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全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(70)



加试模拟训练题(70)
1、在△ABC 的大边 AB 上取 AN=AC,BM=BC,点 P 为△ABC 的内心,求证:∠MPN=∠A+∠B。

C

P A M 图9-2 N B

2.设 a1,a2,a3,…是正实数数列,对所有的 n≥1 满足条

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/> 3. 一个心烦的学生走过一个大厅,大厅中有一排关着的柜子,柜子从 1 到 1024 编号,他打开 1 号柜,之 后朝前走,交替地不碰动或者打开每一个关着的柜子.当他走到大厅的末端,他转过身重新往回走,他打 开遇到的第一个关着的柜子.这学生按这方式来来回回地走来走去,直到每个柜子都打开,他打开的最后 一个柜子的号码是什么?

4. 方程 [ x] ? [2 x] ? [4 x] ?[8 x] ?[16 x] ?[32 x] ?12345 是否有解。

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加试模拟训练题(70)
1、在△ABC 的大边 AB 上取 AN=AC,BM=BC,点 P 为△ABC 的内心,求证:∠MPN=∠A+∠B。 分析、连接 PA、PB、PC 及 PM、PN。由已知 C 易证△APC≌△APN, △BPC≌△BPM。 从而△PC=PN, PC=PM,即 PM=PN=PC。故 P 为△CMN 的外心,此时 有∠MPN=2∠MCN。 1 1 而∠CAN=90?- ∠A,∠BCM=90?- ∠B, P 2 2 1 B 故∠ACN+∠BCM=180?- (∠A+∠B),即 ∠ A M N 2 图9-2 1 MCN+∠ACB=180?- (∠A+∠B), 2 1 1 则∠MCN=(180?-∠ACB)- (∠A+∠B) = (∠A+∠B)。 2 2 故∠MPN=2∠MCN=∠A+∠B。
2.设 a1,a2,a3,…是正实数数列,对所有的 n≥1 满足条

【题说】第二十三届(1994 年)美国数学奥林匹克题 4. 【证】先证一个更一般的命题: 设 a1,a2,…,an 和 b1,b2,…,bn 是正数,且 b1>b2>…>bn 若对所有的 k=1,2,…,n (1)

(2) 则有

(3) 事实上,设 bn+1=0,由(1)和(3)可得

改变求和的次序得

由此可得

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两边同时平方,再利用 Cauchy 不等式就可以得到

为了证明本题的不等式,令

3. 一个心烦的学生走过一个大厅,大厅中有一排关着的柜子,柜子从 1 到 1024 编号,他打开 1 号柜,之 后朝前走,交替地不碰动或者打开每一个关着的柜子.当他走到大厅的末端,他转过身重新往回走,他打 开遇到的第一个关着的柜子.这学生按这方式来来回回地走来走去,直到每个柜子都打开,他打开的最后 一个柜子的号码是什么? 【题说】 第十四届(1996 年)美国数学邀请赛题 9. 【解】 将 1024 改为稍一般的 2n(n 为自然数),并记相应的答案为 an. 对 1,2,…,2n+1 这 2n+1 个柜,走到大厅末端时,未打开的号码为 2,4,6,…,2n+1.往回走到出发点时, 打开的号码为 4 的倍数,未打开的为 2,6,…,2n-2.这 2n-1 个号码如果重新排为 1,2,…,2n-1,则编 号为 an-1 的原来的编号是 4an-1-2.所以 an+1=4an-1-2 显然 a1=2,a2=2.所以由上述递推公式得 a4=6,a6=22,a8=86,a10=342.即最后打开的柜子,号码是 342.

4. 方程 [ x] ? [2 x] ? [4 x] ?[8 x] ?[16 x] ?[32 x] ?12345 是否有解。 解 因为 63 ?195 ? 12285 ?12345 ?12348 ?63 ? 196 ,所以195 ? x ? 196 。现将 x de 小数部分

以 2 为基表示 x ? 195 ? 0.abcdef ,则

2 x ? 2 ?195 ? a.bcdef ; 4 x ? 4 ?195 ? ab.cdef 8 x ? 8 ?195 ? abc.def ;16 x ? 16 ?195 ? abcd .ef 32 x ? 32 ?195 ? abcde. f
由上式可得

[ x] ? 195;[2 x] ? 2 ?195 ? a;[4 x] ? 4 ?195 ? 2a ? b ,
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[8 x] ? 8 ?195 ? 4a ? 2b ? c;[16 x] ? 16 ?195 ? 8a ? 4b ? 2c ? d [32 x] ? 32 ?195 ? 16a ? 8b ? 4c ? 2d ? e
上式相加得 [ x] ? [2 x] ? [4 x] ? [8x] ? [16 x] ? [32 x] ? 12285 ? 31a ? 15b ? 7c ? 3d ? e 所以 31a ? 15b ? 7c ? 3d ? e ? 60, 而a, b, c, d , e为0或1 。

31a ? 15b ? 7c ? 3d ? e ? 31 ? 15 ? 7 ? 3 ? 1 ? 57 ? 60, 所以,方程无解。

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