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湖南省衡阳八中2013-2014学年高一下学期期末试题



衡阳市八中 2014 年上期高一期末考试试题 数 学
命题人: 彭学军 (本卷共 21 道小题,考试时间 120 分钟,满分 100 分)

注意事项:答题前,考生务必将自己的班级、姓名、考试号写在答题卡的密封线内.答题时,答案
写在答题卡上对应题目的空格内,答案写在试卷上无效 .考试结束后,上交答题卡. .........

r />一、选择题(每小题 3 分,共 10 小题,满分 30 分) 1. cos 9? cos 36? ? sin 36? sin 9? 的值为( B ) 2 3 1 A. B. C. 2 2 2
2.若 a、b、c ? R, a ? b ,则下列不等式成立的是( D ) 1 1 b a A. ? B. a 2 ? b 2 C. ? ? 2 a b a b

D.1

D. a (c2 ? 1) ? b (c2 ? 1)

3.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 A ? 135? , B ? 30? , a ? 则 b 等于( A ) A. 1 B. 2 C.

2,

3

D. 2

4.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? A. Sn ? 2an ? 1

2 an , n ? N * ,其前 n 项和为 Sn ,则( D ). 3 B. Sn ? 3an ? 2 C. Sn ? 4 ? 3an D. Sn ? 3 ? 2an

5.在 ?ABC 中,若 | BA ? BC |?| AC | ,则 ?ABC 一定是( C ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 6. 同时具有性质“①最小正周期是 ? ;②图象关于直线 x ? 一个函数是( C ) A. y ? sin( ?

D.不能确定

?
3

对称;③在 [?

? ?

, ] 上是增函数”的 6 3

x 2

?
6

)

B. y ? cos(2 x ?

?
3

)

C. y ? sin(2 x ?

?
6

)

D. y ? cos(2 x ?

?
6

)

7.在四边形 ABCD 中, AC ? (2,4) , BD ? (?6,3) ,则该四边形的面积为 ( A. 3 5 C.5 B. 2 5 D.15
y

uuu r

uuu r

D ).

(1,2) (3,2)

8.已知点 ( x, y ) 在如图所示的平面区域(阴影部分)内运动, 则 z ? x 2 ? y 2 的最大值是( D ) A.1 B.3 C.5 D.13
o (1,0)

x

(第8题图)

9.已知等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 S5 ? S 6 且 S 6 ? S 7 ? S8 ,则下列结论错误 的是( D ) .. A. S 6 和 S 7 均为 S n 的最大值 C.公差 d ? 0 B. a7 ? 0 D. S9 ? S5
第 1 页 共 5 页

10. 已知 OA, OB 是两个单位向量,且 OA ? OB =0.若点 C 在 ?AOB 内,且 ?AOC ? 30? , 则 OC ? mOA ? nOB,(m, n ? R) , 则 A.

m 等于( C ) n
C. 3 D. 3

1 3

B.

3 3

二、填空题(每小题 4 分,共 5 小题,满分 20 分)
11.已知集合 M ? {x ? R | 3x ? 2 ? 0} , N ? {x ? R | ( x ? 1)( x ? 3) ? 0} ,则 M 12.已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a1 = 2 , 4a3 ? a9 ? a52 ,则 a2 =

2 N ? ( ? ,3] 3
.

1

13. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 3a ? 5b ,且 sin A 是 sin B 与 sin C 的等差 中项,则角 C ? ___ 120? ______. 14.已 知正实数 x, y 满足 ?
x y ?2 x ? y ? 0 1 ?1? ?1? ,则 z ? ? ? ? ? ? 的最小值为______. 16 ?4? ?2? ?x ? 3y ? 5 ? 0

15. 已知数列 ?an ? 通项为 an ? n cos(

n? ), n ? N *, ,则 a1 ? a2 ? a3 ???? ? a2014 ? 2

-1008

.

三、解答题(共 6 小题,满分 50 分) 2 16. (本题满分 6 分) 已知关于 x 的不等式 ax ? 3x ? 2 ? 0 的解集为 {x |1 ? x ? b} . (1)求实数 a , b 的值; x?c ? 0 ( c 为常数). (2)解关于 x 的不等式: ax ? b 2 解: (1)由题知 1, b 为关于 x 的方程 ax ? 3x ? 2 ? 0 的两根, 2 ? b? ? ? a 即? ∴ a ? 1, b ? 2 . ??????3 分 ?1 ? b ? 3 ? a ? (2)不等式等价于 ( x ? c)(x ? 2) ? 0 , 所以:当 c ? 2 时解 集为 ?x | x ? c或x ? 2?; 当 c ? 2 时解集为 ?x | x ? 2, x ? R?; 当 c ? 2 时解集为 ?x | x ? 2或x ? c?. ?????6 分
17.(本题满分 8 分) 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.

sin 2 45 ? cos2 75 + sin 45 cos 75 , sin 2 15 ? cos2 45 + sin15 cos 45 ,

sin 2 36 ? cos2 66 + sin 36 cos 66 , sin 2 ( ?15 ) ? cos2 15 + sin( ?15 ) cos15 , sin 2 ( ?45 ) ? cos2 ( ?15 )+ sin( ?45 ) cos( ?15 ),

(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.

? cos 15 + sin( ?15) cos15 ? 1 ? 解: (1) sin( ? 15?)
2 2

?

?

?

1 1 3 sin 30? ? 1 ? ? . ????3 分 2 4 4

第 2 页 共 5 页

(2) sin ? ? cos (
2 2

?
6

? ? ) ? sin ? cos(

?
6

??) =

3 . 4

?????5 分

1 ? 3 1 1 ? cos 2? 左边 ? 1 ? [cos( ? 2? ) ? cos 2? ] ? sin 2? ? ? 2 3 4 2 2 1 1 3 3 1 1 ? 1 ? [ cos 2? ? sin 2? ? cos 2? ] ? sin 2? ? ? cos 2? 2 2 2 4 4 4 1 3 ? 1? ? . 4 4
?????8 分 18.(本题满分 8 分) 等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,公比 q ? 0 ,已知 S3 ? 14, S6 ? 126 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 4 项和第 16 项,试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和 Tn .
? a1 (1 ? q3 ) ?6 ? 解: (1)易知 q ? 1 ,由已知得 ? 1 ? q ,解得 a1 ? q ? 2 .所以 an ? 2n . ? 6 ? a1 (1 ? q ) ? 54 ? ? 1? q

?4 分

(2)由(1)得 a3 ? 8 , a5 ? 32 ,则 b4 ? 8 , b16 ? 32 ,

?b1 ? 3d ? 8, ?b1 ? 2, 设 {bn } 的公差为 d ,则有 ? 解得 ? ? d ? 2. ?b1 ? 15d ? 32, ?bn ? b1 ? (n ? 1)d ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n.
且数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? na1 ?

????????6 分

n( n ? 1) n(n ? 1) d ? 2n ? ? 2 ? n2 ? n. 2 2

???8 分

19.(本题满分 8 分) 已知 a ? ?

? 3 ? 1 sin x,cos x ?, b ? ?2cos x, ?cos x ? ,函数 f ( x ) ? a ? b ? , x ? R. 2 ? 2 ?
n i B2 ? s n i 若s 3 , f (C ) ? 0 , A, 求 ?ABC

(1)求函数 f ( x ) 的最小值和最小正周期; (2) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且c ? 的面积. 解: (1) f ( x ) ?

3 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , f ( x ) 的最小值为 ?2 ,最小正周期为 ? . 2 2 6

(2) f (C ) ? sin(2C ? ∵ 0 ? C ? ? ,∴ ?

?
6

) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ?

?
6

?????3 分

) ? 1.

11? ? ? ? ,因此 2C ? = ,∴ C ? .?????5 分 6 6 6 6 3 2 ∵ sin B ? 2sin A 及正弦定理,得 b ? 2a .① ? 2C ? ?
由余弦定理,得 c ? a ? b ? 2ab cos
2 2 2

?

?

?

3

,且 c ?

3,

∴ a ? b ? ab ? 3 . ② 由①②联立,得 a ? 1 , b ? 2 .
2 2

?????7 分 ?????8 分

? S?ABC ?

1 3 ab sin C ? . 2 2

20.(本题满分 10 分)如图,山顶有一座石塔 BC ,已知石塔的高度为 a .
第 3 页 共 5 页

(1)若以 B, C 为观测点,在塔顶 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 ? ,在塔底 C 处测得 A 处的俯角 为 ? ,用 a,? , ? 表示山的高度 h ; (2)若将观测点选 在地面的直线 AD 上,其中 D 是塔顶 B 在地面上的射影. 已知石塔高度 a ? 20 , 当观测点 E 在 AD 上满足 DE ? 60 10 时看 BC 的视角(即 ?BEC )最大,求山的高度 h .

21.(本题满分 10 分) 设函数 f n ( x) ? x ? (3n ? 1) x2 (其中 n ? N * ) ,区间 I n ? {x | f n ( x) ? 0} . (Ⅰ)定义区间 (? , ? ) 的长度为 ? ? ? ,求区间 I n 的长度; (Ⅱ)把区间 I n 的长度记作数列 {an } ,令 bn =an ? an ?1 , (1)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ; (2)是否存在正整数 m , n ( 1 ? m ? n ),使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有的 m ,

n 的值;若不存在,请说明理由.
2 解: (Ⅰ)由 f n ( x) ? 0 ,得 x ? (3n ? 1) x ? 0 ,解得 0 ? x ?

1 , 3n ? 1

第 4 页 共 5 页

1 1 1 ) ,所以区间 I n 的长度为 ?0? ; ????3 分 3n ? 1 3n ? 1 3n ? 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? . 3n ? 1 1 1 1 1 1 (1)∵ bn ? an an ?1 ? ? ? ( ? ) (3n ? 1)[3(n ? 1) ? 1] (3n ? 1)(3n ? 2) 3 3n ? 1 3n ? 2 ∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? bn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? )? ( ? )? ? ( ? ) 3 2 5 3 5 8 3 3n ? 1 3n ? 2 n 1 1 1 ? ( ? )? ????6 分 3 2 3n ? 2 2(3n ? 2) m n 1 (2)由(1)知, T1 ? , Tm ? , Tn ? 10 2(3m ? 2) 2(3n ? 2) 2 假设存在正整数 m 、 n (1 ? m ? n) ,使得 T1 、 Tm 、 Tn 成等比数列,则 Tm ? T1 ? Tn ,
即 I n ? (0,

m2 n m 1 n , 经化简得 . ]2 ? ? ? 2 2(3m ? 2) 10 2(3n ? 2) (3m ? 2) 5(3n ? 2) ∴ (3m ? 2)2 n ? 15m2 n ? 10m2 ∴ (?3m2 ? 6m ? 2)n ? 5m2 (*) 当 m ? 2 时, (*)式可化为 2n ? 20 ,所以 n ? 10 . 当 m ? 3 时, ?3m2 ? 6m ? 2 ? ?3(m ?1)2 ? 5 ? ?7 ? 0 .
即 [

5m2 ? 0 ,所以此时 n 无正整数解. ?3m2 ? 6m ? 2 综上可知,存在满足条件的正整数 m 、 n ,此时 m ? 2 , n ? 10 . ????10 分
2 又∵ 5m ? 0 ,∴(*)式可化为 n ?

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