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5.复合函数的求导法则



北师大版高中数学选修2-2第 二章《变化率与导数》

复习:两个函数的和、差、积、商的 求导公式。 1、 常见函数的导数公式:
n n ?1 C' ? 0 (sin x)' ? cos x ( x )' ? nx (cos x)' ? ? sin x ' ' ' 2、法则1 [u ( x) ?

v( x)] ? u ( x) ? v ( x) 法则2 [u( x)v( x)]? ? u '( x)v( x) ? u( x)v '( x) ,

[Cu( x)]? ? Cu '( x)

法则3

u ' v ? uv ' ?u? ? ? ? 2 v ?v?

'

(v ? 0)

新授课

复合函数的导数
2 u ? 3 x ? 2 , y ? ( 3 x ? 2)2 构成间的关系? 函数 y ? u ,

y ? ( 3 x ? 2)2 可由 y ? u 2 与 u ? 3 x ? 2复合得到.

例1 指出下列函数的复合关系:
2 3 2 y ? ( 2 ? x ) y ? sin x (1) (2) ?? ? y ? cos ? x (4) y ? ln sin(3 x ? 1) ? ? (3) ?4 ? ? ? ?2 3 ? 3 2 y ? cos ? x y ? cos u , u ? ? x 复合而 y ? u , u ? 2 ? x 复合而成. ?x ) 由 ?由 解:( 1) ( 2 ? (3 4 ?4 ? 成. 2 2 y ? sin x y ? sin u , u ? x y ? ln sin( 3 x ? 1 ) y ? ln u , u ? sin v , v ? 3 x ? 1 复合而 由 复合而成. (4) (2) 由 成.

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复合函数的导数

例2 写出由下列函数复合而成的函数: y ? ln u, u ? ln x ( 1) (2 ) y ? cos u, u ? 1 ? x 2
解:(1) (2)

y ? ln(ln x ).

y ? cos(1 ? x )
2

一般的,对于两个函数

y ? f (u) 和 u ? g ( x) 通过变量

y、u 可以表示成 x 的函数 y ? f ( g ( x))
那么称这个函数为 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的复合函数
要求掌握内层函数为一次复合函数的导数

新授课

复合函数的导数

2 ? ? f ( x ) ? ( 3 x ? 2)2,求 y? 若 y ? u ,u ? 3x ? 2 , u , ux , f ( x )

并分析三个函数解析式以及导数之间的关系.

y? u ? 2u

u? x ?3

f ?( x ) ? [(3 x ? 2)2 ]? ? (9 x 2 ? 12 x ? 4)? ? 8 x ? 12
2 函数 f ( x ) 可由 y ? u , u ? 3 x ? 2 复合而成.

? y? u ? u x ? 2u ? 3 ? 2( 3 x ? 2) ? 3 ? 18 x ? 12 ? f ?( x ) ? y? u ? ux

复合函数的导数
新授课

? 一般地,设函数 u ? ? ( x ) 在点 x 处有导数 u? x ? ? ( x ) ,函 ? 数 y ? f (u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 y? u ? f ( u) ,则复合 函数 y ? f (? ( x )) 在点 x 处也有导数,且 ? ? y? x ? yu ? u x
或写作

f x? (? ( x )) ? f ?( u)? ?( x )

复合函数的导数
例题讲解

例3



y ? ( 2 x ? 1)5

的导数.

解:设 y ? u5 , u ? 2 x ? 1 , 则

? ? ? y?x ? y? ? u ? ( u ) ? ( 2 x ? 1 ) u x u x
5

? 5u ? 2 ? 5( 2 x ? 1) ? 2 ? 10( 2 x ? 1)
4 4

4

练习:求下列函数的导数

( 1)

y ? (5x ? 3)

5

? y ? 25(5 x ? 3)
'

4

(2)y (3)

? sin( 2 x ?

?
3

) ? y ? 2 cos(2 x ? )
'

?

3

y?e

2 x 2 ?3

? y ' ? 4 xe

2 x2 ?3

2 (4) y ? log3 (2 x ? 1) ? y ' ? (2 x ? 1) ln 3

小结 : ⑴复合函数的求导,要注意分析复合函 数的结构,引入中间变量,将复合函数 分解成为较简单的函数,然后再用复合 函数的求导法则求导; ⑵复合函数求导的基本步骤是: 分解——求导——相乘——回代 练习: 课本 P51 练习.



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