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2015创新设计(高中理科数学)4-3



第3讲

平面向量的数量积

诊断· 基础知识

突破· 高频考点

培养· 解题能力

[最新考纲]
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示

两个向量的夹角,会用数量积判断两个平 面向量的垂直关系.

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知识梳理

1.平面向量的数量积
(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量 |a||b|cos θ =|a||b|cos θ 0. 叫作 a 与 b 的数量积 ( 或内积 ) ,记作 a· b ,即 a· b ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0· a=

(2)几何意义:数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影
|b|cos θ 的乘积.

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2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为向量 a,b 的夹角. (1)数量积:a· b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2.
2 (2)模:|a|= a· a= x1 +y2 1.

x1x2+y1y2 a· b (3)夹角:cos θ= = 2 2 2 2. |a||b| x1+y1· x2+y2 (4)两非零向量 a⊥b 的充要条件:a· b=0?x1x2+y1y2=0. (5)|a· b|≤|a||b|( 当且仅当 a ∥ b 时等号成立 ) ? |x1x2 + y1y2|≤
2 2 2 x1 +y1 · x2 2+y2.

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3.平面向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律). (2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).

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辨析感悟
1.对平面向量的数量积的认识 (1)两个向量的数量积是一个向量,向量加、减、数乘运算 的结果是向量. (×)

(2)(2013· 湖北卷改编)已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1), 3 2 → → D(3,4),则向量AB在CD方向上的投影为- 2 . (×)

(3)若 a· b>0,则 a 和 b 的夹角为锐角;若 a· b<0,则 a 和 b 的夹角为钝角. (×)

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2.对平面向量的数量积的性质、运算律的理解
(4)a·b=0,则a=0或b=0. (5)(a·b)·c=a·(b·c). (6)a·b=a·c(a≠0),则b=c. (×) (×) (×)

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[感悟·提升]
三个防范 量,如(1); 一是两个向量的数量积是一个数量,而不是向

二是在向量数量积的几何意义中,投影是一个数量,不是向
量.设向量a,b的夹角为θ,当θ为锐角时,投影为正值;当θ 为钝角时,投影为负值;当θ为直角时,投影为0;当θ=0°

时,b在a的方向上投影为|b|,当θ=180°时,b在a方向上投
影为- |b| ,如 (2) ;当 θ= 0°时, a·b > 0 ,θ= 180°, a·b < 0 ,即 a·b > 0 是两个向量 a , b 夹角为锐角的必要而不充分条 件,如(3); 三是 a·b = 0 不能推出 a = 0 或 b = 0 ,因为 a·b = 0 时,有可能 a⊥b,如(4).
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考点一 平面向量数量积的运算

【例1】 (1)(2014·威海期末考试 )已知a=(1,2),2a-b=(3,1),
则a·b= A.2 B.3 C.4 D.5 ( ).

(2)(2013·江西卷)设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为, 若 a = e1 + 3e2 , b = 2e1 , 则 向 量 a 在 b 方 向 上 的 射 影 为

________.

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解析

(1)∵a=(1,2),2a-b=(3,1)

∴b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3). ∴a· b=(1,2)· (-1,3)=-1+2×3=5. (2)由于 a=e1+3e2,b=2e1, 所以|b|=2,a· b=(e1+3e2)· 2e1=2e2 e2 1+6e1· 1 =2+6× =5, 2 a· b 5 所以 a 在 b 方向上的射影为|a|· cos<a,b>= = . |b| 2

5 答案 (1)D (2) 2

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规律方法 求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向

量的坐标运算;利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已
知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.

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【训练 1】 (1)若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a -b)· c=30,则 x= A.6 B.5 C.4 D.3 ( ).

→ 与AC → 的夹角为 120° → |= (2)(2013· 山东卷)已知向量AB ,且|AB → |=2.若AP → =λAB → +AC → ,且AP → ⊥BC → ,则实数 λ 的值为 3,|AC ______.

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解析 (1)8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3), 所以(8a-b)· c=(6,3)· (3,x)=30, 即 18+3x=30,解得 x=4.故选 C. → ⊥BC → ,∴AP →· → =0, (2)∵AP BC → +AC → )· → =0, → +AC → )· → -AB → )=(λ-1)AB →· → ∴(λAB BC 即(λAB (AC AC → 2+AC → 2=0. -λAB → 与AC → 的夹角为 120° → |=3,|AC → |=2, ∵向量AB ,|AB 7 → → ∴(λ-1)|AB||AC|· cos 120° -9λ+4=0,解得 λ= . 12 7 答案 (1)C (2) 12
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考点二 向量的夹角与向量的模
【例2】 (1)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角 的余弦值为________. (2) 已知向量 a , b 满足 a·b = 0 , |a| = 1 , |b| = 2 ,则 |2a - b| = ________.

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解析 (1)等式平方得|a|2=9|b|2 =|a|2+4|b|2+4a· b, 则|a|2=|a|2+4|b|2+4|a||b|cos θ, 即 0=4|b|2+4· 3|b|2cos θ, 1 得 cos θ=- . 3 (2)因为 |2a-b|2 = (2a- b)2=4a2+ b2 - 4a· b= 4a2+b2= 4+4 =8,故|2a-b|=2 2.
1 答案 (1)- (2)2 2 3
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规律方法 (1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式. (2)|a|= a· a常用来求向量的模.

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【训练 2】 (1)(2014· 长沙模拟)已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a| =1,|2a-b|= 10,则|b|=________. (2)若平面向量 a,b 满足|a|=1,|b|≤1,且以向量 a,b 为邻 1 边的平行四边形的面积为 ,则 a 和 b 的夹角 θ 的取值范围 2 是________.

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解析 (1)由|2a-b|= 10平方得, 4a2-4a· b+b2=10, 即|b|2-4|b|cos 45° +4=10, 亦即|b|2-2 2|b|-6=0, 解得|b|=3 2或|b|=- 2(舍去). 1 (2)依题意有|a||b|sin θ= , 2 1 即 sin θ= ,由|b|≤1,得 2|b| 1 ≤sin θ≤1,又 0≤θ≤π, 2 π 5π 故有 ≤θ≤ . 6 6

答案 (1)3 2

?π 5π? ? , (2)? ?6 6? ? ?

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考点三 平面向量的垂直问题
【例3】 已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(0<α<β<π). (1)求证:a+b与a-b互相垂直; (2)若ka+b与a-kb的模相等,求β-α(其中k为非零实数). 审题路线 证明两向量互相垂直,转化为计算这两个向量 的数量积问题,数量积为零即得证 ? 由模相等,列等式、 化简求β-α.

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(1)证明 ∵(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2 =(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0, ∴a+b与a-b互相垂直.
(2)解 ka+b=(kcos α+cos β,ksin α+sin β),

a-kb=(cos α-kcos β,sin α-ksin β), |ka+b|= k2+2kcos?β-α?+1, |a-kb|= 1-2kcos?β-α?+k2. ∵|ka+b|=|a-kb|,∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α). 又 k≠0,∴cos(β-α)=0. π ∵0<α<β<π,∴0<β-α<π,∴β-α= . 2
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规律方法 (1)当向量a与b是坐标形式给出时,若证明a⊥b,则只
需证明a·b=0?x1x2+y1y2=0. (2)当向量a,b是非坐标形式时,要把a,b用已知的不共线向量 作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角,从而进行 运算证明a·b=0. (3) 数量积的运算 a·b = 0?a⊥b 中,是对非零向量而言的,若 a =0,虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.

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【训练 3】 已知平面向量 a=(
(1)证明:a⊥b;

?1 3,-1),b=? ?2, ?

3? ? . 2? ?

(2)若存在不同时为零的实数k和t,使c=a+(t2-3)b, d=-ka+tb,且c⊥d,试求函数关系式k=f(t).
1 3 (1)证明 ∵a· b= 3× -1× =0,∴a⊥b. 2 2

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(2)解 ∵c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且 c⊥d, ∴c· d=[a+(t2-3)b]· (-ka+tb) =-ka2+t(t2-3)b2+[t-k(t2-3)]a· b=0. 又 a2=|a|2=4,b2=|b|2=1,a· b=0, ∴c· d=-4k+t3-3t=0, t3-3t ∴k=f(t)= (t≠0). 4

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1.计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的几何意

义,要灵活选用,和图形有关的不要忽略数量积几何意义的
应用. 2.求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a2,将模的 运算转化为向量的数量积的运算. 3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值

问题常用的方法与技巧.

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教你审题 5——数量积的计算问题 【典例】 (2012· 上海卷)在矩形 ABCD 中,设 AB,AD 的长分 →| |BM 别为 2,1.若 M,N 分别是边 BC,CD 上的点,且满足 = → |BC| →| |CN →· → 的取值范围是________. ,则AM AN →| |CD

[审题] 一审:抓住题眼“矩形 ABCD”; 二审:合理建立平面直角坐标系,转化为代数问题解决.

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解析

如图,以 A 点为坐标原点建立平面直角坐标系,则

各点坐标为 A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1), → | |CN →| |BM 设 = =k(0≤k≤1),则点 M 的坐标为(2,k),点 N → | |CD →| |BC 的坐标为(2-2k,1), → =(2,k),AN → =(2-2k,1),AM →· → =2(2-2k)+k=4- 则AM AN 3k,而 0≤k≤1,故 1≤4-3k≤4.

答案 [1,4]

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[反思感悟] 在利用平面向量的数量积解决平面几何中的问题

时,首先要想到是否能建立平面直角坐标系,利用坐标运算题
目会容易的多.

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【自主体验】 (2012· 江苏卷)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2, →· → = 2, →· → 点 E 为 BC 的中点, 点 F 在边 CD 上, 若AB AF 则AE BF 的值是________.

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解析 法一 以 A 为原点,AB,AD 所在直线分别为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B( 2,0),E( 2,1), → =(x,2),AB → =( 2,0),AE → =( 2,1),BF → =(x F(x,2),∴AF →· → = 2x= 2, →· → - 2, 2), ∴AB AF 解得 x=1, ∴F(1,2), ∴AE BF = 2. →· → =|AB → ||AF → |cos∠BAF= 2, 法二 AB AF → |cos∠BAF=1,即|DF → |=1,∴|CF → |= 2-1,AE →· →= ∴|AF BF → + BE → )· → + CF → ) = AB →· → + AB →· → +BE →· → + BE →· →= ( AB ( BC BC CF BC CF →· → +BE →· → = 2×( 2-1)×(-1)+1×2×1= 2. AB CF BC
答案 2
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