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高三数学二轮专题复习专七


专题七

概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数

第一讲
高考预测

计数原理、二项式定理

计数原理、二项式定理也是广东高考中必考小题,属于独立知识点与 其它知识没多大的联系,掌握好这两个定理是高考成功的关键.

主干考点梳理 考点 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.分类加法计数原理. 完成一件事有 n 类不同方案,在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法,在 第 2 类方案中有 m2 种不同的方法,?,在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法;那 么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+?+mn 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理. 完成一件事需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有 m2 种不同的方法,?,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×m3×?×mn 种不同的方法.

考点 2 排列数公式与组合数公式
1.排列数公式: n! m An =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= (阶乘形式). (n-m)! 2.组合数公式: Am n m Cn = m Am = n(n-1)(n-2)…(n-m+1) n! = m! m!(n-m)!

(阶乘形式).

考点 3 二

项式定理的应用

1.二项式定理.

n 1 n-1 1 n-k k n (1)定理:(a+b)n=C0 b +?+Ck b +?+Cn na +Cna na nb

(n∈N*,k=0,1,?,n). (2)通项与二项式系数.
n-k k 二项展开式的通项为 Tk+1=Ck b ,其中 Ck na n(k=0,1,2,?,n)

叫做二项式系数. 2.二项式系数的性质. (1)对称性:在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项
0 1 n-1 2 n-2 r n-r 式系数相等,即 Cn =Cn n,Cn=Cn ,Cn=Cn ,?,Cn=Cn .

(2)最大值. n n 当 n 为偶数时,中间的一项,即第 +1 项的二项式系数 C2n 2 取得最大值;当 n 为奇数时,中间的两项,即第 n+1 n+3 、 项的二 2 2

n-1 n+1 项式系数 C 2 n、C 2 n 相等,且同时取得最大值. (3)各二项式系数的和.
0 1 n n ①Cn +Cn +C2 n+?+Cn=2 ; 1 3 0 2 4 n-1 ②Cn +Cn +C5 n+?=Cn+Cn+Cn+?=2

考点自测
1.(2014· 大纲卷)有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、 1 名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( A.60 种 C.75 种 B.70 种 D.150 种 )

2.对于小于 55 的自然数 n,积(55-n)(56-n)· ?· (68-n)(69- n)等于( )B

-n A.A55 B.A15 C.A15 D.A14 69-n 69-n 55-n 69-n

? a?7 1 3.(2014· 湖北卷)若二项式?2x+x? 的展开式中 3 的系数是 84, x ? ? 则实数 a=( )C

5 A.2 B. 4
? ?

C.1 D.

2 4 )

? 1?5 4.在?2x2-x? 的二项展开式中,x 的系数为(

A.10 B.-10 C.40 D.-40
? 6 b? ? ax ? ? 2 2 x ? 的展开式中 x 3 项的系数为 20, 4. (2014 山东) 若? 则a ?b
4

的最小值为



高考热点突破 突破点 1 分类加法和分步乘法计数原理
例 1 某中学拟于下学期在高一年级开设“矩阵与变换”、“信息安全

与密码”、“开关电路与布尔代数”三门数学选修课,在计划任教高一 年级的 10 名数学老师中,有 3 人只能任教“矩阵与变换”,有 2 人只 能任教“信息安全与密码”, 另有 3 人只能任教“开关电路与布尔代数”, 三门课都能任教的只有 2 人.现要从这 10 名教师中选出 9 人,分别 担任这三门课的任课老师, 且每门课安排 3 名老师任教, 则不同的安 排方案有________种. 思路点拨: 本题可以根据已知条件作出韦恩图, 然后分 4 种情况讨论 没有任教的老师,得到答案.

规律方法 解决此类题目的难点在于根据什么来分类、 分类的标准是什么, 故考 虑问题时,首先要注意分类讨论的对象和分类讨论的标准.

跟踪训练
1.将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参 加社会实践活动, 每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成, 不同的安排 方案共有( A.12 种 ) B.10 种 C.9 种 D.8 种

突破 2

排列组合综合应用问题

例 2 将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作,每个 场馆至少分配一名志愿者的方案种数为( A.540 B.300 C.180 D.150 )

规律方法
(1)排列、组合的综合问题要与分类和分步问题结合处理,凡有难度 的排列、组合问题,一般要分类解决. (2)有关先分组,再分配的问题,要先正确分组,若出现元素相同的

组,要注意组数计算的准确性.

跟踪训练
2. (2014· 北京卷)把 5 件不同产品摆成一排, 若产品 A 与产品 B 相邻, 且产品 A 与产品 C 不相邻,则不同的摆法有________种.

突破点 3

二项式定理的应用

例 3 已知(1+kx2)6(k 是正整数)的展开式中 x8 的系数小于 120, 则k =________.

规律方法
(1)与二项展开式的指定项有关的题目一般要用到二项展开式的通项 公式. (2)注意区别二项式系数和项的系数.

跟踪训练
?1 ?5 3.(2014· 湖南卷) ?2x-2y? 的展开式中 x2y3 的系数是( ? ?

)

A.-20 B.-5C.5 D.20

小结反思
1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理一定要区别清楚,避免使 用时出现错误; 2.排列数公式与组合数公式要记清,各种形式视情况选用,并注意 排列公式与组合公式的联系; 3.二项式定理是独立的一部分内容,要记清二项式定理本身与其通 项公式,应用时还要小心符号,另外赋值法也是要掌握的重要方法, 需要重视.

专题七

概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数

第二讲
高考预测

概率、随机变量及其分布列

1.古典概型、几何概型是每年必考内容,重点考查古典 概型. 2.相互独立事件和独立重复试验为常考内容,以复杂事 件的概率为背景, 考查学生分类讨论的数学思想和分析问题、解 决问题的能力. 3.离散型随机变量的分布列、均值、方差常以解答题进 行考查,用排列、组合知识求某事件发生的概率. 4.预测 2015 年高考,考第 2 点的可能性大一些.

主干考点梳理
考点 1 互斥事件的概率加法公式的应用

1.若事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)=__P(A)+P(B). 2.若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 P(A∪B)=__1__,即 P(A) =__1-P(B).

考点 2

古典概型与几何概型

1.古典概型的概率公式.
对于古典概型,任何事件的概率为: A包含的基本事件的个数 P(A)=_ . 基本事件的总数 2.几何概型的概率公式.

在几何概型中,事件 A 的概率计算公式为: 构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)=_ 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

考点 3

条件概率

P(AB) 一般地,设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0,称 P(B|A)=_ P(A) 为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率.特别地,对于 古典概型,由于组成事件 A 的各个基本事件发生的概率相等,因此 n(AB) 其条件概率也可表示为:P(B|A)= . n(A)

考点 3

条件概率

P(AB) 一般地,设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0,称 P(B|A)=_ P(A) 为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率.特别地,对于 古典概型,由于组成事件 A 的各个基本事件发生的概率相等,因此 其条件概率也可表示为:P(B|A)= n(AB) . n(A)

考点 4

独立事件与独立重复实验

1.事件 A 与事件 B 相互独立. 设 A,B 为两个事件,如果 P(AB)=P(A)P(B) ,则称事件 A 与事件 B 相互独立,如果事件 A 与 B 相互独立,那 么A与 与 与 B 也都相互独立.

2.独立重复试验.

在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X=k)=Ck n pk(1-p)n-k,k=0,1,2,?,n.

考点 5

离散型随机变量及其分布与二项分布

一、离散型随机变量及其分布列
1.离散型随机变量的分布列. 设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,?,xi,?,xn,X 取每一个值 xi(i=1,2,?,n)的概率 P(X=xi)=pi,则随机变量 X 的分布列为: X P x
1

x

2

? ?

x

i

? ?

x

n

p

1

p

2

p

i

p

n

有时为了表达简单,也用等式___ P(X=xi)=pi,i=1,2,?,n 表示 X 的分布列. 2.离散型随机变量 X 的分布列的性质. (1)pi≥0,i=1,2,?,n;(2) ?pi=1.
i=1 n

二、二项分布
在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 X,在每次试验中 事件 A 发生的概率为 p.那么在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发
k n-k 生 k 次的概率为 P(X=k)=_ Ck ,k=0,1,2,…,n.此 np (1-p)

时称随机变量 X 服从二项分布,记作_ X~B(n,p).

三、离散型随机变量的均值与方差 1.均值.

(1)均值的定义. 若离散型随机变量 X 的分布列为: X P x
1

x

2

? ?
1 1

x

i

? ?
i i

x

n

p

1

p

2

p

i

p

n

则随机变量 X 的均值 E(X)=x p +x p +…+x p +…+x p
2 2

n n

(2)几个常见的均值. ①E(aX+b)=aE(X)+b; ②若 X 服从两点分布,则 E(X)=_ p; ③若 X~B(n,p),则 E(X)=__ np.

2.方差.
(1)方差的定义.若离散型随机变量 X 的分布列为: X P x
1

x

2

? ?
n

x

i

? ?

x

n

p

1

p

2

p

i

p

n

则随机变量 X 的方差 D(X)= ?[xi-E(X)]2pi
i=1

(2)几个常见的方差. ①D(aX+b)=a2D(X); ②若 X 服从两点分布,则 D(X)=p(1-p); ③若 X~B(n,p),则 D(X)=_np(1-p)

考点自测
1.(2014· 新课标Ⅰ 卷)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加

公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( 1 3 5 7 A. B. C. D. 8 8 8 8

)D

2.甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取 胜的概率相等, 现任意将这 4 个队分成两个组(每组两个队)进行比赛, 胜者再赛,则甲、乙相遇的概率为( 1 1 1 1 A. B. C. D. 6 4 3 2 3.(2014· 广东卷)从 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 中任取七个 不同的数,则这七个数的中位数是 6 的概率为________. 4.某战士射击中靶的概率为 0.99.若连续射击两次(精确到 0.000 1),求: (1)至多有一次中靶的概率; (2)两次都中靶的概率; (3)至少有一次中靶的概率 5.已知离散型随机变量 X 的分布列如下表所示: X P -1 a 0 b 1 c 2 1 12 )

若 E(X)=0,D(X)=1,则 a=______,b=______. 6. (2014 山东) (本小题满分 12 分) 乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分 .如图,甲上有两个不 相交的区域 A, B , 乙被划分为两个不相交的区域 C , D .某次测试要求队 员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在 C 上
1 3 的概率为 5 ,在 D 上的概率为 5 .假设共有两次来球且落在 A, B 上各一

次,小明的两次回球互不影响.求: (I)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (II)两次回球结束后,小明得分之和 ? 的分布列与数学期望.

D C

A B

高考热点突破 突破点 1 古典概型的概率
)

例 1 4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机 抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为( 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4

规律方法
(1)有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和 所求事件包含的基本事件个数,这常常用到排列、组合的有关知识. (2)对于较复杂的题目要注意正确分类,分类时应不重不漏.

跟踪训练
1.(2014· 江西卷)10 件产品中有 7 件正品,3 件次品,从中任取 4 件,则恰好取到 1 件次品的概率是________.

突破 2

几何概型

例 2 在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝 对值均不大于 2 的点构成的区域, E 是到原点的距离不大于 1 的点构 成的区域,向 D 中随机投一点,则落入 E 中的概率为________.

规律方法

(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角 等时,应考虑利用几何概型求解. (2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域 和事件发生的区域的寻找, 有时需要设出变量, 在坐标系中表示所需 要的区域.

跟踪训练
x≤0, ? ? 2. (2014· 湖北卷)由不等式?y≥0, 确定的平面区域记为 Ω , ? ?y-x-2≤0
1

不等式

?x+y≤1, 确定的平面区域记为 Ω2 ? ?x+y≥-2,
)

, 在 Ω1 中随机取一点,

则该点恰好在 Ω2 内的概率为( 1 1 3 7 A. B. C. D. 8 4 4 8

突破点 3

条件概率问题

例 3 已知: 男人中有 5%患色盲, 女人中有 0.25%患色盲. 从 100 个男人和 100 个女人中任选一人 (1)求此人患色盲的概率; (2)如果此人是色盲,求此人是男人的概率. 规律方法 (1)利用公式 P(B|A)= P(AB) 是求条件概率最基本的方法.这 P(A)



种方法的关键是分别求出 P(A)和 P(AB),其中 P(AB)是指事件 A 和 B 同时发生的概率.

(2)在求 P(AB)时,要判断事件 A 与事件 B 之间的关系,以便 采用不同的方法求 P(AB).其中,若 B P(B) 而 P(B|A)= . P(A) A,则 P(AB)=P(B),从

跟踪训练
3.(2014· 新课标Ⅱ卷)某地区空气质量监测资料表明,一天的 空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知 某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45

突破点 4

相互独立事件和独立重复实验问题

2 3 例 4 甲、 乙两人各射击一次, 击中目标的概率分别是 和 .假设 3 4 两人射击是否击中目标, 相互之间没有影响, 每人各次射击是否击中 目标,相互之间也没有影响. (1)求甲射击 3 次,至少 1 次未击中目标的概率. (2)假设乙连续 2 次未击中目标,则停止射击,问:乙恰好射击 4 次后,被停止射击的概率是多少? (3)设甲连续射击 3 次,用 ξ 表示甲击中目标时射击的次数,求 ξ 的数学期望.

规律方法
(1)注意区分互斥事件和相互独立事件.互斥事件是在同一试验 中不可能同时发生的情况; 相互独立事件是指几个事件的发生与否互 不影响,当然可以同时发生. (2)一个事件若正面情况比较多,反面情况较少,则一般利用对

立事件进行求解.对于“至少”、“至多”等问题往往用这种方法求解.

跟踪训练
4.某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立 地对每位大学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或 1 “不支持”的概率都是 .若某人获得两个“支持”,则给予 10 万元 2 的创业资助;若只获得一个“支持”,则给予 5 万元的资助;若未获 得“支持”,则不予资助.求: (1)该公司的资助总额为零的概率. (2)该公司的资助总额超过 15 万元的概率.

突破点 5

随机变量的分布列及有关问题

例 4 一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片,分别标有 数字 2,3,4,5;另一个盒子也装有 4 张大小形状完全相同的卡片, 分别标有数字 3,4,5,6.现从一个盒子中任取一张卡片,其上面的 数记为 x;再从另一盒子里任取一张卡片,其上面的数记为 y,记随 机变量 η=x+y,求 η 的分布列和数学期望.

规律方法
(1)求分布列的关键是正确求得随机变量的每一个取值和取每个 值的概率. (2)求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布 列.

跟踪训练
5.(2014· 安徽卷)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直 接赢得比赛, 若赛完 5 局仍未出现连胜, 则判定获胜局数多者赢得比 2 1 赛,假设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛结果相 3 3

互独立. (1) (2) 学期望). 求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; 记 X 为比赛决出胜负时的总局数, 求 X 的分布列和均值(数

小结反思
1.在使用概率公式运算时,要写明使用的条件.如:使用概率 加法公式求概率时, 要判断并写明事件是互斥事件; 用乘法公式求事 件概率时,要先判断并写明事件是相互独立事件等. 2.对二项分布、独立重复实验等重要知识点要熟练掌握,相关 公式与结论要应用自如. 3.要准确计算离散型随机变量的均值与方差,要记清公式,要 在会推导的基础上记忆结论,避免解题时耽误时间.
专题七 概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数

第三讲
高考预测

统计、统计案例

从近三年高考试题的统计分析来看,抽样方法,频率分布直方图、茎 叶图、样本的数字特征等多以选择题、填空题的形式考查,一般为容易题.回 归分析与独立性检验是高考的新趋势. 预测 2015 年高考中, 本讲内容仍为考查的热点之一, 有关统计与概率、 统计案例的解答题要引起足够的重视.

主干考点梳理
考点 1 随机抽样

类 别 同点



各自特点

相互联 系 范围

适用

简 单随 机抽 样 抽 系 样过程中每 个个体被抽 取的概率相 等 分 层抽 样 将总体分 成几层, 分层进行抽 取 系统 抽样 三种抽样方法的比较列表如下: 将总体均 分成几部分, 按事先 确定的规则在各部 分抽取 在起始 部分抽样时采用 简单随机 抽样 分层抽 样时采用简单机 抽样或 总体 由差异的几部 分组成 总体 中的个体数较 多 逐个抽样 从总体中 总体 中的个数较少

统抽 样

考点 2

用样本估计总体
(1)绘制频率分布直方图的步骤. ①求极差;②决定组距和组数;③将数据分组;④列频率分布表;⑤

1.频率分布直方图.

画_频率分布直方图. (2)由频率分布直方图估计平均数. 平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点 的横坐标之和.

2.方差与标准差. 样本数据为 x1,x2,?,xn, 表示这组数据的平均数,则方差 s2

1 = [(x1-x)2+(x2-x)2+?+(xn-x)2], n 标准差 s= 1 [(x1-x)2+(x2-x)2+?+(xn-x)2]. n

考点 3

线性回归方程

考点 4

回归分析及独立性检验

1.回归分析的基本思想及其初步应用. 对相关系数 r: (1)r>0,表明两个变量_正相关; (2)r<0,表明两个变量_负相关; (3)r 的绝对值越近 1,表明两个变量的线性相关性_越强; (4)r 的绝对值越近 0,表明两个变量的线性相关性__越弱; (5)当|r|大于 0.75 时,认为两个变量有很强的__线性相关关系. 2.独立性检验. 假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的值域分别为{x1,x2}和{y1,y2}, 其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为


总计 a+ b c+d a+b+c+d

y x x
1

1

y

2

a c a+ c
2 2

b d b+ d

2

总计

则 K (χ )=

, (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(a+b+c+d)(ad-bc)2

若 K2(χ )>3.841,则有 95%的把握说两个事件有关;
2 若 K2(χ )>6.635,则有 99%的把握说两个事件有关.

2

考点自测
1.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3∶3∶4,现用 分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本, 则应从高二年级抽取____名学生. 2.(2014· 山东卷)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临 床试验, 所有志愿者的舒张压数据(单位: kPa)的分组区间为[12, 13), [13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分 别编号为第一组,第二组,…,第五组,如图是根据试验数据制成的 频率分布直方图,已知第一组与第二组共有 20 人,第三组中没有疗 效的有 6 人,则第三组中有疗效的人数为( )

A.6 B.8 C.12 D.18 3.对变量 x,y 有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点 图 1;对变量 u ,v 有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点 图 2.由这两个散点图可以判断( )

A.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 B.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 C.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 D.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 4.下列关于 K2 的说法中正确的是( )

A.K2 在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关 B.K2 的值越大,两个事件的相关性就越大 C.K2 是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量,只对于两个分类 变量适合 D.K2 的观察值 k 的计算公式为: k= n(ad-bc) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

7. (2014 山东)为了研究某药厂的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所 有 志 愿 者 的 舒 张 压 数 据 ( 单 位 : kPa ) 的 分 组 区 间 为 [12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组, 第二组,……,第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已知第 一组与第二组共有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人,则第三组中有疗效的人 数为

频率 / 组距 0.36 0.24 0.16 0.08 0 12 13 14 15
(C)

16

17

舒张压/kPa

(A) 6

( B) 8

12(D) 18

高考热点突破 突破点 1 随机抽样

例 1 某校共有学生 2 000 名,各年级男、女生人数如下表所示.已知在全 校学生中随机抽取 1 名,抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在 全校抽取 64 名学生,则应在三年级抽取的学生人数为( 一年级 女生 男生 A.24 373 377 B.18 C.16 二年级 x 370 D.12 ) 三年级 y z

思路点拨:本题可以先根据概率求出二年级女生人数,然后算出三年级的 总人数,最后算出在三年级抽取的人数. 规律方法 (1)解决此类题目首先要深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围,如分层 抽样,适用于数目较多且各部分之间具有明显差异的总体. (2)系统抽样中编号的抽取和分层抽样中各层人数的确定是高考重点考查的 内容.

跟踪训练
1. (2014· 天津卷)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向, 拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样 本进行调查. 已知该校一年级、 二年级、 三年级、 四年级的本科生人数之比为 4∶ 5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取________名学生.60

突破 2
例2

频率分布直方图或频率分布表
某地区为了解 70~80 岁老人的日平均睡眠时间(单位:h),随机选择

了 50 位老人进行调查,下表是这 50 位老人日睡眠时间的频率分布表. 序号(i) 分组(睡眠 时间) [4,5) [5,6) [6,7) [7,8) [8,9) (Gi) 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 组中值 频 (人数) 6 10 20 10 4 数 频率(Fi)

1 2 3 4 5

0.12 0.20 0.40 0.20 0.08

在上述统计数据的分析中,一部分计算见算法流程图,则输出的 S 的值是 ________.

规律方法
(1)解决该类问题时应正确理 解图表中各个量的意义,从图表 中掌握信息是解决该类问题的关 键. (2)本题中 S 实际上是样本的 近似平均数.我们可以根据频率 分布表或频率分布直方图来大致 求出样本的平均数,具体作法是,

用频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.

跟踪训练
2.某企业 3 个分厂同时生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的 产量之比为 1∶2∶1,用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从 3 个分厂生产 的电子产品中共取 100 件作使用寿命的测试,由所得的测试结果算得从第一、 二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为 980 h,1 020 h,1 032 h,则 抽取的 100 件产品的使用寿命的平均值为

________h.

突破点 3 众数、中位数、平均数、方差、标准差
例3 随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学, 测量他们的身高(单位: cm),获得身高数据的茎叶图如下图所示.

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学, 求身高为 176 cm 的同学被抽中的概率.

规律方法
(1)本题考查了茎叶图的识图问题和平均数的计算, 其中从茎叶图中读 出数据是关键,为此,首先要弄清“茎”和“叶”分别代表什么. (2)要熟练掌握众数、中位数、平均数、方差、标准差的计算方法.

跟踪训练
3.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间 没有发生在规模群体感染的标志为“连续 10 天,每天新增疑似病例不超过 7 人”.根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志 的是( ) A.甲地:总体均值为 3,中位数为 4 B.乙地:总体均值为 1,总体方差大于 0 C.丙地:中位数为 2,众数为 3 D.丁地:总体均值为 2,总体方差为 3

突破点 4

线性回归方程
例4 (2014· 新课标Ⅱ卷)某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收

入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代 号t 人均纯 收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

(1)求 y 关于 t 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家 庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

规律方法
(1)正确作出散点图,由散点图可知两个变量是否具有线性相关关系, 若具有线性相关关系,则可通过线性回归方程估计和预测变量的值. (2)正确记忆求 b,a 的公式和准确地计算,是解题的保证.

跟踪训练
4.两个相关变量满足下列关系: x y 10 15 20 25 30 1 003 1 005 1 010 1 011 1 014 )

两变量的回归直线方程为( ^=0.56x+997.4 A.y ^=0.63x-231.2 B.y ^=50.2x+501.4 C.y ^=60.4x+400.7 D.y

突破点 5

独立性检验

例 5 为考察是否喜欢饮酒与性别之间的关系,在某地区随机抽 取 290 人,得到如下 2×2 列联表:
喜欢饮酒 男 女 总计 101 124 225 不喜欢饮酒 45 20 65 总计 146 144 290

利用 2×2 列联表的独立性检验判断是否喜欢饮酒与性别有无关 系. 规律方法 (1)独立性检验的关键是准确地计算 K2(χ2),在计算时,要充分 利用 2× 2 列联表.

(2)学习相关和无关的判定一定要结合实际问题,从现实中寻找 例子,从而增强学习数学的兴趣. 跟踪训练 5.在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了 124 人,其中 女性 70 人,男性 54 人.女性中有 43 人主要的休闲方式是看电视, 另外 27 人主要的休闲方式是运动; 男性中有 21 人主要的休闲方式是 看电视,另外 33 人主要的休闲方式是运动. (1)根据以上数据建立一个 2×2 列联表; (2)判断休闲方式与性别是否有关系. 小结反思 1.三种简单随机抽样方法要注意记清它们的区别,避免混淆; 2.频率分布直方图或频率分布表中信息要能正确理解,注意区 别直方图与条形图; 3.对样本总体的估计注意用好几个特殊数:方差、标准差、众 数、中位数、平均数等.
专题七 概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数

第四讲
高考预测

推理与证明

推理与证明类的题,肯定在小题中出现,因为广东高考特点,一般在 小题中出现,大题中推理的思想方法会体现出来的.

主干考点梳理
考点 1 合情推理
1.归纳推理. (1)归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物 的全部对象具有这些特征的推理, 或者由个别事实概括出一般结论的 推理.

(2)归纳推理的思维过程如下: 实验、观察 ―→ 概括、推广 ―→ 猜测一般性结论 2.类比推理. (1)类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的 某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理. (2)类比推理的思维过程如下: 观察、比较 ―→ 联想、类推 ―→ 猜测新的结论

考点 2

演绎推理

1.“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: (1)大前提——已知的一般性原理. (2)小前提——所研究的特殊情况. (3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. 2.合情推理与演绎推理的区别. 归纳和类比是常用的合情推理, 从推理形式上看, 归纳是由部分 到整体、个别到一般的推理, 类比是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推 理.从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一 步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得 到的结论一定正确.

考点 3

直接证明

1.综合法. 用 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示所要 证明的结论,则综合法可用框图表示为:

2.分析法. 用 Q 表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为:

考点 4

间接证明

反证法的证明过程可以概括为“否定—推理—否定”, 即从否定结 论开始,经过正确的推理,导致逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯 定原命题)的过程.用反证法证明命题“若 p,则 q”的过程可以用下图 所示的框图表示. 表示条件p 否定结论q ―→ 导致逻 辑矛盾 ―→ “既p又綈q” 为假 ―→ “若p,则q” 为真

考点 4

数学归纳法

数学归纳法主要用于证明与整数有关的数学问题,分两步进行: (1)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立. (2)假设 n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当 n=k+1 时, 命题也成立.

考点自测
1. (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用 小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:

将三角形数 1,3,6,10,?记为数列{an},将可被 5 整除的三角形 数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn},可以推测:

①b2 012 是数列{an}中的第 5 030 项; ②b2k-1= 5k(5k-1) 2 (用 k 表示).

(2)对于平面几何中的命题:“夹在两条平行直线之间的平行线段相 等”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题:“__夹在两个 平行平面之间的平行线段相等_”,这个类比命题是_真命题(填“真命 题”或“假命题”). 2.有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平 面内所有直线;已知直线 b 为( )A A.大前提错误 C.推理形式错误 B.小前提错误 D.非以上错误 平面 α,直线 a 平面 α,直线 b∥ 平面 α,则直线 b∥直线 a.”这段推理的结论显然是错误的,这是因

3.(2014· 山东卷)用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x2+ax +b=0 至少有一个实根”时,要做的假设是( A.方程 x2+ax+b=0 没有实根 B.方程 x2+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x2+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x2+ax+b=0 恰好有两个实根 反证法的步骤第一步是假设命题反面成立,而“方程 x2 +ax+b=0 至少有一实根”的反面是“方程 x2 +ax+b=0 没有实根” .故选 A. 4.(2014· 新课标Ⅱ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; )A

乙说:我没去过 C 城市. 丙说:我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________.A 由丙说可知,乙至少去过 A,B,C 中的一个城市,由甲说可知,甲 去过 A,C 且比乙去过的城市多,故乙只去过一个城市,又没去过 C 城市,故乙只去过 A 城市. 高考热点突破

突破点 1
n

合情推理
1 1

例 1 观察下列等式:

i=1 n

?i=2n2+2n, ?i2=3n3+2n2+6n, ?i3=4n4+2n3+4n2, ?i4=5n5+2n4+3n3-30n, ?i5=6n6+2n5+12n4-12n2, ?i6=7n7+2n6+2n5-6n3+42n,
n n n n

1

1

1

i=1

1

1

1

i=1

1

1

1

1

i=1

1

1

5

1

i=1

1

1

1

1

1

i=1

?

?ik=ak+1nk+1+aknk+ak-1nk-1+ak-2nk-2+?+a1n+a0.
i=1

n

1 1 可以推测, 当 k≥2(k∈N*)时, ak+1= , ak= , a =________, 2 k-1 k+1 ak-2=________.

规律方法
(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.在进行归 纳时,要先把已知的部分个体适当变形,找出它们之间的联系,从而 归纳出一般结论. (2)类比推理是由特殊到特殊的推理,是两类类似的对象之间的 推理, 其中一个对象具有某个性质, 则另一个对象也具有类似的结论.

跟踪训练
1.观察下列不等式: 1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 3< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 ? 照此规律,第五个不等式为_________

突破 2

演绎推理
例 2 已知数列{a }中, a =1, a =2, 且a
n 1 2

n+1

=(1+q)a -qa
n

n

-1

(n≥2,q≠0). (1)设 b =a
n

n+1

-a (n∈N ),证明{b }是等比数列.
n n

*

(2)求数列{a }的通项公式.
n

(3)若 a 是 a 与 a 的等差中项,求 q 的值, 并证明对任意的
3 6 9

n∈N ,a 是 a
n

*

n+3

与a

n+6

的等差中项.

规律方法
演绎推理是由一般到特殊的推理. 数学的证明过程主要是通 过演绎推理进行的, 只要采用的演绎推理的大前提、 小前提和推理形 式是正确的, 其结论一定是正确的, 一定要注意推理过程的正确性与 完备性.

跟踪训练
2.在数列{a }中 a =2,a
n 1

n+1

=4a -3n+1,n∈N .
n

*

(1)证明:数列{a -n}是等比数列.
n

(2)求数列{a }的前 n 项和 S .
n n

(3)证明:不等式 S

n+1

≤4S ,对任意 n∈N 皆成立.
n

*

突破点 3

直接证明与间接证明

2 例 3 已知数列{an}和{bn}满足: a1=λ, an+1= an+n-4, bn=(- 3 1)n(an-3n+21),其中 λ 为实数,n 为正整数. (1)对任意实数 λ,证明数列{an}不是等比数列. (2)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.

规律方法
(1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的 例子即可.

(2)综合法和分析法是直接证明常用的两个方法,我们常用分析 法寻找解决问题的突破口,然后用综合法来写出证明过程,有时候, 分析法和综合法交替使用

跟踪训练
3.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ 2,S3=9+3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn. Sn (2)设 bn= (n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可 n 能成为等比数列.

突破点 4 数学归纳法及其应用
例 4 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 n∈N*,点 (n,Sn)均在函数 y=bx+r(b>0 且 b≠1,b,r 均为常数)的图象上. (1)求 r 的值. (2)当 b=2 时,记 bn=2(log2an+1)(n∈N*). 证明:对任意的 n∈N*,不等式 成立. b1+1 b2+1 bn+1 · ·?· > b1 b2 bn n+1

规律方法
(1)在用数学归纳法证明第(2)问时,涉及不等式的放缩和均值不 等式的应用,证明过程中对式子的变形方向应非常清晰. (2)在用数学归纳法证明的第 2 个步骤中,突出了两个凑字,一 是“凑”假设,二是“凑”结论,关键是明确 n=k+1 时证明的目标, 充分考虑由 n=k 到 n=k+1 时命题形式之间的区别和联系,并且在 递推过程中, 必须用归纳假设, 不用归纳假设的证明就不是数学归纳 法.

跟踪训练
bn 4.已知点 Pn(an,bn)满足:an+1=an·bn+1,bn+1= ,n∈N, 2 1-an

?1 2? 且已知 P0?3,3?. ? ?

(1)求过 P0,P1 的直线 l 的方程. (2)判断点 Pn(n≥2)与直线 l 的位置关系,并证明你的结论.

小结反思
1. 归纳、 类比推理是根据个别事实, 通过分析提出猜想的推理, 其结论可能是错误的. 2. 演绎推理是由一般性原理出发, 推出某个特殊情况下的结论, 其结论一般是准确的. 3.分析法是从未知看需知,再逐步靠近已知,是寻求解题思路 的好办法. 4.当结论中含有“至少”、“至多”、“不全是”、“全不是”、“唯一” 等词语或以否定语句出现时,常用反证法. 5.掌握好数学归纳法的正确书写格式,“三次结论,关键处详细 书写”.
专题七 概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数

第五讲
高考预测

算法初步、框图、复数

算法初步、框图、复数在广东高考中都一定有小题,认真掌握好相关 知识点, 此类题都属于中等偏容易题. 预测 2015 年高考中会有框图、 复数小题



主干考点梳理 考点 1 程序框图
1.程序框图的三种逻辑结构:顺序结构、条件(分支)结构、循环结构.

2.程序设计语言的基本算法语句:任何一种程序设计语言都包含五种基本的算 法语句,分别是输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句.

考点 2 复数的概念
1.复数的相关概念及分类. (1)定义:形如 a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中 a 为实部,b 为虚部,i 是虚 数单位,且满足 i2=-1. (2)分类:复数 z=a+bi(a,b∈R)

?实数(b=0) ?虚数(b≠0)? ? ? ?

(a=0) (a≠0)

答:纯虚数非纯虚数

(3)共轭复数.复数 z=a+bi 的共轭复数

=a-bi.

(4)复数的模.复数 z=a+bi 的模|z|=|a+bi|= a2+b2. 2.复数相等的充要条件.a+bi=c+di 特别地,a+bi=0 a=c 且 b=d (a,b,c,d∈R).

a=b=0 (a,b∈R).

考点 3

复数的运算及几何意义

1.复数的运算法则. (1)加减法:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i (2)乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

(3)除法:(a+bi)÷(c+di)=

ac+bd bc-ad + i(c+di≠0) c2+d2 c2+d2

2.复数加减法的几何意义. → ,OZ → ,则复数 z +z 是向 (1)加法:若复数 z1,z2 对应的向量为OZ 1 2 1 2 → +OZ → 量OZ 1 2 所对应的复数. → ,OZ → ,则复数 z -z (2)减法:若复数 z1,z2 对应的向量为OZ 1 2 1 2 是向量Z→ 2Z1所对应的复数.

考点自测
1. (2014· 安徽卷 )如图所示,程序 框图(算法流程图)的输出结果是( A.34 B.55 C.78 D.89 )

2.某程序框图如下图所示,该程序运 行后输出的 k 的值是( )

A.4 B.5 C.6 D.7

3 . (2014· 福 建 卷 ) 复 数 (3 + 2i)i 等 于 ( )

A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i 4. (2014· 广东卷)已知复数 z 满足(3-4i)z=25,则 z=( A. -3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i
(a ? bi) ? 5.已知 a, b ? R, i 是虚数单位, 若 a ? i 与 2 ? bi 互为共轭复数, 则
2

)

(A) 5 ? 4i

(B) 5 ? 4i (C) 3 ? 4i

(D) 3 ? 4i

6. ( 2014 山 东 )执 行 下 面的 程 序框 图 , 若输 入 的 x 的 值 为 1 ,

则输出的 n 的值为



高考热点突破 突破点 1 程序框图
)

例 1 执行下图所示的程序框图,则输出的 S 值是(

A.4 B.

3 2 C. D.-1 2 3

规律方法

(1)解答此类问题,首先要读懂程序框图,要熟练掌握程序框图的三 个基本结构. (2)解读循环结构的程序框图,最好的方法是执行完整每一次循环, 防止执行程序不彻底造成错误.

跟踪训练
1.(2014· 北京卷)当 m=7,n=3 时,执行如图所示的程序框图,输 出的 S 值为( )

A.7 B.42 C.210 D.840

突破 2

复数的有关概念及复数的几何意义
(其中 表示 z1 的共轭复数),

例 2 设 z1 是复数,z2=z1-i

已知 z2 的实部是-1,则 z2 的虚部为________.

规律方法
(1)与共轭复数有关的问题一般都要先设出复数的代数形式,再 用待定系数法解决. (2)与复数的概念有关的问题,一般是先化简,把复数的非代数 形式化为代数形式.

跟踪训练

2.若复数 z 同时满足 z- 数),则复数 z 的对应点位于( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

=2i, )B

=iz(其中 z 是 z 的共轭复

突破点 3
例3 1 A. 2

复数的运算
)

1 (2014· 新课标Ⅰ卷)设 z= +i,则 |z|=( 1+i B. 2 2 C. 3 2 D.2

规律方法
(1)熟练掌握复数的加减乘除四则运算法则是解决此类问题的关 键. (2)熟记一些常见的运算结果可提高运算速度,如: (1± i)2=± 2i, 1+i 1-i =i, =-i 等. 1-i 1+i

跟踪训练
3.若复数 4-3ai ?2+ai?2 014 (a∈R)为纯虚数,则? 的值为( ? 2 - ai 3+ai ? ? )

A.-1 B.1 C.-i D.以上都不对

小结思考
1.要熟练掌握程序框图的三个基本结构,解读循环结构的程序 框图,最好是执行完整每一次循环,防止执行程序不彻底造成错误. 2.准确记忆复数相关概念,如:复数的实部、复数的虚部、复

数的共轭复数、复数的模、复数相等等. 3. (1)复数的运算要特别注意复数乘法、 除法及与模相关的运算. (2)熟记一些常见的运算结果可提高运算速度,如:(1± i)2=± 2i, 1+i 1-i =i, =-i 等. 1-i 1+i


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