9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

专题:基本不等式与对勾函数


快乐学习,学习快乐 xyz

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

一、对勾函数 y ? ax ?

b (a ? 0, b ? 0) 的图像与性质 x

性质: 1. 定义域: (??,0) ? (0,??) 2. 值域: (??,?2 ab) ? (2 ab,??) 3. 奇偶性:奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的形状,且函数图像关于原点呈中心对 称,即 f ( x) ? f (? x) ? 0 4. 图像在一、三象限 当 x ? 0 时,由基本不等式知 y ? ax ?

b b ? 2 ab (当且仅当 x ? 取等号) , x a

1

快乐学习,学习快乐 xyz

即 f ( x) 在 x= 由奇函数性质知: 当 x<0 时, f ( x) 在 x= ?

b 时,取最小值 2 ab a

b 时,取最大值 ? 2 ab a

5. 单调性:增区间为(

b b , ( ? ?,? ) , ? ?) a a b b ) , (? ,0) a a

减区间是(0,

二、对勾函数的变形形式 类型一:函数 y ? ax ?

b (a ? 0, b ? 0) 的图像与性质 x (?b) 此函数与对勾函数 y ? ( ? a ) x ? 关于原点对称,故函数图像为 x

性质:

类型二:斜勾函数 y ? ax ?

b (ab ? 0) x

2

快乐学习,学习快乐 xyz

① a ? 0, b ? 0 作图如下

性质:

② a ? 0, b ? 0 作图如下:

类型三:函数 f ( x) ?

ax2 ? bx ? c (ac ? 0) x
c c ? b ,则 f ( x) 可由对勾函数 y ? ax ? 上下平移得到 x x

此类函数可变形为 f ( x ) ? ax ? 例 1 作函数 f ( x) ?

x2 ? x ?1 的草图 x

x2 ? x ?1 1 ? f ( x) ? x ? ? 1 作图如下: 解: f ( x) ? x x

a (a ? 0, k ? 0) x?k a a )?k , 此类函数可变形为 f ( x) ? ( x ? k ? 则 f ( x) 可由对勾函数 y ? x ? 左右平移, x?k x
类型四:函数 f ( x) ? x ? 上下平移得到

3

快乐学习,学习快乐 xyz

例 2 作函数 f ( x) ? x ? 解: f ( x) ? x ?

1 的草图 x?2

1 1 ? f ( x) ? x ? 2 ? ? 2 作图如下: x?2 x?2

x?3 ? x 的作图: x?2 x?3 x ? 2 ?1 1 1 ? x ? f ( x) ? ? x ? 1? ? x ? x?2? ?1 解: f ( x) ? x?2 x?2 x?2 x?2
例 3 作函数 f ( x) ?

练习: 1.求函数 f ( x) ? x ?

1 在 (2,??) 上的最低点坐标 2x ? 4

2. 求函数 f ( x ) ? x ?

x 的单调区间及对称中心 x ?1

类型五:函数 f ( x) ?

ax (a ? 0, b ? 0) x ?b
2

此类函数定义域为 R ,且可变形为 f ( x) ?

a a ? b x ?b x? x x
2

a.若 a ? 0 ,则 f ( x) 的单调性和对勾函数 y ? x ?

b 的单调性相反,图像如下: x

性质: 1.定义域: (??,??)

4

快乐学习,学习快乐 xyz

2. 值域: (? a ?

1 2 b

,a ?

1 2 b

)

3. 奇偶性:奇函数,函数图像整体呈两个倒着的“对勾”的形状,且函数图像关于原点呈 中心对称,即 f ( x) ? f (? x) ? 0 4. 图像在一、三象限 当 x ? 0 时,由基本不等式知 f ( x) ?

a b 2 x? x

?

a 2 b

(当且仅当 x ?

, b 取等号)

即 f ( x) 在 x ? 由奇函数性质知:

b 时,取最大值

a 2 b

当 x<0 时, f ( x) 在 x= ? b 时,取最小值 ?

a 2 b

5. 单调性:减区间为( b, ? ? ) , ( ? ?,? b ) 增区间是 [? b , b ] 例 4 作函数 f ( x ) ? 解: f ( x) ?

x 的草图 x ?1
2

1 1 x ? f ( x) ? 2 ? 1 x ?1 x ?1 x? x x
2

b. 若 a ? 0 ,作出函数图像: 例 5 作函数 f ( x ) ? ?

2x 的草图 x ?4
2

5

快乐学习,学习快乐 xyz

类型六:函数 f ( x) ?

ax2 ? bx ? c (a ? 0) x?m a( x ? m) 2 ? s( x ? m) ? t t ? a( x ? m) ? ? s(at ? 0) , x?m x?m
t 左右平移,上下平移得到 x

此类函数可变形为 f ( x) ?

则 f ( x) 可由对勾函数 y ? ax ?

1 x2 ? x ?1 例 6 说明函数 f ( x) ? 由对勾函数 y ? x ? 如何变换而来 x x ?1
解: f ( x) ?

( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) ? 1 1 ? x ?1? ?1 x ?1 x ?1
1 向 x
(填“左” 、 “右” )平移 单位,

故 此函数 f ( x) 可由对勾函数 y ? x ? 向 (填“上” 、 “下” )平移

单位.草图如下:

练习:1.已知 x ? ?1 ,求函数 f ( x) ?

x 2 ? 7 x ? 10 的最小值 x ?1

2.已知 x ? 1 ,求函数 f ( x) ?

x 2 ? 9 x ? 10 的最大值 x ?1

类型七:函数

f ( x) ?

x?m (a ? 0) ax ? bx ? c
2

例 7 求函数 f ( x) ?

x ?1 在区间 (1,??) 上的最大值 x ?x?2
2

解:当 x ? 1 时, f (1) ? 0

当 x ? 1 时,

f ( x) ?

x ?1 1 1 ? ? 2 4 ( x ? 1) ? 3( x ? 1) ? 4 ( x ? 1) ? 3( x ? 1) ? 4 x ?1? ?3 x ?1 x ?1
2

问:若区间改为 [4,??) 则 f ( x) 的最大值为
6

快乐学习,学习快乐 xyz

练习:1.求函数 f ( x) ?

x 2 ? 2x ? 3 在区间 [0,??) 上的最大值 x2 ? x ? 2

类型八:函数 f ( x) ?

x?b x?a
x?a?b?a x?a ? x?a ? b?a x?a (b ? a ? 0)

此类函数可变形为标准形式: f ( x) ?

例 8 求函数 f ( x) ?

x?3 x ?1

的最小值

解: f ( x) ?

x ?1? 4 x ?1

? x ?1 ?

4 x ?1

练习: 1.求函数 f ( x) ?

x?5 x ?1

的值域

2.求函数 f ( x) ?

x?2 的值域 x?3

类型九:函数

f ( x) ?

x2 ? b x2 ? a

(a ? 0)

此类函数可变形为标准形式:

f ( x) ?

( x2 ? a )2 ? b ? a x2 ? a

? x2 ? a ?

b?a x2 ? a

(b ? a ? o)

例 9 求函数 f ( x) ?

x2 ? 5 x ?4
2

的最小值

解: f ( x) ?

x2 ? 5 x2 ? 4

? f ( x) ?

x2 ? 4 ?1 x2 ? 4

? x2 ? 4 ?

1 x2 ? 4

7

快乐学习,学习快乐 xyz

练习:1. 求函数 f ( x) ?

x2 ?1 的值域 x 2 ? 17

例 10 已知 a ? 0, 求函数y=
x2 ? a ? 1 x ?a
2

x2 ? a ? 1 x2 ? a

的最小值。
1 x ?a
2

解: y=

? x2 ? a ?

令 t= x 2 ? a ( t ? a ),则 y=t ?

1 t
1 a

当 a ? 1 即 a ? 1 时, y min = a ? 当 a ? 1 即 0 ? a ? 1 时, ymin =2

8


赞助商链接

更多相关文章:
基本不等式与对勾函数20130430
基本不等式与对勾函数20130430_数学_高中教育_教育专区。基本不等式与对勾函数 ...专题:基本不等式与对勾... 3414人阅读 10页 1下载券 基本不等式—最值—对勾...
基本不等式—最值—对勾函数-耐克函数(学案 附答案)
2 y ? m2 ? 2m 恒成立, 则实数 m 的取值范 x y C 专题:对勾函数——基本不等式的应用实例思考分析思考 1:反比例函数 y ? k (k ? 0) ,x 的范围...
对勾函数专题
对勾函数专题_数学_高中教育_教育专区。鸡西市第十九中学高一数学组 《对勾...当 x ? 0 时, 由基本不等式可得: 当且仅当 故其顶点坐标为( 在( , y...
专题:对勾函数
专题:对勾函数_高一数学_数学_高中教育_教育专区。基本不等式与对勾函数一、 对勾函数 y ? ax ? 性质: 1. 定义域: (??,0) ? (0,??) 2. 值域: (?...
专题:对勾函数
专题:对勾函数_数学_高中教育_教育专区。快乐学习,学习快乐 xyz 基本不等式与对勾函数一、 对勾函数 y ? ax ? b (a ? 0, b ? 0) 的图像与性质 x 性质...
应用题专题训练--函数(对勾函数)
应用题专题训练--函数(对勾函数)_数学_高中教育_教育专区。应用题专题训练--函数...(全)基本不等式应用,利用... 5页 1下载券 (精)二次函数最值知识点... ...
对勾函数(目前最全面的版本了吧)
之后当 a<0,b<0 时,根据对称就很容易得出 结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。 利用均值不等式可以得到: 当 x>0 时, ...
对勾函数图象性质
(二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以...专题推荐 2014下半年教师资格...专题 2014教师资格材料分析辅... 2014小学教师...
对勾函数的图像与性质探究
对勾函数的图像与性质探究_高二数学_数学_高中教育_...如果用基本不等式, 发现 x=1 才能取到最小值 2...专题 2014教师资格材料分析辅... 2014小学教师资格...
高中数学一轮复习微专题第13季线性规划与基本不等式:第...
高中数学一轮复习微专题第13季线性规划与基本不等式:第7节 利用基本不等式求最...若使用基本不等式时,等号取不到,可以通过“对勾函数”,利用单调性求最值. 3...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图