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直线和圆的方程综合能力测试及答案


直线和圆的方程综合能力测试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(每小题只有一个选项是正确的,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。) 1.(2009· 湖北荆州质检二)过点 P(1,2),且方向向量 v=(-1,1)的直线的方程为 ( ) A.x-y-3=0 B.x+y+3=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 答案:C 解析:方向向量为 v=(-1,1),则直线的斜率为-1,直线方程为 y-2=-(x-1)即 x+y -3=0,故选 C. 2.(2009· 重庆市高三联合诊断性考试)将直线 l1:y=2x 绕原点逆时针旋转 60° 得直线 l2, 则直线 l2 到直线 l3:x+2y-3=0 的角为 ( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案:A 解析:记直线 l1 的斜率为 k1,直线 l3 的斜率为 k3,注意到 k1k3=-1,l1⊥l3,依题意画出 示意图,结合图形分析可知,直线 l2 到直线 l3 的角是 30° ,选 A. 3.(2009· 东城 3 月)设 A、B 为 x 轴上两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程 x-y+1=0,则直线 PB 的方程为 ( ) A.2x+y-7=0 B.2x-y-1=0 C.x-2y+4=0 D.x+y-5=0 答案:D 解析:因 kPA=1,则 kPB=-1,又 A(-1,0),点 P 的横坐标为 2,则 B(5,0),直线 PB 的 方程为 x+y-5=0,故选 D. 4.过两点(-1,1)和(0,3)的直线在 x 轴上的截距为 ( ) 3 3 A.- B. C .3 D.-3 2 2 答案:A y-3 x-0 解析:由两点式,得 = , 1-3 -1-0 3 即 2x-y+3=0,令 y=0,得 x=- , 2 3 即在 x 轴上的截距为- . 2 2 5.直线 x+a y+6=0 和(a-2)x+3ay+2a=0 无公共点,则 a 的值是 ( ) A.3 B .0 C.-1 D.0 或-1 答案:D

1 解析:当 a=0 时,两直线方程分别为 x+6=0 和 x=0,显然无公共点;当 a≠0 时,- 2 a a-2 =- ,∴a=-1 或 a=3.而当 a=3 时,两直线重合,∴a=0 或-1. 3a 6.两直线 2x-my+4=0 和 2mx+3y-6=0 的交点在第二象限,则 m 的取值范围是 ( ) 3 3 A.- ≤m≤2 B.- <m<2 2 2 3 3 C.- ≤m<2 D.- <m≤2 2 2 答案:B ?2x-my+4=0, ? 3m-6 4m+6 解析:由? 解得两直线的交点坐标为( 2 , ),由交点在第二象 m +3 m2+3 ?2mx+3y-6=0, ? 3m-6 4m+6 3 限知横坐标为负、纵坐标为正,故 2 <0 且 2 >0?- <m<2. 2 m +3 m +3 x+y-1≥0, ? ? 7.(2009· 福建,9)在平面直角坐标系中,若不等式组?x-1≤0, ? ?ax-y+1≥0, 的平面区域的面积等于 2,则 a 的值为 A.-5 B .1 答案:D x+y-1≥0, ? ? 解析:不等式组?x-1≤0, ? ?ax-y+1≥0 C .2 D.3 (a 为常数)所表示 ( )

所围成的区域如图所示.

∵其面积为 2,∴|AC|=4, ∴C 的坐标为(1,4),代入 ax-y+1=0, 得 a=3.故选 D. 8.(2009· 陕西,4)过原点且倾斜角为 60° 的直线被圆 x2+y2-4y=0 所截得的弦长为 ( ) A. 3 B .2 C. 6 D.2 3 答案:D 解析:∵直线的方程为 y= 3x,圆心为(0,2),半径 r=2. 由点到直线的距离公式得弦心距等于 1,从而所求弦长等于 2 22-12=2 3.故选 D. 9.(2009· 西城 4 月,6)与直线 x-y-4=0 和圆 x2+y2+2x-2y=0 都相切的半径最小的圆 的方程是 ( ) A.(x+1)2+(y+1)2=2 B.(x+1)2+(y+1)2=4

C.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y+1)=4 答案:C 解析:圆 x2+y2+2x-2y=0 的圆心为(-1,1),半径为 2,过圆心(-1,1)与直线 x-y-4 =0 垂直的直线方程为 x+y=0,所求的圆的圆心在此直线上,排除 A、B,圆心(-1,1)到直线 6 x-y-4=0 的距离为 =3 2,则所求的圆的半径为 2,故选 C. 2 → → → 10.(2009· 安阳,6)已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、B 两点,且|OA+OB|=|OA- → OB|,其中 O 为原点,则实数 a 的值为 ( ) A.2 B.-2 C.2 或-2 D. 6或- 6 答案:C → → → → → → → → → → → → 解析:由|OA+OB|=|OA-OB|得|OA+OB|2=|OA-OB|2,OA· OB=0,OA⊥OB,三角形 |a| AOB 为等腰直角三角形,圆心到直线的距离为 2,即 = 2,a=± 2,故选 C. 2 11.(2009· 河南实验中学 3 月)若直线 l:ax+by=1 与圆 C:x2+y2=1 有两个不同交点, 则点 P(a,b)与圆 C 的位置关系是 ( ) A.点在圆上 B.点在圆内 C.点在圆外 D.不能确定 答案:C 1 解析:直线 l:ax+by=1 与圆 C:x2+y2=1 有两个不同交点,则 2 2<1,a2+b2>1, a +b 点 P(a,b)在圆 C 外部,故选 C. 12.(2010· 保定市高三摸底考试)从原点向圆 x2+(y-6)2=4 作两条切线,则这两条切线夹 角的大小为 ( ) π π 7 2 2 A. B. C.arccos D.arcsin 6 2 9 9 答案:C 2 1 2 7 解析: 如图, sin∠AOB = = , cos∠BOC = cos2∠AOB = 1 - 2sin2∠AOB = 1 - = , 6 3 9 9 7 ∴∠BOC=arccos ,故选 C. 9

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将答案填在题中的横线上。) 13.(2010· 湖南长沙一中)已知直线 l1:ax+y+2a=0,直线 l2:ax-y+3a=0.若 l1⊥l2, 则 a=________. 答案:± 1 解析:∵l1⊥l2,∴kl1· kl2=-1,即(-a)· a=-1,∴a=± 1. 14.点 P(a,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离等于 4,且在不等式 2x+y<4 表示的平面区域 内,则 P 点的坐标为__________.

答案:(-3,3) |4a-9+1| 解析:因 =4,∴a=7,a=-3. 5 当 a=7 时,不满足 2x+y<4(舍去),∴a=-3. 15.(2009· 朝阳 4 月,12)已知动直线 l 平分圆 C:(x-2)2+(y-1)2=1,则直线 l 与圆: ? ?x=3cosθ, ? (θ 为参数)的位置关系是________. ?y=3sinθ, ? 答案:相交 ? ?x=3cosθ, ? 解析: 动直线 l 平分圆 C: (x-2)2+(y-1)2=1, 即圆心(2,1)在直线上, 又圆 O: ?y=3sinθ, ? 2 2 2 2 即 x +y =9,且 2 +1 <9,(2,1)在圆 O 内,则直线 l 与圆 O: ? ?x=3cosθ, ? (θ 为参数)的位置关系是相交,故填相交. ?y=3sinθ, ? 16.(2009· 山东济南一模)若直线 y=kx- 2与圆 x2+y2=2 相交于 P、Q 两点,且∠POQ =120° (其中 O 为原点),k 的值为________. 答案:± 3

解析:由图可知,点 P 的坐标为(0,- 2), ∠OPQ=30° ,∴直线 y=kx- 2的倾斜角为 60° 或 120° ,∴k=± 3. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。) 17.(本小题满分 10 分)求经过 7x+8y=38 及 3x-2y=0 的交点且在两坐标轴上截得的截 距相等的直线方程. 解析:易得交点坐标为(2,3) 设所求直线为 7x+8y-38+λ(3x-2y)=0, 即(7+3λ)x+(8-2λ)y-38=0, 38 令 x=0,y= , 8- 2λ 38 令 y=0,x= , 7+ 3λ 38 38 由已知, = , 8-2λ 7+3λ 1 ∴λ= ,即所求直线方程为 x+y-5=0. 5 又直线方程不含直线 3x-2y=0,而当直线过原点时,在两轴上的截距也相等,故 3x-2y =0 亦为所求. 18.(本小题满分 12 分)已知直线 l 经过点 P(3,1),且被两平行直线 l1;x+y+1=0 和 l2: x+y+6=0 截得的线段之长为 5,求直线 l 的方程.

分析一:如图,利用点斜式方程,分别与 l1、l2 联立,求得两交点 A、B 的坐标(用 k 表示), 再利用|AB|=5 可求出 k 的值,从而求得 l 的方程.

解析:解法一:若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x=3,此时与 l1、l2 的交点分 别为 A′(3,-4)或 B′(3,-9),截得的线段 AB 的长|AB|=|-4+9|=5,符合题意. 若直线 l 的斜率存在,则设直线 l 的方程为 y=k(x-3)+1. ? ?y=k(x-3)+1, 解方程组? 得 ?x+y+1=0, ? 3k-2 4k-1 A( ,- ). k+1 k+1
?y=k(x-3)+1, ? 解方程组? 得 ? ?x+y+6=0, 3k-7 9k-1 B( ,- ). k+1 k+1 由|AB|=5. 3k-2 3k-7 2 4k-1 9k-1 2 得( - ) +(- + ) =52. k+1 k+1 k+1 k+1 解之,得 k=0,直线方程为 y=1. 综上可知,所求 l 的方程为 x=3 或 y=1. 分析二:用 l1、l2 之间的距离及 l 与 l1 夹角的关系求解. |1-6| 5 2 解法二:由题意,直线 l1、l2 之间的距离为 d= = ,且直线 L 被平行直线 l1、l2 2 2 5 2 2 2 所截得的线段 AB 的长为 5,设直线 l 与直线 l1 的夹角为 θ,则 sinθ= = ,故 θ=45° . 5 2 由直线 l1:x+y+1=0 的倾斜角为 135° ,知直线 l 的倾斜角为 0° 或 90° ,又由直线 l 过点 P(3,1),故直线 l 的方程为: x=3 或 y=1. 分析三:设直线 l1、l2 与 l 分别相交于 A(x1,y1),B(x2,y2),则通过求出 y1-y2,x1-x2 的值确定直线 l 的斜率(或倾斜角),从而求得直线 l 的方程. 解法三:设直线 l 与 l1、l2 分别相交 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+y1+1=0,x2+y2+6= 0. 两式相减,得(x1-x2)+(y1-y2)=5. ① 2 2 又(x1-x2) +(y1-y2) =25. ② 联立①、②可得 ?x1-x2=5, ?x1-x2=0, ? ? ? 或? ?y1-y2=0, ?y1-y2=5. ? ? 由上可知,直线 l 的倾斜角分别为 0° 或 90° .

故所求的直线方程为 x=3 或 y=1. 19.(本小题满分 12 分)设圆上的点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在圆上,且与直 线 x-y+1=0 相交的弦长为 2 2,求圆的方程. 解析:设所求圆的圆心为(a,b),半径为 r, ∵点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点 A′仍在这个圆上, ∴圆心(a,b)在直线 x+2y=0 上, ∴a+2b=0, ① (2-a)2+(3-b)2=r2. ② 又直线 x-y+1=0 截圆所得的弦长为 2 2, a-b+1 2 ∴r2-( ) =( 2)2 ③ 2 解由方程①、②、③组成的方程组得: b=-3, ? ? ?a=6, ? ?r2=52. b=-7, ? ? 或?a=14, ? ?r2=244,

∴所求圆的方程为 (x-6)2+(y+3)2=52 或(x-14)2+(y+7)2=244. 20.(本小题满分 12 分)某集团准备兴办一所中学,投资 1200 万元用于硬件建设.为了考 虑社会效益和经济利益,对该地区教育市场进行调查,得出一组数据列表(以班为单位)如下: 班级 学生数 初中 高中 60 40 配备 教师数 2.0 2.5 硬件建设 (万元) 28 58 教师年薪 (万元/人) 1.2 1.6

根据有关规定,除书本费、办公费外,初中生每年可收取学费 600 元,高中生每年可收取 学费 1500 元.因生源和环境等条件限制,办学规模以 20 至 30 个班为宜.根据以上情况,请 你合理规划办学规模使年利润最大,最大利润多少万元?(利润=学费收入-年薪支出) 解析:设初中 x 个班,高中 y 个班,则 20≤x+y≤30 ? ? ?28x+58y≤1200 ? ?x,y∈N* ① ②

设年利润为 s,则 s=60×0.06x+40×0.15y-2×1.2x-2.5×1.6y =1.2x+2y 作出①、②表示的平面区域,如上图,易知当直线 1.2x+2y=s 过点 A 时,s 有最大值.

? ?x+y=30 由? 解得 A(18,12) ?28x+58y=1200 ? ∴smax=1.2×18+2×12=45.6(万元). 即学校可规划初中 18 个班,高中 12 个班,可获得最大年利润为 45.6 万元. 21.(本小题满分 12 分)直线 y=kx 与圆 x2+y2-6x-4y+10=0 相交于两个不同点 A、B, 当 k 取不同实数值时,求 AB 中点的轨迹方程. 剖析:本题考查与圆有关的轨迹问题. ?x2+y2-6x-4y+10=0, ? 解析:解法一:由? ? ?y=kx, 2 2 消去 y,得(1+k )x -(6+4k)x+10=0. 设此方程的两根为 x1、x2,AB 的中点坐标为 P(x,y),则由韦达定理和中点坐标公式,得 x1+x2 6+4k 3+2k x= = = . ① 2 2(1+k2) 1+k2 又点 P 在直线 y=kx 上, ∴y=kx. y ∴k= . ② x y 3+2× x 将②代入①,得 x= (x≠0),整理得 x2+y2-3x-2y=0. y2 1+( ) x 2 2 故轨迹是圆 x +y -3x-2y=0 位于已知圆内的部分. 解法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 2 x2 1+y1-6x1-4y1+10=0,① 2 2 x2+y2 -6x2-4y2+10=0,② 2 2 2 ①-②,得(x1 -x2 2)+(y1-y2)-6(x1-x2)-4(y1-y2)=0. 设 AB 的中点为(x,y),则 x1+x2=2x,y1+y2=2y. 代入上式,有 2x(x1-x2)+2y(y1-y2)-6(x1-x2)-4(y1-y2)=0, 即(2x-6)(x1-x2)+(2y-4)(y1-y2)=0. x-3 y1-y2 ∴ =- =-k. ③ y-2 x1-x2 又∵y=kx, ④ 2 2 由③④得 x +y -3x-2y=0. 故所求轨迹为已知圆内的一段弧. 点悟:解法一为参数法,适当引入参数,再消去参数得所求轨迹;解法二为“差分法”, 是求中点轨迹的一种常用方法. 22.(本小题满分 12 分)已知 m∈R,直线 l:mx-(m2+1)y=4m 和圆 C:x2+y2-8x+4y +16=0. (1)求直线 l 斜率的取值范围; 1 (2)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆弧?为什么? 2 m 4m 解析:(1)直线 l 的方程可化为 y= 2 x- 2 , m +1 m +1 m 直线 l 的斜率 k= 2 , m +1

1 因为|m|≤ (m2+1), 2 |m| 1 所以|k|= 2 ≤ ,当且仅当|m|=1 时等号成立. m +1 2 1 1 所以,斜率 k 的取值范围是[- , ]. 2 2 (2)不能. 由(1)知 l 的方程为 1 y=k(x-4),其中|k|≤ . 2 圆 C 的圆心为 C(4,-2),半径 r=2. 2 圆心 C 到直线 l 的距离 d= . 1+k2 1 4 r 由|k|≤ ,得 d≥ >1,即 d> . 2 2 5 2π 从而,若 l 与圆 C 相交,则圆 C 截直线 l 所得的弦所对的圆心角小于 . 3 1 所以 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆弧. 2



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