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2015-2016学年高中数学人教A版选修1-2课件:第1章 统计案例 1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用



成才之路 ·数学
人教A版 ·选修1-1 1-2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 · 选修1-2

第一章
统计案例

第一章

统计案例

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·人教A版 ·数学 ·选修1-2

第一章 3.3
1.2

导数在研究函数中的应用

独立性检验的基本思想及其初步应用

第一章

1.2

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

课 时 作 业

第一章

1.2

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自主预习学案

第一章

1.2

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学习目标解读
通过对案例的探究,了解独立性检验的基本思想、方法及 初步应用.

第一章

1.2

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重点:理解独立性检验的基本思想及实施步骤.

难点:独立性检验基本思想的理解及应用.

第一章

1.2

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独立性检验的基本思想 思维导航

日常生活及生产、科研中,经常需要考虑某个量的变化是
否由某种因素引起,与这种因素的相关程度有多大?怎样判断 呢?

第一章

1.2

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新知导学 1.分类变量 分类变量也称为属性变量或定性变量,分类变量的取值是

不同类别 ,除了起 离散的,其不同的取值仅表示个体所属的__________
分类作用外,无其他含义,有时也把分类变量的不同取值用数 区分 作用,无数值意义. 字表示,但这些数字只起__________

第一章

1.2

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2.2×2列联表 频数表 称为列联表. ①定义:两个分类变量的__________
②2×2列联表 一般地,假设两个分类变量 X 和 Y ,它们的取值分别为 {x1,x2} 和__________ {y1,y2} ,其样本频数列联表(也称为2×2列 __________

联表)为下表.
y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d
第一章 1.2

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3.等高条形图 (1)等高条形图与表格相比,更能直观地反映出两个分类变 互相影响 , 常 用 等高 条 形 图展 示 列 联表 数 据 的 量 间 是 否 __________
频率特征 . __________

a c (2)观察等高条形图发现 和 相差很大,就判断两个 a+b c+d 有关系 . 分类变量之间__________

第一章

1.2

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4.独立性检验
“两个分类变量有关系” (1)定义:利用随机变量K2来判断______________________ 的方法称为独立性检验.

n?ad-bc?2 ?a+b??c+d??a+c??b+d? ,其中n=a+b+c+d. (2)K2=_______________________

第一章

1.2

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(3)独立性检验的基本思想 要判断两个分类变量是否相关及关系的强弱,需要确定一 个评判规则和标准.随机变量 K2 和其临界值 k. 就是评判的标 准. 首先假设两个分类变量没有关系,在该假设成立的条件下 小 随机变量 K2 的值应该很 _______ ,如果由观测数据计算得到的 大 K2 的观测值 k 很 ________ ,则在一定程度上说明假设不合理, 小 ,则 即认为“两个分类变量有关系”;如果观测值k很_______ 说明在样本数据中没有发现足够证据拒绝“两个分类变量没有 关系”.
第一章 1.2

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判断方法是:如果 k≥ k0 ,就认为“两个分类变量有关 系”;否则就认为“两个分类变量没有关系”.按照上述规 则,把“两个分类变量没有关系”错误地判断为“两个分类变 P(K2≥k0) . 量有关系”的概率为__________ 3.841 一般地,在独立性检验中,当 K2>__________ 时,有 95% 6.635 的把握说事件 A 与 B 有关;当 K2>__________ 时,有 99% 的把握 3.841 时,认为事件A与B是无关 说事件A与B有关;当K2≤__________ 的.

第一章

1.2

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牛刀小试 1.下表是一个2×2列联表: y1 x1 a y2 21 总计 73

x2
总计

2 b

25 46
) C.52,54
? ?a=52 ,得? ? ?b=54

27 100
D.54,52

则表中a、b处的值分别为( A.94,96 [答案] C B.52,50

[解析]

? ?a+21=73 由? ? ?a+2=b

.
第一章 1.2

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2.对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k,下列说法
正确的是( ) A.k越大,推断“X与Y有关系”,犯错误的概率越大 B.k越小,推断“X与Y有关系”,犯错误的概率越大 C.k越接近于0,推断“X与Y无关”,犯错误的概率越大 D.k越大,推断“X与Y无关”,犯错误的概率越小 [答案] B

第一章

1.2

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3.利用独立性检验来考虑两个分类变量 X和Y是否有关系

时,通过查阅临界值表来确定断言“ X 与 Y 有关系”的可信
度,如果k>5.024,那么就推断“X和Y有关系”,这种推断犯 错误的概率不超过( A.0.25 C.0.025 [答案] C [ 解析 ] 通过查表确定临界值 k. 当 k > k0 = 5.024 时,推断 “X与Y”有关系这种推断犯错误的概率不超过0.025. ) B.0.75 D.0.975

第一章

1.2

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4 .为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有

关,用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠.在照射后14天内
的结果如下表所示:

死亡
第一种剂量 第二种剂量 14 6

存活
11 19

合计
25 25

合计

20

30

50

进行统计分析时的统计假设是________________.

[答案] 假设电离辐射的剂量与人体受损程度无关.
第一章 1.2

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典例探究学案

第一章

1.2

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两个分类变量关系的直观分析

在对人们饮食习惯的一次调查中, 共调查了 124 人,其中六十岁以上的 70 人,六十岁以下的 54 人.六十岁以 上的人中有 43 人的饮食以蔬菜为主, 另外 27 人则以肉类为主; 六十岁以下的人中有 21 人饮食以蔬菜为主,另外 33 人则以肉 类为主.请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表,并利 a c 用 与 判断二者是否有关系. a+b c+d
第一章 1.2

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[分析]

求出分类变量 对变量进行分类 → → 的不同取值

a c 作出2×2列联表 → 计算 与 的值作出判断 a+b c+d
[解析] 2×2列联表如下: 年龄在六十岁以上 年龄在六十岁以下 总计 饮食以蔬菜为主 饮食以肉类为主 总计 43 27 70 21 33 54 64 60 124

第一章

1.2

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将表中数据代入公式得 43 a =64=0.671875. a+b 27 c =60=0.45. c+d 显然二者数据具有较为明显的差距,据此可以在某种程度 上认为饮食习惯与年龄有关系.

第一章

1.2

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[ 方法规律总结 ]

1. 作 2×2 列联表时,注意应该是 4 行 4

列,计算时要准确无误. 2.作2×2列联表时,关键是对涉及的变量分清类别.

第一章

1.2

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甲、乙两校体育达标抽样测试,其数据见下表: 两校体育达标情况抽检 达标人数 未达标人数 合计

甲校 乙校 合计

48 52 100

62 38 100

110 90 200

第一章

1.2

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若要考察体育达标情况与学校是否有关系最适宜的统计方
法是( ) B.独立性检验 D.平均值 A.回归分析 C.相关系数 [答案] B

第一章

1.2

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等高条形图的应用

从发生交通事故的司机中抽取 2 000名司机作
随机样本,根据他们血液中是否含有酒精以及他们是否对事故 负有责任将数据整理如下:

有责任
有酒精 无酒精 总计 650 700 1 350

无责任
150 500 650

总计
800 1 200 2 000

试分析血液中含有酒精与对事故负有责任是否有关系.

第一章

1.2

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[解析]

作等高条形图如下,图中阴影部分表示有酒精负

责任与无酒精负责任的比例,从图中可以看出,两者差距较 大,由此我们可以在某种程度上认为“血液中含有酒精与对事 故负有责任”有关系.

第一章

1.2

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[方法规律总结]

通过等高条形图可以粗略地直观判断两

a c 个分类变量是否有关系, 一般地, 在等高条形图中, 与 a+b c+d 相差越大,两个分类变量有关系的可能性就越大.

第一章

1.2

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某学校对高三学生作了一项调查发现:在平时的模拟考试 中,性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张,性格外 向的学生594人中有213人在考前心情紧张,作出等高条形图, 利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系.

[解析] 作列联表如下:
性格内向 考前心情紧张 332 性格外向 213 总计 545

考前心情不紧张 总计

94 426

381 594

475 1 020
第一章 1.2

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相应的等高条形图如图所示:

图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格 内向的比例,从图中可以看出考前紧张的样本中性格内向占的 比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高,可以认为

考前紧张与性格类型有关.

第一章

1.2

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独立性检验的应用

在 500 人身上试验某种血清预防感冒的作用,
把他们一年中的感冒记录与另外 500 名未用血清的人的感冒记 录作比较,结果如表所示.问:能否在犯错误的概率不超过1% 的前提下认为该种血清能起到预防感冒的作用. 未感冒 感冒 合计

使用血清
未使用血清 合计

258
216 474

242
284 526

500
500 1 000

第一章

1.2

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[解析] 假设感冒与是否使用该种血清没有关系. 由列联表中的数据,求得 K2 的观测值为 1 000×?258×284-242×216?2 k= ≈7.075. 474×526×500×500 ∵k=7.075≥6.635, 查表得 P(K2≥6.635)=0.01, 故我们在犯错误的概率不超过 1%的前提下,即有 99%的 把握认为该种血清能起到预防感冒的作用.

第一章

1.2

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[方法规律总结] 独立性检验的步骤: 第一步,确定分类变量,获取样本频数,得到列联表. 第二步,根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变 量有关系”犯错误概率的上界 α,然后查表确定临界值 k0.
2 n ? ad - bc ? 第三步,利用公式 K2= 计算随机 ?a+b??c+d??a+c??b+d?

变量 K2 的观测值 k0.

第一章

1.2

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第四步,作出判断. 如果 k≥k0,就推断“X 与 Y 有关系”,这种推断犯错误的 概率不超过 α,否则就认为在犯错误的概率不超过 α 的前提下 不能推断“X 与 Y 的关系”,或者在样本数据中没有发现足够 证据支持结论“X 与 Y 有关系”.

第一章

1.2

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“十一”黄金周前某地的一旅游景点票价上浮,黄金周过

后,统计本地与外地来的游客人数,与去年同期相比,结果如
下: 本地 外地 合计

去年 今年 合计

1 407 1 331 2 738

2 842 2 065 4 907

4 249 3 396 7 645

能否在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为票价上浮后 游客人数与所处地区有关系?
第一章 1.2

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[解析]

按照独立性检验的基本步骤,假设票价上浮后游

客人数与所处地区没有关系. 因为 K2 的观测值 k= 7 645×?1 407×2 065-2 842×1 331?2 ≈30.35>6.635. 4 249×3 396×2 738×4 907 所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为票价上浮后 游客人数与所处地区有关系.

第一章

1.2

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准确掌握公式中的参数含义

有甲、乙两个班级进行一门考试,按照学生考
试成绩优秀和不优秀统计后,得到如下的列联表 班级与成绩列联表

优秀
甲班 乙班 10 7

不优秀
35 38

总计
45 45

总计

17

73

90

试问能有多大把握认为“成绩与班级有关系”?
第一章 1.2

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2 90 × ? 10 × 7 - 35 × 38 ? [错解] 由公式得:K2= =56.86, 17×73×45×45

56.86>6.635 所以有 99%的把握认为“成绩与班级有关 系”.

[辨析]

由于对2×2列联表中a, b,c,d的位置不清楚,
2 90 × ? 10 × 38 - 7 × 35 ? K2= =0.653, 17×73×45×45

在代入公式时代错了数值导致计算结果的错误

[正解]

0.653<3.841, 所以没有充分证据认为成绩与班级有关.
第一章 1.2

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课时作业
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第一章

1.2



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