD、BE 分别是 AB、AC 边上的高, A 且相交于一点 P,若∠A=50°,则∠BPC 的度数是( ) A.150° B.130° C.120° D.100° 7、中华人民共和国国旗上的五角星,它的五个锐角的度数和是( ) 0 0 0 0 A、50 B、100 C、180 D、 200 D E 8、在 ? ABC 中,三个内角满足∠B-∠A=∠C-∠B,则∠B 等于( ) P A、70° B、60° C、90° D、120° B C 9、在锐角三角形中,最大内角的取值范围是( ) A、0°< <90° B、60°< <180° C、60°< <90° D、60°≤ <90° 10、下面说法正确的是个数有( ) ①如果三角形三个内角的比是1∶2∶3,那么这个三角形是直角三角形;②如果三角形的一个外角等于与它相 邻的一个内角,则这么三角形是直角三角形;③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么

1 ∠C,那么△ABC 是直角三角形;⑤若三角形的一个内角等于另两个 2 内角之差,那么这个三角形是直角三角形;⑥在 ? ABC 中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形是直角三角形。
这个三角形是直角三角形;④如果∠A=∠B= A、3 个 B、4 个 C、5 个 D、5 个 ) 11、 在 ? ABC 中,?B, ?C 的平分线相交于点 P, 设 ?A ? x?, 用 x 的代数式表示 ?BPC 的度数, 正确的是 ( (A) 90 ?

1 x 2

(B) 90 ?

1 x 2

(C) 90 ? 2 x

(D) 90 ? x )

12.如图 3,下面四个图形中,线段 BE 是⊿ABC 的高的图是(

三、解答题 1、在五边形 ABCDE 中,∠A=

1 ∠D,∠C+∠E=2∠B,∠A-∠B=45°,求∠A、 ∠B 的度数。 2

2、探究规律:如图,已知直线 m ∥ n ,A、B 为直线 n 上的两点,C、P 为直线 m 上的两点。 (1)请写出图中面积相等的各对三角形:______________________________。 C (2)如果 A、B、C 为三个定点,点 P 在 m 上移动,那么无论 P 点移动到任何 位置总有: 与△ABC 的面积相等; 理由是:

P

m

O

A
3、如图,在△ABC 中,AD⊥BC,CE 是△ABC 的角平分线,AD、CE 交于 F 点.当 ∠BAC=80°,∠B=40°时,求∠ACB、∠AEC、∠AFE 的度数.

B

n

4、 如图,在直角三角形 ABC 中,∠ACB=90°,CD 是 AB 边上的高,AB=13cm,BC=12cm,AC=5cm, 求:(1)△ABC 的面积; C (2)CD 的长; (3)作出△ABC 的边 AC 上的中线 BE,并求出△ABE 的面积; (4)作出△BCD 的边 BC 边上的高 DF,当 BD=11cm 时,试求出 DF 的长。
A D B

5、在△ABC 中,已知∠ABC=66°,∠ACB=54°,BE 是 AC 上的高,CF 是 AB 上的高,H 是 BE 和 CF 的交点,求∠ABE、∠ACF 和∠BHC 的度数.

6、如图, ?B ? 40 , ?A ? ?1 ?10 , ?ACD ? 65 ,试说明 AB//CD。
D C 1

?

?

?

A

B

练习 2 一、填空题: 1.一个多边形,除了一个内角外,其余各内角的和为 2750°,则这个多边形的边数为____. 2.一样大小的正方体木块堆放在房间一角,如图 1,一共垒了 10 层,这 10 层中看不见的木块共有________个. 3.如图 2 是边长为 4 的正方形 ABCD,则图中所有三角形的面积总和为_________. 4.如图 3,三角形纸片 ABC 中,∠A=65°,∠B=75°,将纸片的一角折叠,使点 C 落在△ABC 内,若∠1=20°, 则∠2 的度数为______.

图1

图2

图3

5.如图 4,分别以四边形 ABCD 的各个顶点为圆心,1 为半径作圆,则图中阴影部分的面积是 .(结果保 留π) 6.如图 5,已知∠BOF=120°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . 7.如图 6, 直角三角形 ABC 的周长为 2008, 在其内部有五个小直角三角形, 则这五个小直角三角形的周长为_______. 二、选择题: 8.边长相等的下列两种正多边形的组合,不能作平面镶嵌的是( )
B D
1

E C
2

图4

图5

图6

图7

A

A.正方形与正三角形 B.正五边形与正十边形 C.正六边形与正三角形 D.正八边形与正三角形 9.如图 7,把△ABC 纸片沿 DE 折叠,当点 A 落在四边形 BCDE 的外部时,则 ?A 与 ?1 和 ? 2 之间有一种数量关系 始终保持不变,请试着找一找这个规律,你发现的规律是( ) A. ?A ? ?1 ? ?2 B. 2?A ? ?1 ? ?2 C. 3?A ? 2?1 ? ?2
2

D. 3?A ? 2(?1 ? ?2) )

10.在△ABC 中,已知点 D、E、F 分别是 BC、AD、CE 的中点,且 S ?ABC ? 8cm ,则 S ?BEF 的值为( A. 4cm
2

B. 2cm

2

C. 1cm

2

D.

1 2 cm 2

三、解答题: 11.“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是 7 分米,3 分米,第三边长为奇数(单位:分米)的不同规格 的三角形木框. ⑴要制作满足上述条件的三角形木框共有_____种. ⑵若每种规格的三角形木框只制作一个,制作这种木框的木条的售价为 8 元╱分米,问至少需要多少钱购买 材料?(忽略接头)

12.如图 8, ?A ?

1 1 ?ABC ? ?ACB ,BD 平分∠ABC,求∠ADB 的度数. 2 2

A

D B
图8

C

13.一个凸多边形,除了一个内角外,其余各角的和为 2750°,求这个多边形的边数.



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