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高中数学 3.4.1 函数与方程(2)课件(新版)苏教版必修1



高中数学 必修1 情境问题: 函数存在零点的判定: 若函数y=f (x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线, 且f (a)· f (b)<0,则函数y=f (x)在区间(a,b)上有零点. 对于方程lgx =3- x,试给出方程根所在的区间. 如何求出这个方程的近似解呢? 下面我们以熟悉的二次方程x2-2x-1 =0为例,探求求方程的近似解的方法. 数学探究:

求该方程的近似解可转化为求相应函数零点的近似值 对于函数f (x)=x2-2x-1,因为f (-1)=2>0,f (0)=-1<0, f (2)=-1<0,f (3) =2>0,又f (x)在区间(-1,0)上单调减,在区间(2,3) 上单调增,故在每个区间上有且只有一个零点,即x1?(-1,0),x2?(2,3). 函数f (x)=x2-2x-1在区间(2,3)上的零点的近似值(精确到0.1)如何求呢? 我们取区间(2,3)的中点 x0=2.5,计算f (2.5) f (2.5)=0.25>0, f (2.25)=-0.4375<0 f (2.375)=-0.109375<0 f (2.4375)=0.06640625>0 ∴ x2?(2,2.5) ∴ x2?(2.25,2.5) ∴ x2?(2.375,2.5) ∴ x2?(2.375,2.4375) 再取区间(2,2.5)的中点 x0=2.25,计算f (2.25). 再取区间(2.25,2.5)的中点 x0=2.375,计算f (2.375) 再取区间(2.375,2.5)的中点 x0=2.4375,计算f (2.4375) 因为2.375和2.4375精确到0.1的近似值均为2.4,所以f (x)零点的近似值x≈2.4. 数学建构: 二分法: 对于在区间[a,b]上不间断,且满足f (a)· f (b) <0的函数y=f (x),通 过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐 步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间. 数学建构: 给定精度?,用二分法求函数f (x)的零点近似值的步骤: (1)确定零点存在区间(a,b); (2)求区间(a,b)的中点x0; (3)计算f (x0): ①若f (x0)=0,则x0就是函数的零点; ②若f (a)· f (x0)<0,则令b=x0(此时零点x1?( a,x0)); ③若f (a)· f (x0)>0,则令a=x0(此时零点x1?(x0,b)). (4)判断是否达到精度?:即若| a-b |<?,则得到零点值a(或b); 否则重复步骤2~4. 数学应用: 练习 确定下列函数f (x)的零点与方程的根存在的区间(k,k+1)(k?Z). 1.函数f (x)=x3-3x-3有零点的区间是 . 2.方程5x2-7x-1=0正根所在的区间是 . 3.方程5x2-7x-1=0负根所在的区间是 . 4.函数f (x)=lgx+x-3有零点的区间是 . 数学应用: 例1 求方程x2-2x-1=0在区间(-1,0)上的近似解(精确到0.1). 数学应用: 练习 利用计算器,求方程x3-3x-3=0的近似解. f (3)=15 - 2 - 2 - 2.25 + 2.5 + 2.5 + 3 f (2)=-1, f (2.5)=5.125 f (2.25)=1.640 f (2.125)=0.221 f (2.0625)=-0.414 3 2 2.1252.25 -+ 2


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