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2015创新设计(高中理科数学)题组训练3-3



第3讲

三角函数的图象与性质

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2013· 青岛质检)下列函数中周期为 π 且为偶函数的是 π? ? A.y=sin?2x-2? ? ? ? π? C.y=sin?x+2? ? ? 解析 答案 π? ? B.y=cos?2x-2? ? ? ? π? D.y=cos?x+2? ? ? ( ).

π? ? y=sin?2x-2?=-cos 2x 为偶函数,且周期是 π. ? ? A

π? 2π ? 2.(2014· 南昌联考)已知函数 f(x)=sin ?ωx+6?-1(ω>0)的最小正周期为 3 ,则 ? ? f(x)的图象的一条对称轴方程是( π A.x=9 π C.x=3 解析 ). π B.x=6 π D.x=2

2π 2π π 依题意得,|ω|= 3 ,|ω|=3,又 ω>0,因此 ω=3,所以 3x+6=kπ+

π kπ π π 2,解得 x= 3 +9,当 k=0 时,x=9. π 因此函数 f(x)的图象的一条对称轴方程是 x= . 9 答案 A

π? ? ?π ? 3. (2014· 广州测试)若函数 y=cos?ωx+6?(ω∈N*)的一个对称中心是?6,0?, 则ω ? ? ? ? 的最小值为 A.1 C.4 B.2 D.8 ( ).

解析

π π ? π π? + ? 依题意得 cos?ω· = 0 , ( ω + 1) = k π + 6 2,ω=6k+2(其中 k∈Z); ? 6 6?

又 ω 是正整数,因此 ω 的最小值是 2. 答案 B

4.(2014· 济南调研)已知 f(x)=sin2 x+sin xcos x,则 f(x)的最小正周期和一个单调 增区间分别为 A.π,[0,π] ? π 3π? C.π,?-8, 8 ? ? ? 解析 = 由 f(x)=sin2x+sin xcos x ? π 3π? B.2π,?-4, 4 ? ? ? ? π π? D.2π,?-4,4? ? ? ( ).

1-cos 2x 1 +2sin 2x 2

π? 1 2? 2 2 ? ? 1 2 =2+ 2 ? sin 2x- cos 2x?=2+ 2 sin?2x-4?. ? ? 2 ?2 ? 2π π π π ∴T= 2 =π.又∵2kπ-2≤2x-4≤2kπ+2, π 3π ∴kπ-8≤x≤kπ+ 8 (k∈Z)为函数的单调递增区间.故选 C. 答案 C

?π ? ?π ? 5.(2014· 三明模拟)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)对任意 x 都有 f?6+x?=f?6-x?, ? ? ? ? ?π? 则 f?6?等于 ? ? A.2 或 0 C.0 解析 B.-2 或 2 D.-2 或 0 π ?π ? ?π ? ?π? 由 f?6+x?=f?6-x?知,函数图象关于 x=6对称,f?6?是函数 f(x)的最 ? ? ? ? ? ? ( ).

大值或最小值. 答案 B

二、填空题 6.函数 y=lg(sin x)+ 1 cos x-2的定义域为________.

解析

sin x>0, ? ? 要使函数有意义必须有? 1 cos x-2≥0, ? ? 2kπ<x<π+2kπ?k∈Z?, ? ? 解得? π π -3+2kπ≤x≤3+2kπ?k∈Z?, ? ?

sin x>0, ? ? 即? 1 cos x≥2, ? ?

π ∴2kπ<x≤3+2kπ(k∈Z),
? ? π ∴函数的定义域为?x|2kπ<x≤3+2kπ,k∈Z?. ? ?

答案

π ? ? ?2kπ,3+2kπ?(k∈Z) ? ?

sin x+1 7.函数 y= sin x (0<x<π)的最小值为________. 解析 1 1 令 sin x=t∈(0,1],则函数 y=1+ t ,t∈(0,1].又 y=1+ t 在 t∈(0,1]

上是减函数,所以当 t=1 时,y 取得最小值 2. 答案 2

π 8.已知函数 f(x)=3sin(ωx- )(ω>0)和 g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全 6 π? ? 相同,若 x∈?0,2?,则 f(x)的取值范围是______. ? ? 解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故

π? π? π π 5π ? ? ω=2,所以 f(x)=3sin?2x-6?,那么当 x∈?0,2?时,-6≤2x-6≤ 6 , ? ? ? ? 1 π ? 3 ? 所以-2≤sin(2x-6)≤1,故 f(x)∈?-2,3?. ? ? 答案 ? 3 ? ?-2,3? ? ?

三、解答题 9.(2013· 潮州二模)已知函数 f(x)= 3(sin2 x-cos2x)-2sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)设 x∈?-3,3?,求 f(x)的单调递增区间. ? ? 解 (1)∵f(x)=- 3(cos2x-sin2 x)-2sin xcos x

π? ? =- 3cos 2x-sin 2x=-2sin?2x+3?, ? ? ∴f(x)的最小正周期为 π. π π ? π π? (2)∵x∈?-3,3?,∴-3≤2x+3≤π, ? ? π? ? 当 y=sin?2x+3?单调递减时,f(x)单调递增. ? ? π π π π ∴2≤2x+3≤π,即12≤x≤3. ? π π? 故 f(x)的单调递增区间为?12,3?. ? ? π?? π π? ? 10.(1)求函数 y=2sin ?2x+3??-6<x<6?的值域; ? ?? ? (2)求函数 y=sin x+cos x+sin xcos x 的值域. 解 π π π 2π (1)∵-6<x<6,∴0<2x+3< 3 ,

π? ? ∴0<sin?2x+3?≤1, ? ? π? ? ∴y=2sin?2x+3?的值域为(0,2]. ? ? (2)y=sin xcos x+sin x+cos x = ?sin x+cos x?2-1 ? π? ?x+4? + 2sin 2 ? ?

? π? ? π? 1 =sin2?x+4?+ 2sin?x+4?-2 ? ? ? ? ? ? π? 2? ? π? =?sin?x+ ?+ ?2-1,所以当 sin?x+4?=1 时, 4 ? ? ? 2? ? ? 1 1 y 取最大值 1+ 2-2=2+ 2. 2 ? π? 当 sin?x+4?=- 2 时,y 取最小值-1, ? ? 1 ? ? ∴该函数的值域为?-1,2+ 2?. ? ? 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 ωx ωx 1.(2013· 安徽师大附中模拟)设 ω>0,m>0,若函数 f(x)=msin 2 cos 2 在区间 ? π π? ?-3,3?上单调递增,则 ω 的取值范围是 ? ? 2? ? A.?0,3? ? ? ?3 ? C.?2,+∞? ? ? 解析 3? ? B.?0,2? ? ? D.[1,+∞) ( ).

ωx ωx 1 ? π π? f(x)=msin 2 cos 2 =2msin ωx,若函数在区间?-3,3?上单调递增, ? ?

3? T π π π 2π ? 则2 =ω≥3+3= 3 ,即 ω∈?0,2?. ? ? 答案 B

? π π? 2.已知函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间?-3,4?上的最小值是-2,则 ω 的最小 ? ? 值等于 2 A.3 C.2 解析 3 B.2 D.3 π ∵f(x)=2sin ωx(ω>0)的最小值是-2,此时 ωx=2kπ-2,k∈Z,∴x ( ).

2kπ π π 2kπ π 3 = ω -2ω,k∈Z,∴-3≤ ω -2ω≤0,k∈Z,∴ω≥-6k+2且 k≤0,k∈ 3 Z,∴ωmin=2. 答案 B

二、填空题 3.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:当 sin x≤cos x 时,f(x)=cos x,当 sin x> cos x 时,f(x)=sin x. 给出以下结论: ①f(x)是周期函数; ②f(x)的最小值为-1;

③当且仅当 x=2kπ(k∈Z)时,f(x)取得最小值; π ④当且仅当 2kπ-2<x<(2k+1)π(k∈Z)时,f(x)>0; ⑤f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是 2π. 其中正确的结论序号是________. 解析 易知函数 f(x)是周期为 2π 的周期函数.

函数 f(x)在一个周期内的图象如图所示.

2 5π 由图象可得,f(x)的最小值为- 2 ,当且仅当 x=2kπ+ 4 (k∈Z)时,f(x)取得 π 最小值;当且仅当 2kπ-2<x<(2k+1)π(k∈Z)时,f(x)>0;f(x)的图象上相邻 两个最低点的距离是 2π.所 以正确的结论的序号是①④⑤. 答案 ①④⑤

三、解答题 x ? ? 4.(2013· 荆门调研)已知函数 f(x)=a?2cos22+sin x?+b. ? ? (1)若 a=-1,求函数 f(x)的单调增区间; (2)若 x∈[0,π]时,函数 f(x)的值域是[5,8],求 a,b 的值. 解 f(x)=a(1+cos x+sin x)+b

? π? = 2asin?x+4?+a+b. ? ? ? π? (1)当 a=-1 时,f(x)=- 2sin?x+4?+b-1, ? ? π π 3π 由 2kπ+2≤x+4≤2kπ+ 2 (k∈Z), π 5π 得 2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 (k∈Z),

π 5π? ? ∴f(x)的单调增区间为?2kπ+4,2kπ+ 4 ?(k∈Z). ? ? (2)∵0≤x≤π, π π 5π ∴4≤x+4≤ 4 , 2 ? π? ∴- 2 ≤sin?x+4?≤1,依题意知 a≠0. ? ? ? 2a+a+b=8, (ⅰ)当 a>0 时,? ?b=5, ∴a=3 2-3,b=5. ?b=8, (ⅱ)当 a<0 时,? ? 2a+a+b=5, ∴a=3-3 2,b=8. 综上所述,a=3 2-3,b=5 或 a=3-3 2,b=8.



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