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《名师伴你行》2016级数学一轮复习 第二章 函数的图像



名师伴你行
2016级高考数学一轮复习课件

§2.5

函数的图像

[高考调研
考纲解读 ?在实际情境中,会根 据不同的需要选择图像 法、列表法、解析法表 示函数. ?会运用函数图像理解 和研究函数的性质.

明确考向]
考情分析

?函数的图

像是近几年高考的热点. ?运用函数的图像研究函数的性质(单 调性、奇偶性、最值)、图像的变换、 图像的运用(方程的解、函数的零点、 不等式的解、求参数值)等问题是重 点,也是难点. ?题型以选择题和填空题为主.

知识梳理 1.描点法作图 1 _____、 □ 2 _____、 □ 3 _____三个步骤画出函数 通过 □ 的图像.

2.图像变换法作图 (1)平移变换: 4 ______平移a(a>0)个单位得 ①函数y=f(x)的图像向 □ 到函数y=f(x+a)的图像. 5 _____ ②y=f(x-b)(b>0)的图像可由y=f(x)的图像向□ 平移b个单位得到.

(2)对称变换(在f(-x)有意义的前提下): 6 __________对称; ①函数y=f(-x)与y=f(x)的图像□ 7 __________对称; ②函数y=-f(x)与y=f(x)的图像□ 8 ________对称; ③函数y=-f(x)与y=f(-x)的图像□

④函数y=|f(x)|的图像可将y=f(x)的图像在x轴下方的部 9 __________________,其余部分不变; 分□ ⑤作y=f(|x|)的图像可先作出y=f(x)当x≥0时的图像,再 10 ______的图像. 利用偶函数的图像关于y轴对称,作出□

(3)伸缩变换: ①函数y=Af(x)(A>0)的图像,可将y=f(x)的图像上所有 11 __________变为原来的A倍,横坐标不变而得到; 点的□ ②函数y=f(ax)(a>0)的图像,可将y=f(x)的图像上所有 1 12 13 __________不变而 点的 □ __________变为原来的 a 倍, □ 得到.

3.等价变换 例如:作出函数y= 形 ?y≥0, ? 2 2 1-x ? ?1-x ≥0, ?y2=1-x2 ?
? ?y≥0, ? 2 2 ? y = 1 - x ?

1-x2 的图像,可对解析式等价变

y=

?

?x2+y2=

1(y≥0),可看出函数的图像为半圆.此过程可归纳为:(1)写 出函数解析式的等价组;(2)化简等价组;(3)作图.

1 列表 答案: □

2 描点 □ 3 连线 □ 4 左 □ 5 右 □

6 关于y轴 □ 7 关于x轴 □ 8 关于坐标原点 □ 9 关于x轴 □ 10 x<0 翻转180° □ 11 纵坐标 □ 12 横坐标 □ 13 纵坐标 □

名师微博 ●一条主线 数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线,也是 高考考查的热点.作函数图像首先要明确函数图像的形状和 位置,而取值、列表、描点、连线只是作函数图像的辅助手 段,不可本末倒置.

●两个区别 一个函数的图像关于原点对称与两个函数的图像关于原 点对称不同,前者是自身对称,且为奇函数,后者是两个不 同的函数对称. (2)一个函数的图像关于y轴对称与两个函数的图像关于y 轴对称也不同,前者也是自身对称,且为偶函数,后者也是 两个不同函数的对称关系.

●三种途径 明确函数图像形状和位置的方法大致有以下三种途径: ①图像变换:平移变换、伸缩变换、对称变换.②函数解析 式的等价变换.③研究函数的性质.

基础自测 x+3 1.(人教A版教材习题改编)为了得到函数y=lg 10 的图 像,只需把函数y=lgx的图像上所有的点( )

A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

x+3 解析:y=lg 10 =lg(x+3)-1可由y=lgx的图像向左平 移3个单位长度,向下平移1个单位长度而得到.

答案:C

2.(2011· 安徽)若点(a,b)在y=lgx图像上,a≠1,则下 列点也在此图像上的是(
?1 ? A.?a,b? ? ? ?10 ? C.? a ,b+1? ? ?

) B.(10a,1-b) D.(a2,2b)

解析:当x=a2时,y=lga2=2lga=2b,所以点(a2,2b)在 函数y=lgx图像上.

答案:D

1 3.函数y=1- 的图像是( x-1

)

A.

B.

C.
D.

-1 解析:将y= x 的图像向右平移1个单位,再向上平移 1 一个单位,即可得到函数y=1- 的图像. x-1

答案:B

4.函数y=x 的图像是(

1 3

)

A

B.

C.

D.

解析:由(-x)
1 3

1 3

=-x 知函数是奇函数.同时由当0<x
1 3

1 3

<1时,x >x,当x>1时,x <x,知只有B选项符合.

答案:B

5.已知图①中的图像对应的函数为y=f(x),则图②的 图像对应的函数为( )



② A.y=f(|x|) C.y=f(-|x|) B.y=|f(x)| D.y=-f(|x|)

? ?f?-x?,x≥0, 解析:y=f(-|x|)=? ? ?f?x?,x<0.

答案:C

考点一

作函数图像

[例1]

分别画出下列函数的图像:
x +2

(1)y=|lgx|;(2)y=2

x+2 ;(3)y=x -2|x|-1;(4)y= . x-1
2

? ?lgx ?x≥1?, 解析:(1)y=? ? ?-lgx ?0<x<1?.

图像如图①.

(2)将y=2x的图像向左平移2个单位.图像如图②.
2 ? ?x -2x-1 (3)y=? 2 ? ?x +2x-1

?x≥0?, 图像如图③. ?x<0?.

3 3 (4)因y=1+ ,先作出y= x 的图像,将其图像向右平 x-1 x+2 移1个单位,再向上平移1个单位,即得y= 的图像,如 x-1 图④.









方法点睛

①熟练掌握几种基本函数的图像,如二次函

数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y=x 1 + 的函数;②掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折 x 变换、周期变换等常用的方法技巧,来帮助我们简化作图过 程.

变式训练1

作出下列函数的图像:

(1)y=2x+1-1;(2)y=sin|x|;(3)y=|log2(x+1)|.

解析:(1)y=2x 1-1的图像可由y=2x的图像向左平移1


个单位,得y=2x+1的图像,再向下平移1个单位得到y=2x+1 -1的图像,如图①所示.

图①

图②

图③

(2)当x≥0时,y=sin|x|与y=sinx的图像完全相同,又y= sin|x|为偶函数,其图像关于y轴对称,如图②所示. (3)首先作出y=log2x的图像c1,然后将c1向左平移1个单 位,得到y=log2(x+1)的图像c2,再把c2在x轴下方的图像翻 折到x轴上方,即为所求图像c3:y=|log2(x+1)|.如图③所示 (实线部分).

考点二

函数图像的识辨

[例2]

函数f(x)=1+log2x与g(x)=21-x在同一直角坐标系 )

下的图像大致是(

A.

B.

C.

D.

解析:f(x)=1+log2x的图像由函数f(x)=log2x的图像向 上平移一个单位而得到,所以函数图像经过(1,1)点,且为单 调增函数,显然,A项中单调递增的函数经过点(1,0),而不 是(1,1),故不满足;函数g(x)=2
1-x

=2×

?1? ? ? x,其图像经过 ?2?

(0,2)点,且为单调减函数,B项中单调递减的函数与y轴的交 点坐标为(0,1),故不满足;D项中两个函数都是单调递增 的,故也不满足.

综上所述,排除A,B,D.故选C.

答案:C

方法点睛

函数图像的识辨可从以下方面入手:①从函

数的定义域,判断图像的左右位置;从函数的值域,判断图 像的上下位置;②从函数的单调性,判断图像的变化趋势; ③从函数的奇偶性,判断图像的对称性;④从函数的周期 性,判断图像的循环往复.利用上述方法,排除、筛选错误 与正确的选项.

变式训练2 (1)函数y=2x-x2的图像大致是(

)

A.

B.

C.

D.

b (2)函数y=ax +bx与y=log| a |x(ab≠0,|a|≠|b|)在同一直
2

角坐标系中的图像可能是(

)

A.

B.

C.

D.

解析:(1)画出函数y=2x,y=x2的图像可知两个函数图 像有三个交点,所以函数y=2x-x2的图像与x轴有三个交 点,故排除B、C;当x→-∞时,2x-x2<0,排除D. (2)从对数的底数入手进行讨论,再结合抛物线过原点, 然后从抛物线对称轴的取值范围进行判断,故选D.

答案:(1)A (2)D

考点三

函数图像的应用

[例3]

已知函数f(x)=|x2-4x+3|.

(1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实根}.

2 ? ??x-2? -1,x∈?-∞,1]∪[3,+∞?, 解析:f(x)=? 2 ? - ? x - 2 ? +1,x∈?1,3?, ?

作出图像如图所示. (1)递增区间为[1,2]和[3,+∞),递减区间为(-∞,1] 和[2,3]. (2)由图像可知,y=f(x)与y=m图像,有四个不同的交 点,则0<m<1, ∴集合M={m|0<m<1}.

方法点睛

(1)从图像的左右分布,分析函数的定义域;

从图像的上下分布,分析函数的值域;从图像的最高点、最 低点,分析函数的最值、极值;从图像的对称性,分析函数 的奇偶性;从图像的走向趋势,分析函数的单调性、周期性 等.

(2)利用函数的图像可解决方程和不等式的求解问题,比 如判断方程是否有解,有多少个解?数形结合是常用的思想 方法.

变式训练3

若直线y=x+b与曲线y=3- 4x-x2有公共 ) B.[1-2 2,1+2 2] D.[1- 2,3]

点,则b的取值范围是( A.[-1,1+2 2] C.[1-2 2,3]

解析:在同一坐标系下画出曲线y=3-

4x-x2 (注:该

曲线是以点C(2,3)为圆心、2为半径的圆不在直线y=3上方的 部分)与直线y=x的图像,平移该直线,结合图形分析可知, 当直线沿y轴正方向平移到点(0,3)的过程中的任何位置相应 的直线与曲线y=3- 4x-x2都有公共点;注意到与y=x平行 且过点(0,3)的直线的方程是y=x+3;当直线y=x+b与以点 C(2,3)为圆心、2为半径的圆相切时(圆不在直线y=3上方的

|2-3+b| 部分),有 =2,b=1-2 2 .结合图形可知,满足题 2 意的只有C选项.

答案:C

易错矫正(八) [试题]

混淆对称的实质致误

设函数y=f(x)的定义域为R,则函数y=f(x-1) ) B.直线x=0对称 D.直线x=1对称

与y=f(1-x)的图像关于( A.直线y=0对称 C.直线y=1对称

错解:∵函数是定义在实数集上且f(x-1)=f(1-x), ∴函数y=f(x)的图像关于直线x=0对称,选B. 错因:这里的错误主要是把两个不同的对称问题混为一 谈.即对称问题中有一结论:“设函数y=f(x)定义在实数集 上,且f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)关于直线x=a对称.”这 个结论只对于一个函数而言,而本题是关于两个不同函数的 对称问题,若套用这一结论,必然得到一个错误的答案.

正解:作为选择题可采用如下两种解法:常规求解法和 特殊函数法,下面只讲常规求解法. f(x-1)的图像是f(x)的图像向右平移1个单位而得到的, 又f(1-x)=f[-(x-1)]的图像是f(x)的图像也向右平移1个单 位而得到的,因f(x)与f(-x)的图像关于y轴(即直线x=0)对 称,因此,f(x-1)与f[-(x-1)]的图像关于直线x=1对称, 故选D.

答案:D



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