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上海市十二校2015届高三第二学期联考数学(理)试题


2014 学年度第二学期十二校联考 高三数学试卷(理)
命题人 朱松德 上海市莘庄中学 审卷人 赵善华 周浦高级中学
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.设集合 A ? x 2x ?1 ? 0, x ? R , B ? x x ? 1, x ? R ,则 A 2.若函数 f ( x) ? x ? 1的反函数为 f ?1 ( x) ,则 f ?1 (1) ? ________.

?

?

?

?

B =________.

3.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 9 5

. . . .

4.在 (ax ? 1)6 的二项展开式中,若中间项的系数是 160,则实数 a ? 5.极坐标系内, O 为极点,设点 A(3,

?
6

), B(4,

2? ) ,则三角形 AOB 的面积为 3

6.若圆锥的全面积为底面积的 3 倍,则该圆锥母线与底面所成角大小为

7.若复数 z ? 5cos ? ? 4 ? i ( i 为虚数单位, ?? ? ? ? 0 )在复平面上的对应点在直线

y ? x ? 1 上,则 sin ? ?



8. 已知各项均为正数的等比数列 {an } 的首项 a1

? 1 ,公比为 q ,前 n 项和为 S n ,若

lim

S n ?1 ? 1,则公比为 q 的取值范围是 n ?? S n

.

9.函数 y ? a sin x ? b cos x 的一个对称轴方程为 x ? 为 .

?
4

,则直线 l : ax ? by ? c ? 0 的倾斜角

10.小李同学在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到 红灯的概率都是 简分数表示) 11.小李同学今年寒假共抢得了九个红包,其中每个红包里有且仅有一个数字(单位为元) , 他将这九个数字组成如图所示的数阵,发现每行的三个数依次成等差数列, ? a11a12 a13 ?

1 , 则他在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率为 3

. (用最

? ? a21a22 a23 ? ? 每 列 的 三个 数 也依 次 成等 差 数 列 . 若 a22 ? 26 , 则 小 李 同学 一 共 抢了 ? ? ? a31a32 a33 ?
元的红包.

1

12.对于实数 m, n ,定义一种运算“*”为: m? n ? m? n ? n .若函数 f ( x) ? x ? (a ? x) 有两个不 同的零点,则满足条件的实数 a 的取值范围是 13.设 P 是函数 y ? x ? .

4 ( x ? 0 )的图像上任意一点,过点 P 分别向直线 y ? x 和 y 轴作 x


垂线,垂足分别为 A, B ,则 PA ? PB 的值是 14.设函数 y ? f ( x) 由方程 认为正确的序号都填上) (1) f ( x) 是 R 上的单调递增函数; (2)不等式 f ( x) ? (3)方程 f ( x) ?

x? x y? y 下列结论正确的是 ? ? 1 确定, 16 9

. (请将你

3 x ? 0 的解集为 R ; 4

3 x ? 3 ? 0 恒有两解; 4
?1

(4) f ( x) 存在反函数 f

( x) ,且反函数 f ?1 ( x) 由方程

y? y x? x ? ? 1 确定. 16 9

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案.考生必须 在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. “ a ? 1 ”是“函数 y ? cos ax ? sin ax 的最小正周期为 ? ”的(
2 2



A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

16.已知直线 l : ax ? by ? 1 ,点 P( a, b) 在圆 C : x2 ? y 2 ? 1 外,则直线 l 与圆 C 的位置关 系是( ) B.相切 C.相离 D. 不能确定

A.相交

17. 在棱长为 1 的正四面体 A i Aj (i, j ? 1,2,3,4, i ? j ) , 1 A2 A 3 A4 中,定义 M ? x x ? A

?

?

N ? n n ? a ? b , a ? M , b ? M ,则 N 中的元素个数为(
A.6 B.5 C.3

?

?

) D.2 )

18.设 ? 为两个非零向量 a, b 的夹角,已知对任意实数 t , | b ? t ? a | 的最小值为 1. ( A.若 ? 确定,则 a 唯一确定 C. 若 a 确定,则 ? 唯一确定 B.若 ? 确定,则 b 唯一确定 D.若 b 确定,则 ? 唯一确定
2

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图, 从棱长为 6 cm 的正方体铁皮箱 ABCD ? A1B1C1D1 中分离出来由三个正方形面板组成的几何图形.

D B

C

D1
(1)记 CC1 的中点为 E ,求异面直线 EB1 与 AC 1 1 所成角的

C1
B1

A1
大小; (2)如果用图示中这样一个装置来盛水,那么最多能盛多少 cm3 体积的水.

20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 设向量 a ? (sin x, cos 2 x), b ? (sin 2 x, cos x) . (1)设 f ( x) ? a ? b ? sin x ,当 x ? (0,

?
2

) 时,求 f ( x) 的取值范围;

(2)构建两个集合 A ? {sin x, cos 2 x} , B ? {sin 2 x, cos x} ,若集合 A ? B ,求满足条件 的 x 的值.

21. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 某地拟模仿图(1)建造一座大型体育馆, 其设计方案侧面的外轮廓线如图(2)所示: 曲线

AB 是以点 E 为圆心的圆的一部分,其中 E (0, t ) ( 0 ? t ? 10 ,单位:米) ;曲线 BC 是抛
物线 y ? ?ax ? 30(a ? 0) 的一部分; CD ? AD ,且 CD 恰好等于圆 E 的半径.
2

(1) 若要求 CD ? 20 米, AD ? (10 3 ? 30) 米,求 t 与 a 值; (2) 若要求体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 45 米,求 a 的取值范围.
y B C D x

·E
FA 图(1) O 图(2)

3

22. (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 8 分. 在平面直角坐标系 xOy 中,对于直线 l : ax ? by ? c ? 0 和点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , 若 PP 0 ,且 PP 1 0 ??? P 0P 2 ,则称点 P 1 , P 2 关于直线 l 成“ ? 对称”. 若曲 1 2 ? l ,垂足为 P 线 C 上存在点 P ,则称曲线 C 为“ ? 对称曲线”. 1 , P 2 关于直线 l 成“ ? 对称” (1)设 P 1 , P 2 关于直线 l 成“ 1 (0,3), P 2 (3,0) ,若点 P

1 对称” ,求直线 l 的方程; 2

(2)设直线 l : x ? y ? 1 ? 0 ,判断双曲线 x2 ? y 2 ? 1 是否为“ ? 对称曲线”?请说明理由; (3)设直线 l : x ? y ? 0 ,且抛物线 y ? x2 ? m 为“ 2 对称曲线” ,求实数 m 的取值范围.

23. (本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 若函数 f ( x)

x2

2a | x 2 | ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 Sn ? f (n) .

(1)若数列 {an } 为递增数列,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ?

1 a 时 , 设 数 列 {bn } 满 足 : bn ? 2 n , 记 {bn } 的 前 n 项 和 Tn , 求 满 足 不 等 式 2

Tn ? 2015 的最小整数 n ;
(3) 当函数 f ( x) 为偶函数时, 对任意给定的 k( k ? N * ) , 是否存在自然数 p, r ( k<p<r ) 使

1 1 1 , , 成等差数列?若不存在,说明理由;若存在,请找出 p, r 与 k 的一组关系式. ak a p ar

4

2014 学年度第二学期十二校联考 高三数学试卷(理)参考答案
一.填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)

? 4 1 3? ; 7. ? ;8. 0 ? q ? 1 ;9. ; 5 3 2 4 4 10. ; 11. 234 ; 12. a ? ?1 ; 13. ?2 ; 14.(1)(2)(4); 27
1. [ ,1) ; 2. 0 ; 3. 4 ; 4. ?2 ;5.6; 6. 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 15.A; 16.A; 17.B; 18.B; 三.解答题(共 5 大题,总分 74 分) 19.(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. (1)取 DD1 的中点 F ,连 A1 F ,则 ?FAC 1 1 为所求的角 在 FAC 1C1 ? 6 2 . A 1 F ? 3 5 ? FC1 1 1 中,易知: A …………… 2 分

10 10 ? ?FAC 1 1 ? arccos 5 5 10 从而异面直线 EB1 与 AC 1 1 所成角的大小为 arccos 5 cos ?FAC 1 1 ? ?
(2)最多能盛多少水,实际上是求三棱锥 C1 ? CD1B1 的体积

…………… 5 分 …………… 6 分 …………… 9 分

1 1 VC1 ?CD1B1 ? ? ? 63 ? 36 ( cm3 ) 3 2
用图示中这样一个装置来盛水,则最多能盛 36 cm3 体积的水.…………… 12 分 20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. (1) a ? b ? sin x ? sin 2 x ? cos 2 x ? cos x ? cos(2 x ? x) ? cos x

f ( x) ? cos x ? sin x ? 2 sin( x ? ) 4 ? ? ? 3? ) ? f ( x) ? (1, 2] 由 x ? (0, ) ? x ? ? ( , 2 4 4 4 ? sin x ? cos x ? sin x ? sin 2 x (2) A ? B ? ? 或? ? ?cos 2 x ? sin 2 x ?cos 2 x ? cos x ? sin x ? sin 2 x ? x ? 2k? (k ? Z ) 当? ?cos 2x ? cos x ? sin x ? cos x ? x ?? 当? ?cos 2 x ? sin 2 x 综上,满足条件的实数 x ? 2k? (k ? Z )

?

…………… 3 分 ……………6 分 …………… 10 分 …………… 12 分

…………… 14 分

5

21. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. (1)因为 CD ? 30 ? t ? 20 ,解得 t ? 10 . 此时圆 E : x ? ( y ?10) ? 20 ,令 y ? 0 ,得 AO ? 10 3 , 所以 OD ? AD ? AO ? 30 ,
2 2 2

…………… 2 分

1 . ………… 6 分 90 (2)因为圆 E 的半径为 30 ? t ,所以 CD ? 30 ? t ,在 y ? ?ax2 ? 30 中令 y ? 30 ? t ,得
将点 C (30, 20) 代入 y ? ?ax2 ? 30(a ? 0) 中,解得 a ?

t t ? 45 对 t ? (0,10] 恒成立,………… 8 分 ,则由题意知 FD ? 30 ? t ? a a 1 15 所以 ? t ? 恒成立, a t 15 而,当 t ? ,即 t ? 15 ? (0,10] 时, t 15 由y? t? ( t ? (0, 10] )递减,可知: t 15 当 t ? 10 取最小值 10 ? , ………… 12 分 10 2 1 15 故 ,解得 a ? . ………… 14 分 ? 10 ? 125 a 10 OD ?
22.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小 题满分 8 分. (1)由题意: PP 1 2 ? (3, ?3) 设P 1 0 ? 0 ( x0 , y0 ) ,由 PP ………… 1 分

? 2( x ? 0) ? 3 ? x0 1 ? P0 P2 ? ? 0 ? x0 ? 1, y0 ? 2 ………… 3 分 2 ?2( y0 ? 3) ? 0 ? y0

所以直线 l : 3( x ?1) ? 3( y ? 2) ? 0 , 即所求直线 l : x ? y ? 1 ? 0 (2)双曲线 x ? y ? 1不是为“ ? 对称曲线”
2 2 2 2

………… 4 分 ………… 6 分

事实上,双曲线 x ? y ? 1的两条渐近线分别为 x ? y ? 0 , x ? y ? 0 ,它们互相垂直, 直线 l : x ? y ? 1 ? 0 与其中渐近线 x ? y ? 0 平行, 所以双曲线 x ? y ? 1上不可能存在两点
2 2

PP ? ? ? P0 P2 P 1 , P 2 ,更别说满足 1 0
2

………… 8 分

(3)因为抛物线 y ? x ? m 为“ 2 对称曲线” ,所以存在点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 )
6

设直线 PP 1 2 : y ? x ? t ,由 ? 其中 ? 1 ? 4(?t ? m) ? 0 , 且?

? y ? x ?t ? x2 ? x ? t ? m ? 0 2 ?y ? x ? m
………… 10 分

? x1 ? x2 ? 1 ? x1 x2 ? ?t ? m

x ? 2 x2 ? x0 ? 1 ? ? 3 1 0 ? 2? P 0P 2 ?? 又由 PP ? y ? y1 ? 2 y2 0 ? 3 ?

代入 x0 ? y0

?0得

x1 ? 2x2 ? y1 ? 2 y2 ? 0 ? x1 ? xy2 ? ( x1 ? t ) ? 2( x2 ? t ) ? 0
3 3 ? x2 ? ? t ? 1, x1 ? 2 ? t 2 2
由 ………… 12 分

? 1 ? 4(?t ? m) ? 1 ? 4x1x2 ? 0 得 1 ? 4(? ? ?t ? m 得 m ? ?t ? x1x2 ? ?t ? (?

3t 3t ? 1)(2 ? ) ? 0 ? t ? ?1 ………… 14 分 2 2

由 x1x2

9 3t 7 3t ? 1)(2 ? ) ? t 2 ? t ? 2 4 2 2 2

9 7 23 23 ? (t ? )2 ? ? [ , ??) 4 9 36 36
即所求实数 m 的范围为 [

23 , ??) 36

………… 16 分

23. (本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. (1)由题意得: Sn ? f (n) ? n ? 2a | n ? 2 |
2

………… 1 分

? 1 ? 2a, n ? 1 ? 从而, an ? ? 3 ? 2a, n ? 2 ?2n ? 1 ? 2a, n ? 3 ?
当 n ? 3 时,数列 {an } 显然递增,只要 a1 ? a2 ? a3 即可,

………… 4 分

1 1 ?? ?a? 2 2
7

………… 6 分

(2)当 a ?

?2, n ? 1, 2 1 时, an ? ? 2 ? 2n, n ? 3

………… 7 分

?4, n ? 1, 2 bn ? ? n ? 4 , n?3
n ? 1, 2 ? 4n, ? n?1 Tn ? ? 4 40 ? 3 ? 3 ,n?3 ?
解不等式 Tn ? 2015 可得 n ? ?1 ? log4 6085 ? 5.29 所以,满足条件的最小整数为 6 (3)当 f ( x) 为偶函数时, ? a ? 0 , 此时, f ( x) ? x , an ? 2n ?1
2

………… 8 分

………… 10 分

………… 12 分

………… 13 分

当 k ? 1 时,不存在满足条件的 p, r ? N * (1 <p<r ) 事实上,由

3 1 2 1 ,由 r ? p ? p ? (1, ) ,矛盾; … 14 分 ?r ? ? 1? 2 3? 2p 2 p ?1 2r ?1

当 k ? 2 时,存在无数组满足条件的 p, r ? N * (1 <p<r ) 如 k ? 2 时,可找到 p ? 3, r ? 8 ,使得 , ,

1 1 1 成等差数列 3 5 15

………… 15 分

* 更一般地,对任意给定的 k ? N ( k ? 2 )设 ak ? x, a p ? y, ar ? z ,由

1 1 2 ? ? 得 x z y

z?

xy ,令 y ? 2 x ?1, z ? xy ? x(2 x ?1) 即可,此时,取 2x ? y

ak ? x ? 2k ?1 ,
a p ? y ? 2(2k ?1) ? 1 ? p ? 2k ? 1 , ar ? z ? x(2 x ?1) ? (2k ?1)(4k ? 3) ? 2(4k 2 ? 5k ? 2) ?1 ? r ? 4k 2 ? 5k ? 2
* 2 即对任意给定的 k ? N ( k ? 2 ) ,存在 p ? 2k ?1, r ? 4k ? 5k ? 2 ,使

1 1 1 , , 成等差 ak a p ar
………… 18 分

数列.

8



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