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2015-2016学年韶关市第二学高一期末检测0704



2015-2016 学年第二学期末检测 高一数学试题
说明: 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷(解答题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔或圆珠笔、签字笔 写在答卷上。 2.第 I 卷每小题得出答案后,请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上。 一、选择题.本大题共 12 小题,每小题

5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A = {0,1, 2,3, 4} , B = x 1 < x ≤ 4 ,则 A I B = A.{1, 2,3, 4} B.{2,3, 4} C.{2, 4} D. x 1 < x ≤ 4

{

}

{

}

2.已知向量 a = (1, 2) , b = ( x, 4) ,若 a ∥ b ,则实数 x 的值为 B. 2 C. ?2 4 3.已知 cos α = , α 是第四象限角,则 sin(2π ? α ) = 5 3 4 3 A. B. C. ± 5 5 5 A. 8 4.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ≥ 0 时, f ( x) = D. ?8

r

r

r

r

D. ?

4 5

x + log 2 ( x + 1) ,则

f ( ?1) =
A.1 C. ?2 B . ?1 D. 2
8 9 9 3 7 1 6 4 0 2

5.某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分的茎叶图如右图 所示,则这组数据的中位数和平均数分别是: A. 91.5 和 91.5 B. 91.5 和 92 C. 91 和 91.5 D. 92 和 92 6.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为

开始

i =1, S = 0
i = i +1 i < 4?
否 输出 S 结束 是

A.26 B.11 C.4 D.1

S = 2S + i

1

7.过点 P (2, 4) 作圆 C : ( x ? 1) + ( y ? 2) = 5 的切线,则切线方程为
2 2

A. 3x ? y = 0
8.已知点 A(

B. 2x ? y = 0

C.x + 2 y ? 10 = 0

D.x ? 2 y ? 8 = 0

3 1 π , ) ,将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 至 OB ,则点 B 的坐标为 2 2 2
B. ( , ?

A. ( ?

1 3 , ) 2 2

1 2

3 ) 2

C. (?

3 1 , ) 2 2

D. (

3 1 ,? ) 2 2

1 ,则 2 1 1 成绩为及格;若飞标到圆心的距离小于 ,则成绩为优秀;若飞标到圆心的距离大于 且 4 4 1 小于 ,则成绩为良好,那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为( ) 2 1 3 1 3 B. C. D. A. 16 16 4 4
9. 某游戏规则如下:随机地往半径为 1 的圆内投掷飞标,若飞标到圆心的距离大于 10.如图,网格纸是边长为 1 的小正方形,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则该多 面体的体积为( ) A.4 B.8 C.16 D.20

11.将函数 h( x) = 2sin(2 x +

π π ) 的图象向右平移 个单位,再向上平移 2 4 4
B.关于直线 x = π 对称 D.关于点 (

个单位,得到函数 f ( x) 的图象,则函数 f ( x) 的图象 A.关于直线 x = 0 对称 C.关于点 (

π , 0) 对称 8

π , 2) 对称 8

12. 已知点 C 为线段 AB 上一点, 点 P 为直线 AB 外一点,PC 是 ∠APB 的角平分线,I 为

uuu r? ? uuur uur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r AC AP r ? ( λ > 0 ) , | PA | ? | PB |= 4 , PA ? PB = 10 , PC 上 一点 ,满 足 BI = BA + λ ? uuur + uuu ? AC AP ? ? ? uur uuu r BI ? BA r 的值为 则 uuu BA
A.2 B.3 C.4 D.5

2

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) . 13.如果直线 x ? 2 y + 5 = 0 与直线 2 x + my ? 6 = 0 垂直,则 m = ___________. 14.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表:

广告费用 x (万元) 销售额 y (万元)
^ ^

3 25
^ ^

4 30
^

5 40

6 45

根据上表可得回归方程 y = b x + a ,其中 b = 7 ,则 a = ________,据此模型预报广告费为 7 万元时销售额为______________. 15.已知

cos α + sin α π = 3 ,则 tan(α + ) = cos α ? sin α 4

.

16.若一三角形三边所在的直线方程分别为 x+2y-5=0,y-2=0,x+y-4=0,则能够覆 盖此三角形且面积最小的圆的方程为________.

2015-2016 学年第二学期末检测 高一数学试题
题号 分数 一 二 三 17 18 19 20 21
22

一.选择题答卷: 题号 答案 二、填空题答卷: 13.____________________. 15.____________________. 14.__________________________. 16.__________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

三.解答题(本大题共 6 题,满分 70 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) . 17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) =

π 2 sin(ω x + ) (ω > 0) 的最小正周期为 π . 4

(Ⅰ)求 ω 的值及其 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)若 x ∈ [0,

π ] ,求函数 f ( x) 的最大值和最小值. 2
3

18. (本小题满分12分) 某高中学校为了解学生的身体状况,随机抽取了一批学生测量体重.经统计,这批学生 的体重(单位:千克)全部介于 45 至 70 之间.将数据分成以下 5 组:第 1 组[45,50),第 2 组[50,55),第 3 组[55,60),第 4 组[60,65),第 5 组[65,70],得到如图所示的频率分布 直方图.

现采用分层抽样的方法,从第 3,4,5 组中随机抽取 6 名学生进行某项体能测试. (Ⅰ)求每组抽取的学生人数; (Ⅱ)若从所抽取的 6 名学生中再次随机抽取 2 名学生做调查问卷,求这 2 名学生不 在同一组的概率.

4

19.(本小题满分 12 分)

已知 a = 2 , b = 1 , (2a ? 3b) ? (2a + b) = 17 (Ⅰ)求 a 与 b 的夹角和 a + b 的值; (Ⅱ)设 c = ma + 2b , d = 2a ? b ,若 c 与 d 共线,求实数 m 的值.

r

r

r

r

r r

r

r

r r

r

r

r

u r

r r

r

u r

5

20.(本小题满分12分) 如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB = M 是线段 EF 的中点. (Ⅰ)求证: AM ∥平面 BDE ; (Ⅱ)求证: AM ⊥ 平面 BDF ; (Ⅲ) 求 A 点到面 BDF 的距离.

2 , AF = 1 ,

E M F C O D A B

6

21. (本小题满分 12 分) 已知以点 C ? t , ? (t∈R,t≠0)为圆心的圆过原点 O . (Ⅰ) 设直线 3x+y-4=0 与圆 C 交于点 M、N,若 OM = ON ,求圆 C 的方程; (Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下, 设 B (0, 2) , 且 P、 Q 分别是直线 l: x+y+2=0 和圆 C 上的动点, 求 PQ ? PB 的最大值及此时点 P 的坐标.

? 3? ? t?

7

22.(本小题满分 12 分)

已知二次函数 f ( x ) = x + bx + c (其中 b, c 为实常数).
2

且 y = f ( sin x )( x ∈ R ) 的最大值为 5 , 最小值为 ?1 , 求函数 y = f ( x ) (Ⅰ) 若b > 2 , 的解析式; (Ⅱ)是否存在这样的函数 y = f ( x ) ,使得 y | y = x 2 + bx + c, ?1 ≤ x ≤ 0 = [ ?1, 0] , 若存在,求出函数 y = f ( x ) 的解析式;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)记集合 A = x | f ( x ) = x, x ∈ R , B = x | f ①若 A ≠ φ ,求证: B ≠ φ ; ②若 A = φ ,判断 B 是否也为空集.

{

}

{

}

{

( f ( x ) ) = x, x ∈ R} .

8

2015-2016 学年第二学期末检测试高一数学 参考解答和评分标准
说明: 1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法 供参考, 如果考生的解法与参考答案不同, 可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标 准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变 该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的得分, 但所给分数不得超过该部分正确 解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:BBACA 部分题目解析:

BCABC

DB

1. A I B = {2,3, 4} ,选 B 2. 依题意, 4 ? 2 x = 0, x = 2 ,选 B 3. 由已知可得 sin α = ?

3 3 , sin(2π ? α ) = ? sin α = ,选 A 5 5

4. f ( ?1) = ? f (1) = ?2 ,选 C 5. 由平均数与中位数概念可得两数均为 91.5,选 A 6.第 1 次 s = 1 ,第 2 次 s = 4 ,第 3 次 s = 11 ,选 B 7. 因为点 P (2, 4) 在圆 C 上,所以切线与直线 PC 垂直 所以 k ? k PC = ?1 ? k = ? 选 C. 8.因为点 A(

1 1 ,所以切线方程为 y ? 4 = ? ( x ? 2) ,即 x + 2 y ? 10 = 0 , 2 2

3 1 π π π 2π , ) ,即 ∠xOA = ,所以 ∠xOB = + = , 2 2 6 6 2 3 2π 1 2π 3 1 3 = ? , yB =| OB | sin = . 所以点 B 的坐标为 (? , ) 选 A 3 2 3 2 2 2

xB =| OB | cos

1 2 1 2 ( ) ?π ( ) S圆环 π 4 = 3 ,故选 B. 9. 解析:根据几何概型可知 P = = 2 S圆 π 16
10.解析三视图表示的图形是底面积为 12,高为 4 的四棱锥, V = 选C
9

1 1 sh = ?12 ? 4 = 16 , 3 3

π π ) + 2 = 2sin(2 x ? ) + 2 4 4 π π π π 且 f ( ) = 2sin(2 × ? ) + 2 = 2 ,所以关于点 ( , 2) 对称,选 D. 8 8 4 8 uuu r uuu r uuu r 12 ∵ PA ? PB = AB = 10 , PC 是 ∠APB 的 角 平 分 线 , 又
11【解析】 : f ( x ) = h( x ?

? uur uuu r BI = BA + λ ? ? ?

uuur uuu r ? uur AC AP ? ? ? λ + > 0 AI = λ uuur uuu r ( ) ,即 ? AC AP ? ? ?

uuur uuu r AC AP ? uuur + uuu r ? ,所以 I 在 ∠APB 的角 AC AP ? ?

平 分 线 上 , 由 此 得 I 是 V ABP 的 内心 , 过 I 作 IH ⊥ AB 于 H , 以 I 为圆 心 , IH 为 半径 , 作

uuur uuu r 1 uuu r uuu r uuu r r uuu r uuu r 1 uuu BH = BF = PB + AB ? PA = ? AB + PB ? PA ? = 3 , 在 直 角 三 角 形 BIH ? 2 2? uuur uur uuu r uuur BH BI ? BA uur = BI ? cos ∠ IBH = BH = 3 uuu r 中, cos ∠IBH = uur ,所以 BA BI uur uuu r BI ? BA uuu r r 表示 uur 另解: uuu BI 在 BA 方向上的投影,即 BF ( BH ) 的长度,由| |-| |=4 BA

V ABP









,





,







PA, PB



E, F

,



(

)

(

)

? AH ? BH = 4 = AE + PE ? ( PF + FB) = AH ? BH = 4 ,所以,? ? AH + BH = 10
选B 二、填空题: (题 14.第一空 2 分,第二空 3 分) 题号 答案 13 14 15

从而 BH = BF = 3

16

1

3.5; 52.5

3

3 5 ( x ? 2)2 + ( y ? )2 = 2 4

注:14 题第一空 2 分,第二空 3 分. 11. 由斜率关系易得: m = 1 12. 由表中数据可得, x = 4.5, y = 35 ,而回归方程经过样本中心 ( x, y ) ,代入回归方程,

a = 3.5 ,从而当 x = 7 时, y = 7 × 7 + 3.5 = 52.5 万元.

13.由已知可得,

1 + tan α 1 = 3, 得 tan α = 1 ? tan α 2

1 π 1 + tan α 2 =3 所以,tan(α + ) = = 4 1 ? tan α 1 ? 1 2 1+

10

π tan( ) + tan α 1 + tan α π 4 或,由 =3? = 3 ? tan(α + ) = 3 π 1 ? tan α 4 1 ? tan tan α 4
16. 结合题意,易得三角形的三个顶点分别是 (1, 2 ) , ( 2, 2 ) 和 ( 3,1) ,作出图形,即可判断 该三角形为钝角三角形, 而能够覆盖钝角三角形的圆是以钝角的对边 (最长边) 为直径的圆, 而最长边的两个端点分别为 (1, 2 ) 和 ( 3,1) ,即圆的直径为 5 ,圆心坐标为 ? 2,

? ?

3? ? ,故其方 2?

程为 ( x ? 2 ) + ? y ?
2

? ?

3? 5 ? = 2? 4

2

三、解答题 17. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)因为函数 f ( x) =

2π = π ? ω = 2. --------------------------------------------------------------------------2 分 ω π π π 3π π 由 2kπ ? ≤ 2 x + ≤ 2kπ + ,解得 kπ ? ≤ x ≤ kπ + , k ∈ Z 2 4 2 8 8 3π π 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [ kπ ? , kπ + ] k ∈ Z .----------------------------5 分 8 8 π π π 5π (Ⅱ)Q 0 ≤ x ≤ ,∴ ≤ 2 x + ≤ 2 4 4 4 π π π 所以当 2 x + = ,即 x = 时,函数 f ( x) 取得最大值 2 ,--------------------------8 分 4 2 8 ∴T =
当 2x +

π 2 sin(ω x + ) (ω > 0) 的最小正周期为 π 4

π 5π π 2 = ,即 x = 时,函数 f ( x) 取得最小值 2 × ( ? ) = ?1 .-----------10 分 4 4 2 2

18. (本小题满分12分) 解: (Ⅰ)由频率分布直方图知,第 3,4,5 组的学生人数之比为 3:2:1.---------------2 分 所以, 每组抽取的人数分别为: 第 3 组: × 6 = 3 ; 第 4 组: × 6 = 2 ; 第 5 组: × 6 = 1 . ∴从 3,4,5 组应依次抽取 3 名学生,2 名学生,1 名学生.---------------------------------5 分 (Ⅱ)记第 3 组的 3 位同学为①,②,③;第 4 组的 2 位同学为 A,B;第 5 组的 1 位同学 为 C.则从 6 位同学中随机抽取 2 位同学所有可能的情形为: (①,②) , (①,③) , (①, A) , (①,B) , (①,C) , (②,③) , (②,A) , (②,B) , (②,C) , (③,A) , (③,B) , (③,C) , (A,B) , (A,C) , (B,C)共 15 种可能. 其中, (①,②) , (①,③) , (②,③) , (A,B)四种为 2 名学生在同一组,-----------10 分 ∴有 11 种可能符合 2 名学生不在同一组的要求,∴所求概率 P =

3 6

2 6

1 6

11 .------------12 分 15

11

19.(本小题满分 12 分)

(Ⅰ)设 a 与 b 的夹角为 θ

r

r

r r r r Q (2a ? 3b) ? (2a + b) = 17 r2 ru r r2 ∴ 4a ? 4a?b ? 3b = 17 ,即 4 × 2 2 ? 4 × 2 ×1× cos θ ? 3 × 12 = 17 --------------------------3 分 1 2π ∴ cos θ = ? ,又Q 0 ≤ θ < π ,∴θ = . 2 3 r r 2π 所以 a 与 b 的夹角 . --------------------------------------------------5 分 3 r r r r r2 r r r2 2π 2 + 1 = 3. Q| a + b |= (a + b) 2 = a + 2a ? b + b = 2 2 + 2 × 2 × 1× cos 3 r r ∴| a + b |= 3. --------------------------------------------------8 分
(Ⅱ)解:因为 c 与 d 共线,所以存在 λ ,使 λ d = c

r

u r

u r

r

r r r r λ (2a ? b) = ma + 2b r r

r r (m ? 2λ )a + (λ + 2)b = 0 ?m = 2λ ? λ = ?2
所以, m = ?4 --------------------------------12 分

因为 a 与 b 不共线,所以 ?

20.(本小题满分12分) 解: --------------1 分 (Ⅰ)Q EM ∥AM 且 EM=AM ∴ Y AMEN ∴AM∥EN ------------------2 分 又因为 EN ? 平面 BDE 且 AM ? 平面 BDE ---------------------3 分 ∴AE∥平面 BDE. ------------------------------------------4 分 (Ⅱ)设 AC与BD交于O点,连OF , OM 在矩形 ACEF 中四边形, AB = 2 , AF = 1 所以, AOMF 为正方形,,故 AM ⊥ OF ---------------------6 分 又正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,且交线为 AC 在正方形 ABCD 中,故 AC ⊥ BD 由面面垂直的性质定理, BD ⊥ 面ACEF 又 AM ? 面ACEF 所以 BD ⊥ AM -------------------------------------- --------------------8 分 又 BD ∩ OF = O ,故 AM ⊥ 平面 BDF ---------------------9 分 (Ⅲ) VA? BDF = VF ? ABD,设A到面BDF的距离为h ,
D

E M F C O A

1 1 ∴ SV BDF ? h = SV ABD ? AF ------------------- --------------------11 分 3 3 h= 2 ----------------------------------------- --------------------- -12 分 2
12

21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)Q OM = ON ,所以,则原点 O 在 MN 的中垂线上. 设 MN 的中点为 H ,则 CH ⊥ MN ,-----------------------1 分 ∴ C 、 H 、 O 三点共线,则直线 OC 的斜率

3 3 1 k = t = 2 = ,∴ t = 3 或 t = ?3 t t 3
∴圆心为 C (3,1) 或 C ( ?3, ?1) -------------------------4 分 ∴圆 C 的方程为 ( x ? 3) 2 + ( y ? 1) 2 = 10 或 ( x + 3) 2 + ( y + 1) 2 = 10 由于当圆方程为 ( x + 3) 2 + ( y + 1) 2 = 10 时,圆心到直线 3x+y-4=0 的距离 d > r , 此时不满足直线与圆相交,故舍去, ∴圆 C 的方程为 ( x ? 3) 2 + ( y ? 1) 2 = 10 -------------------------6 分

(Ⅱ) 在三角形 PBQ 中,两边之差小于第三边 故 PQ ? PB ≤ BQ 又 B, C , Q 三点共线时 BQ 最大-----------------------9 分 所以, PQ ? PB 的最大值为 BC + 10 = 2 10 ,直线 BC 的方程为 y = ?

1 x + 2, 3

则直线 BC 与直线 x + y + 2 = 0 的交点 P 的坐标为 ( ?6, 4) --------------------------12 分

22. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由条件知 f ( x ) = x + bx + c, x ∈ [ ?1,1] 的最大值为 5 ,最小值为 ?1
2

而 b > 2 ,则对称轴 x = ?

? ?c ? b + 1 = ?1 ?c = 1 b ? f ( ?1) = ?1 < ?1 ,则 ? ,即 ? ,解得 ? 2 ?b + c + 1 = 5 ?b = 3 ? ? f (1) = 5

则 f ( x ) = x + 3 x + 1 .--------------------------------------------3 分
2

(Ⅱ)若 b ≥ 2 ,则 x = ?

?c ? b + 1 = ?1 ?c = 0 b 2 ≤ ?1 ,则 ? ,解得 ? ,此时 f ( x ) = x + 2 x c = 0 b = 2 2 ? ?

若 b ≤ 0 ,则 x = ?

?c ? b + 1 = 0 ?c = ?1 b 2 ≥ 0 ,则 ? ,解得 ? ,此时 f ( x ) = x ? 1 2 ? c = ?1 ?b = 0

13

?c ? b + 1 = 0 ?c = ?1 ?c = 3 b ? 1 ? ? 若 0 < b ≤ 1 ,则 x = ? ∈ ? ? , 0 ? ,则 ? (舍)或 ? (舍), ,解得 ? b2 2 ? 2 ? ?b = 0 ?b = 4 ? c ? = ?1 4 ?
此时不存在函数 f ( x )

?c = 0 ?c = 0 ?c = 0 b ? 1? ? 若 1 < b < 2 ,则 x = ? ∈ ? ?1, ? ? ,则 ? ,解得 ? (舍)或 ? (舍), b2 b = 2 b = ? 2 2 ? 2? c ? = ? 1 ? ? ? ? 4
此时不存在函数 f ( x ) 综上所述存在函数 f ( x ) = x ? 1 和 f ( x ) = x + 2 x 满足条件-----------------------------8 分
2 2

(Ⅲ)由 f ( x ) = x + bx + c 得 f
2

( f ( x ) ) = f ( x ) + bf ( x ) + c 及 c = f ( x ) ? x
2 2

2

? bx
2

由f

( f ( x ) ) = x 得到 f ( x ) + bf ( x ) + c = x ,即 f ( x ) + bf ( x ) + f ( x ) ? x
2 2

? bx = x

整理得到 f

( x ) ? x2 + b ( f ( x ) ? x ) + ( f ( x ) ? x ) = 0 ,

即 f ( x) ? x

(

) ( f ( x ) + x + b + 1) = 0 ①
或 x + ( b + 1) x + b + c + 1 = 0 ③
2 2

即 f ( x) ? x = 0 或 f ( x) + x + b +1 = 0 , 即 x + ( b ? 1) x + c = 0 ②
2

方程②的判别式 ? = ( b ? 1) ? 4c 方程③的判别式 ?1 = ( b + 1) ? 4b ? 4c ? 4 = ( b ? 1) ? 4c ? 4 = ? ? 4
2 2

①若 A ≠ φ ,即 f ( x ) ? x = 0 有解,即 x + ( b ? 1) x + c = 0 有解,即 ? ≥ 0 ,则①有解,
2

即B ≠φ ②若 A = φ ,即 ? < 0 ,则 ?1 < 0 ,②和③均无解,则①无解,即 B = φ .----------------12 分

14



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