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第二章基本初等函数、导数及其应用第7课时



第二章

基本初等函数、导数及其应用

第7课时

对数与对数函数

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

1.对数的概念及运算法则 (1)对数的定义 说出logaN的底数和真数各是什么?又有何限制? 提示:底数为a,a>0

且a≠1,真数为N,且N>0.

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基本初等函数、导数及其应用

(2)对数的常用关系式 ①对数恒等式: a
loga N = ____( N a>0

且 a≠ 1, N>0);

logcb logca (b>0,a、c 均大于 0 且不等于 1). 换底公式:loga b= _______
1 logad d>0,a、b、 ② loga b= , 推广 loga b·logb c·logcd= ______( logb a c 均大于 0 且不等于 1).

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基本初等函数、导数及其应用

(3)对数的运算法则 如果 a>0,且 a≠ 1, M>0, N>0,那么 logaM+logaN ; ① loga(M· N)= _______________ M logaM-logaN ; ② loga = _______________ N nlogaM n∈ R); ③ loga Mn= __________(

n loga M n m ④ logamM = __________ (n∈ R,m≠ 0).

温馨提示:在运算性质logaMn=nlogaM中,要特别注意条

件,在无M>0的条件下应为logaMn=nloga|M|(n∈N*,且
n为偶数).
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基本初等函数、导数及其应用

2.对数函数的图象与性质

a>1

0<a<1

图象
(0,+∞) 定义域:__________ 值域:R (1,0) 过定点__________ 当x>1时,y>0当0<x<1时, y<0 在(0,+∞)上是 增函数 __________

性质

当x>1时,y<0当0<x<1时, y>0 在(0,+∞)上是 减函数 __________
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基本初等函数、导数及其应用

温馨提示:对数函数图象的基本特征: (1)当 a>1 时,对数函数的图象“上升”; 当 0< a<1 时,对数函数的图象“下降”. (2)对数函数 y= loga x(a> 0,且 a≠ 1)的图象过定点 (1,0),且 1 ? 过点 (a, 1),? ,- 1? ,函数图象只在第一、四象限. ? a

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基本初等函数、导数及其应用

3.反函数 指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互 y= x 为反函数,它们的图象关于直线__________ 对称.

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基本初等函数、导数及其应用

lg( x+ 1) 1. (2013· 高考广东卷)函数 y= 的定义域是 ( x- 1 A. (- 1,+∞ ) C. (- 1, 1)∪(1,+∞) B. [- 1,+∞ ) D. [- 1, 1)∪(1,+∞)

)

? ?x+ 1>0, 解析:选 C.要使函数有意义,需? 解得 x>- 1 且 ?x- 1≠ 0, ?

x≠ 1,故函数的定义域为(- 1, 1)∪ (1,+∞ ).
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基本初等函数、导数及其应用

2.(2013· 高考福建卷)函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是(

)

解析:选A.f(x)=ln(x2+1),x∈R,当x=0时,f(0)=ln 1=0, 即f(x)过点(0,0),排除B,D.

∵f(-x)=ln[(-x)2+1]=ln(x2+1)=f(x),
∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称.
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基本初等函数、导数及其应用

3.(2013· 高考课标全国卷Ⅱ)设a=log32,b=log52,c=log23, 则( ) B.b>c>a A.a>c>b

C.c>b>a

D.c>a>b

解析:选D.a=log32<log33=1;c=log23>log22=1, 由对数函数的性质可知log52<log32,∴b<a<c.

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基本初等函数、导数及其应用

4.(2013· 高考四川卷)lg 解析:lg 5+lg

5+lg

1 20的值是________ .

20=lg

100=lg 10=1.

? ?log1x, x≥ 1, 5. (2013· 高考北京卷)函数 f(x)=? 2 的值域为 ? 2x, x<1, ?
(-∞,2) . ____________
解析:当 x≥1 时, log1x≤ log11= 0,
2 2

∴当 x≥1 时, f(x)≤ 0. 当 x<1 时, 0<2 <2 ,即 0<f(x)<2. 因此函数 f(x)的值域为 (-∞, 2).
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x

1

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基本初等函数、导数及其应用

对数式的化简与求值
计算下列各式. ( lg 3) - lg 9+ 1· ( lg 27+ lg 8-lg 1 000) (1) ; lg 0.3· lg 1.2 (2)(log3 2+ log9 2)(log4 3+ log8 3).
2

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基本初等函数、导数及其应用

[解] =

3 3? ? ( lg 3) - 2lg 3+ 1· ?2lg 3+ 3lg 2-2 ?
2

(1)原式

( lg 3- 1) · ( lg 3+ 2lg 2- 1) 3 ( 1- lg 3) ·( lg 3+ 2lg 2- 1) 2 3 = =- . ( lg 3- 1)( lg 3+ 2lg 2- 1) 2 lg 2 lg 2 ??lg 3 lg 3? ? + ? (2)原式=? + ? ? lg 3 lg 9 lg 4 lg 8 lg 2 lg 2 ?? lg 3 lg 3 ? ? + =? + ? ? lg 3 2lg 3 2lg 2 3lg 2? 3lg 2 5lg 3 5 = · = . 2lg 3 6lg 2 4
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基本初等函数、导数及其应用

对数运算的一般思路: (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数 幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用 对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.

注意:在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化.

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基本初等函数、导数及其应用

( 1- log6 3)2+ log6 2· log6 18 1. (1)计算: ; log6 4 (2)已知 loga 2=m,loga 3= n,求 a
2 m+ n

.

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基本初等函数、导数及其应用

解: (1)原式 6 1- 2log6 3+( log6 3) + log6 · log6( 6× 3) 3 = log6 4 2 1- 2log6 3+( log6 3) +( 1- log6 3)( 1+ log6 3) = log6 4 2 2 1- 2log6 3+( log6 3) + 1-( log6 3) = log6 4 2( 1- log6 3) log6 6- log6 3 log6 2 = = = = 1. 2log6 2 log6 2 log6 2 m n (2)∵ loga 2=m, loga 3=n,∴ a = 2, a = 3,
2

∴a

2 m+ n

=(a ) · a = 2 × 3= 12.
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m 2

n

2

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基本初等函数、导数及其应用

对数函数的图象及应用 (1)(2014· 安徽省“江南十校”联考)函数y=log2(|x|+1)

的图象大致是(

)

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基本初等函数、导数及其应用

1 (2)(2012· 高考课标全国卷 )当 0< x≤ 时, 4x< loga x,则 a 的 2 取值范围是 ( A. ?0, ) B.?

?

2? 2 ?

? 2, 1? ? 2

C. (1, 2)

D. ( 2, 2)

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基本初等函数、导数及其应用

[解析]

(1)首先判断定义域为 R.又 f(- x)= f(x),所以函数 y

= log2(|x|+ 1)为偶函数,当 x> 0 时, y= log2(x+ 1). 1? ? (2)由题意得,当 0< a< 1 时,要使得 4 < loga x?0< x≤ ?, 2
x

1 x 即当 0< x≤ 时, 函数 y= 4 的图象在函数 y= logax 图象的下 2 方.

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基本初等函数、导数及其应用

1 1 1 x ? 2 又当 x= 时, 4 = 2,即函数 y= 4 的图象过点? , 2 ? ,把点 ? 2 2 ?1, 2?代入函数 y= loga x,得 a= 2,若函数 y= 4x 的图象在 ?2 ? 2 2 函数 y= loga x 图象的下方,则需 < a< 1(如图所示). 2 当 a>1 时,不符合题意,舍去.

? 2 ? 所以实数 a 的取值范围是? , 1?. 2
[答案] (1)B (2)B

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基本初等函数、导数及其应用

(1)研究对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函数的图

象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,要注意
底数a>1或0<a<1的两种不同情况. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问 题,利用数形结合法求解.

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基本初等函数、导数及其应用

2.(1)已知lg a+lg b=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-
logbx的图象可能是( )

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基本初等函数、导数及其应用

b c 1 1 ? ? = log b, ? ? = log c, (2)设 a, b, c 均为正数, 且 2 = log1a, 2 1 ?2 ? ?2 ? a 2 2

则( ) A. a< b< c C. c< a< b

B. c< b< a D. b< a< c

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基本初等函数、导数及其应用

解析: (1)选 B.∵ lg a+ lg b= 0,∴ ab= 1, ∵ g(x)=-logb x 的定义域是 (0,+∞),故排除 A. 若 a> 1,则 0< b< 1, 此时 f(x)= a 是增函数, g(x)=- logb x 是增函数, 结合图象知选 B. (2)选 A.如图,在同一坐标系中, x 1 ? , y= 2x, y= log x 和 log x 的图象. 作出函数 y=? 2 1 ?2 ?
2 x

由图象可知 a< b< c.

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基本初等函数、导数及其应用

对数函数的性质及应用
已知函数 f(x)= log1(x2- 2ax+ 3).
2

(1)若 f(- 1)=- 3,求 f(x)的单调区间; (2)是否存在实数 a,使 f(x)在 (-∞,2)上为增函数?若存在, 求出 a 的范围;若不存在,说明理由.

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基本初等函数、导数及其应用

[解]

(1)由 f(- 1)=- 3,得 log1(4+ 2a)=- 3.
2

所以 4+ 2a= 8,所以 a= 2. 这时 f(x)= log1(x2- 4x+ 3), 由 x2- 4x+ 3> 0,得 x> 3 或 x< 1, 故函数的定义域为 (-∞, 1)∪ (3,+∞ ). 令 g(x)= x2- 4x+ 3, 则 g(x)在 (-∞, 1)上单调递减,在 (3,+∞)上单调递增. 又 y= log1g(x)在 (0,+∞ )上单调递减,
2 2

所以 f(x)的单调递增区间是 (-∞, 1),单调递减区间是(3, +∞ ).
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基本初等函数、导数及其应用

(2)令 g(x)= x2- 2ax+ 3,要使 f(x)在 (-∞, 2)上为增函数, 应使 g(x)在 (-∞, 2)上单调递减,且恒大于 0.
? ? ?a≥ 2 ?a≥ 2 因此? ,即? , a 无解. ? ? ?g( 2)> 0 ?7- 4a> 0

所以不存在实数 a,使 f(x)在(-∞, 2)上为增函数.

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基本初等函数、导数及其应用

利用对数函数的性质,求与对数函数有关的复合函数的值域和

单调性问题时,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问
题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复 合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.

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基本初等函数、导数及其应用

3.已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1. (1)求f(x)的定义域; (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当a>1时,求使f(x)>0的x的取值范围.

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基本初等函数、导数及其应用

解: (1)f(x)=loga (x+ 1)-loga (1- x),
? ?x+ 1> 0, 则? 解得- 1< x< 1. ?1- x> 0, ?

故所求定义域为 { x|- 1< x< 1}. (2)f(x)为奇函数.证明如下: 由 (1)知 f(x)的定义域为 { x|- 1< x< 1}, 且 f(- x)= loga (- x+ 1)- loga (1+ x)=- [loga (x+ 1)-loga (1 - x)]=-f(x). 故 f(x)为奇函数.
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基本初等函数、导数及其应用

(3)由 f(x)> 0,则 loga (x+ 1)- loga (1- x)> 0, ∴ loga(x+ 1)> loga(1- x),又 a> 1,

?x+ 1> 0 ? ∴?1- x> 0 ,解得 0< x< 1. ? ?x+ 1> 1- x
所以使 f(x)>0 的 x 的取值范围是{ x|0< x< 1}.

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基本初等函数、导数及其应用

对数换底公式的应用

(2013· 高考陕西卷)设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下
列等式中恒成立的是( A.logab· logcb=logca B.logab· logca=logcb C.loga(bc)=logab· logac D.loga(b+c)=logab+logac
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)

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基本初等函数、导数及其应用

[解析]

由对数的运算公式 loga (bc)= loga b+ loga c 可判断选

项 C,D 错误.选项 A,由对数的换底公式知, loga b· logcb lg b lg b lg a 2 2 = logca? · = ? lg b= lg a,此式不恒成立.选项 lg a lg c lg c lg b lg a lg b B, 由对数的换底公式知, loga b· logca= · = = logcb, lg a lg c lg c 故恒成立.

[答案] B

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基本初等函数、导数及其应用

本考题源于教材人教A版必修1 P75习题A组T11“(1)利用换底

公式求下式的值:log225· log34· log59.(2)利用换底公式证明:
logab· logbc· logca=1”的变式而来.

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基本初等函数、导数及其应用

1. (log2 9) · (log3 4)= ( 1 A. 4 C. 2

)

1 B. 2 D. 4

lg 9 lg 4 2lg 3 2lg 2 解析:选 D.(log29)· (log34)= × = × = 4. lg 2 lg 3 lg 2 lg 3

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基本初等函数、导数及其应用

2.(2014· 西工大附中月考)若a=log23,b=log32,c=log46, 则下列结论正确的是( A.b<a<c C.c<b<a B.a<b<c D.b<c<a )

解析:选D.a=log23=log49>log46>1,又b=log32<1,
∴b<c<a.

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基本初等函数、导数及其应用

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