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烟台芝罘区数学2015-2016高三专题复习-三角函数(1)图像性质基础类型题(含解析)



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山东省烟台市芝罘区数学 2015-2016 高三专题复习 -三角函数(1)图像性质基础类型题(含解析)
烟台乐博士教育特供 明老师整理

知识回顾:正余弦函数的图像对称中心、对称轴、周期、单调区间、几个特殊周期的倍数(最 大值之间、最小值之间 1 倍,对称轴之间、对称中心之间、最大值和最小值之间 1/2 倍,对称中心和对称轴之间 1/4 倍等) 。 一、运用三角函数性质解题,通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、对称轴及对称中心。

例题 1.已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ) 4 在 ( , ? ) 上单调递减.则 ? 的取值范围是 2 ( )

?

以有

?

? ? 5? ? , ?? , 4? 2 4?
?
4

1 5 1 5 解得 ? ? , ? ? ,即 ? ? ? ,选 A. 2 4 2 4
例题 2.已知ω>0, 0 ? ? ? ? ,直线 x ?



1 5 ( A) [ , ] 2 4 1 (C ) (0, ] 2
【答案】A

1 3 (B) [ , ] 2 4
(D) ( 0 , 2 ]

x?

5? 是函数 f ( x) ? sin (?x ? ? ) 图像的两条 4
) 3π (D) 4

相邻的对称轴,则 ? ? ( π (A) 4 【答案】A π (B) 3

【解析】函数 f ( x) ? sin(?x ?

?
4

) 的导数为

π ( C) 2

f ' ( x) ? ? cos(?x ?

?
4

) ,要使函数

f ( x) ? sin(?x ? ) 在 ( , ? ) 上单调递减,则 2 4 ? 有 f ' ( x) ? ? cos( ?x ? ) ? 0 恒成立, 4 ? ? 3? ? 2k? , 则 ? 2k? ? ?x ? ? 2 4 2 ? 5? ? 2k? , 即 ? 2k? ? ?x ? 4 4 ? 2k? 5? 2k? ? ?x? ? ,k ? Z , 所以 4? ? 4? ? ? 5? ? 当 k ? 0 时, ,又 ? x ? ? ,所 ?x? 4? 4? 2

?

?

5? 是函数图象中相 4 4 5? ? T 邻的对称轴,所以 ? ? ,即 4 4 2 T 2? ? ? , T ? 2? .又 T ? ? 2? ,所以 ? ? 1, 2 ?
【解析】 因为 x ?

?

和x ?

所以 f ( x) ? sin(x ? ? ) ,因为 x ? 对称轴所以

?

?
4

?? ?

?
2

4

是函数的

? k? ,所以

??

?
4

? k? ,因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ?

?
4

,检

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5? 也为对称轴,所以选 A. 4 1 例题 3.函数 y ? 的图像与函数 x-1
验知此时 x ?
y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横

1 个单位长度,得到的图像是

坐标之和等于( ) (A)2 解:函数 y ? 和函数
y ? 2 sin ?x(-2 ? x ? 4)

(B) 4

(C) 6

(D)8

1 x -1

【答案】 A 【习题】 1.定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又 是周期函数,若 f ( x) 的最小正周期是 ? ,且 当 x ? [0, 为

的图像有公共的对称
( 1,0) 中心 ,且函数 y ? 2 sin ?x(-2 ? x ? 4) 的周

?
2

] 时, f ( x) ? sin x ,则 f (

5? ) 的值 3

期为 2,做出两个函数在同一坐标系内的图
( 1,4) 像,在区间 上有两个交点,根据对称性,

(D)

(A) ?

( - 2,1) 在 上也有两个交点, 故所有交点横坐标

1 2

(B)

3 3 1 (C) ? (D) 2 2 2

之和为 4,选 B 。 【习题】 已知 f ( x) ? 2 cos(?x ? ? ) ? b 对于任意 实数 x 都有 f ( x ?

?
4

) ? f ( ? x ) 成立,且

2.函数 y ? - x ? cos x 的部分图象是 .

(D)

f ( ) ? ?1 ,则实数 b 的值为 8

?

【答案】 ? 3 或 1. 二、三角函数的图像及性质 【例题】 把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点 的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变) , 然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移

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三角函数的定义域值域及最值问题
【例题 1】求下列函数的定义域
1 1. f ( x) ? lg(sin x - ) ? 1 - 2 cos x ; 2

【解析】因为 0 ? x ? 9 ,所以 0 ?
?

?
6

x?

9? , 6

?
3

?

?
6

x?

?
3

?

9? ? ? ,即 6 3

2. y ? 25? x ? lg cos x .
2

? 5? ? 2k? ) , (k ? Z ) 、 答案: [ ? 2k? , 3 6 3? ? ? 3? [?5, ,? ) ? (? , ) ? ( ,5] 2 2 2 2
【例题 2】 ( 1) 已知 f ( x)的定义域为(? , 义域为___________. (2)设 f (2 sin x ?1) ? cos2 x, 则f ( x) 的定义域为 ___________. 答案:
(2? ? ? 2? ? 2k? ,- ? 2k? ) ? ( ? 2k? , ? 2k? ) , 3 6 6 3
1 2 3 ), 则f (cos x) 的定 2

?

?
3

?

?
6

x? ??

?
3

?

7? ,所以当 6

?
6

x?

?
3

?
3

时,最小值为

当 x ? ? 时, 最大 2 sin(? ) ? ? 3 , 3 6 3 2 值为 2 sin

?

?

?

?

?
2

? 2 ,所以最大值与最小值之

和为 2 ? 3 ,选 A.

( k ? Z )、

[-3,1] .

【例题 3】求下列函数的值域 (1) y ? 2 cos2 x ? 5 sin x ? 4 ; (2) y ? 6 sin 2 x ? 4 sin x cos x ? 2 cos2 x ; 答案: [-9,1] 、

[4 - 2 2 ,4 ? 2 2 ] 、
??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的 3? ? 6

【 例题 4】函数 y ? 2sin ?

最大值与最小值之和为( 【答案】A (A) 2 ? 3 (D) ?1 ? 3 (B)0



(C)-1



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