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第二部分 考前第3天 保温训练(二)考前必做保分题



如同前面所讲,高考是选拔性的考试, 如同前面所讲,高考是选拔性的考试,送分题不会太 保分题才是我们得分的主要阵地. 多,保分题才是我们得分的主要阵地.所谓保分题指的 是试卷中对基础知识考查相对较多,计算推理相对复杂, 是试卷中对基础知识考查相对较多,计算推理相对复杂, 所使用的数学方法、数学思想相对深入的题目, 所使用的数学方法、数学思想相对深入的题目,这部分 题目虽然注重知识

的交汇和能力的考查, 题目虽然注重知识的交汇和能力的考查,但仍然是以基 础性的考查为主,在试卷中所占的比例也最大, 础性的考查为主,在试卷中所占的比例也最大,是得分 的主要阵地, 的主要阵地,是同学们高考数学能否成功的关键所 我们提供的考前必做保分题, 在.我们提供的考前必做保分题,就是想让同学们通过 这部分练习,成功的占领这个得分的主阵地,达到“保分 这部分练习,成功的占领这个得分的主阵地,达到 保分 每分必保”的境界 的境界, 题,每分必保 的境界,使我们在数学考试中获得决定性 的胜利. 的胜利.

1.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知向量 m . , , , , 已知向量
? ? A A? A A? ,-2sin 2 ?,m·n=- =-1. =?2cos 2 ,sin 2 ?,n=?cos 2 ,- = =- ? ? ? ?

(1)求角 A 的值; 求角 的值; (2)若 a= 3,b=2, (2)若 a=2 3,b=2,求边 c 的值. 的值.

=-1, 解:(1)∵m·n=- , ∵ =- A A A A ∴2cos 2 cos 2 -2sin 2 sin 2 =-1. =- 1 1 即 cos 2 -sin 2 =-2,cosA=-2. =- 2π 为三角形的内角, 又∵A 为三角形的内角,∴A= 3 . = (2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA 得 由余弦定理 2π 12=4+c -4ccos 3 , = +
2 2A 2A

=-4(舍去 即 c2+2c-8=0,解得 c=2 或 c=- 舍去 . - = , = =- 舍去).

π 2.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,0<φ< )的部分图像 . = + ∈ , , 2 的部分图像 如图所示. 如图所示. (1)求 f(x)的解析式; 求 的解析式; 的解析式 π (2)设 g(x)=[f(x- )]2,求函数 g(x) 设 = -12 π π 在 x∈[-6 ,3 ]上的最大 ∈- 上的最大 值,并确定此时 x 的值. 的值.

解:(1)由图知 A=2, 由图知 = , T π 2π π 3 =3,则 ω =4×3,∴ω=2. × = 4 π 3 π π 又 f(-6)=2sin[2×(-6)+φ]=2sin(-4+φ)=0, - = - + = - = , π ∴sin(φ-4)=0. - =

π π π π ∵0<φ<2,∴-4<φ-4<4, - π π ∴φ-4=0,即 φ=4. - , = 3 π ∴f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+4). 的解析式为 = + .

π 3 π π (2)由(1)可得 f(x-12)=2sin[2(x-12)+4] 由 可得 - = - + π 1-cos(3x+4) - ( + 3 π π =2sin(2x+8),∴g(x)=[f(x-12)]2=4× + , = - × 2 π =2-2cos(3x+4), - + , π π π π 5π ∵x∈[-6,3],∴-4≤3x+4≤ 4 , ∈- , + π π ∴当 3x+4=π,即 x=4时,g(x)max=4. + , =

3.设数列{bn}的前 项和为 n,且bn=2-2Sn;数列 n} .设数列 的前n项和为 数列{a 的前 项和为S - 为等差数列, 为等差数列,且a5=14,a7=20. , (1)求数列 n}的通项公式; 求数列{b 的通项公式 的通项公式; 求数列 (2)若cn=an·bn(n=1,2,3,…),Tn为数列 n}的前 项 若 的前n项 = , , 为数列{c 的前 和,求Tn.

解:(1)由 bn=2-2Sn,令 n=1,则 b1=2-2S1, 由 - = , - 2 又 S1=b1,所以 b1=3. 当 n≥2 时,由 bn=2-2Sn,可得 bn-1=2-2Sn-1, ≥ - - 所以 bn-bn-1=- n-Sn-1)=- n, =-2(S =-2b =- bn 1 即 = , bn-1 3 2 1 1 所以{b 是以 为首项, 为公比的等比数列, 所以 n}是以 b1=3为首项,3为公比的等比数列,于是 bn=2·3n.

1 (2)由数列 n}为等差数列,且 a5=14,a7=20,可得公差 d=2(a7- 由数列{a 为等差数列 为等差数列, 由数列 , , = a5)=3,a1=a5-4d=2,可得 an=3n-1, = , = , - , 1 - 从而 cn=an·bn=2(3n-1)·3n, 1 1 1 1 ∴Tn=2[2·3+5·32+8·33+…+(3n-1)·3n], - ,

1 1 1 1 1 Tn=2[2·32+5·33+…+(3n-4)·3n+(3n-1)· n+1]. - - . 3 3 2 1 1 1 1 1 ∴3Tn=2[2·3+3·32+3·33+…+3·3n-(3n-1)· n+1]. - . 3 3n- 3n-1 7 1 ∴Tn=2- n-2- 3n . 2·3

4.在数列{an}中,an+1+an=2n-44(n∈N*),a1=- .在数列 中 - ∈ , =-23. + (1)求an; 求 (2)设Sn为{an}的前 项和,求Sn的最小值. 设 的前n项和 的最小值. 的前 项和,

解:(1)由an+1+an=2n-44(n∈N*), 由 + - ∈ , an+2+an+1=2(n+1)-44. + - + + ∴an+2-an=2. + =-19. 又a2+a1=2-44,∴a2=- - , 同理得: =-21, =-17. 同理得:a3=- ,a4=-

a a … 为首项、 为公差的等差数列, a a … 2 a 故 a1, 3, 5, 是以 a1 为首项、 为公差的等差数列, 2, 4, 6, 为首项、 为公差的等差数列. 是以 a2 为首项、2 为公差的等差数列. 从而
?n-24(n为奇数), 为奇数) ? - ( 为奇数 ? an= ?n-21(n为偶数). 为偶数) ? - ( 为偶数

(2)当 n 为偶数时, 当 为偶数时, Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an) + + =(2×1-44)+(2×3-44)+…+[2× (n-1)-44] × - + × - + - - n n2 =2[1+3+…+(n-1)]-2 ·44= 2 -22n. + + + - - = 取得最小值- 故当 n=22 时,Sn 取得最小值-242. = 为奇数时, 当 n 为奇数时,

Sn=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(an-1+an) + + =a1+(2×2-44)+…+[2× (n-1)-44] × - + - - n-1 - =a1+2[2+4+…+(n-1)]+ 2 ·(-44) + + + - + - )(n- ) (n+1)( -1) + )( n2 3 =-23+ =- + -22(n-1)= 2 -22n-2. - = - 2 取得最小值- 故当 n=21 或 n=23 时,Sn 取得最小值-243. = = 综上所述:Sn 的最小值为-243. 综上所述: 的最小值为-

5.某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾 .某商场举行购物抽奖促销活动, 客从装有编号为0,1,2,3的四个相同小球的抽奖箱 的四个相同小球的抽奖箱 客从装有编号为 中,每次取出一球记下编号后放回,连续取两次, 每次取出一球记下编号后放回,连续取两次, 若取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等 若取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等 中二等奖, 中三等奖. 奖,等于5中二等奖,等于 或3中三等奖. 等于 中二等奖 等于4或 中三等奖 (1)求中三等奖的概率; 求中三等奖的概率; 求中三等奖的概率 (2)求中奖的概率. 求中奖的概率. 求中奖的概率

中三等奖”为事件 中奖”为事件 解:设“中三等奖 为事件 ,“中奖 为事件 中三等奖 为事件A, 中奖 为事件B. 从四个小球中有放回地取两个共有(0,0),(0,1),(0,2), , 从四个小球中有放回地取两个共有 , , (0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2), , , , , , , , , (2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),共16种不同的结果. , 种不同的结果. , , , , 种不同的结果 (1)记两个小球的号码之和为 ,则由题意可知,事件 包 记两个小球的号码之和为x,则由题意可知,事件A包 记两个小球的号码之和为 括两个互斥事件: = , = 括两个互斥事件:x=4,x=3.

事件 x=4 的取法有 3 种:(1,3),(2,2),(3,1). = , , . 3 故 P(x=4)=16; = = 事件 x=3 的取法有 4 种:(0,3),(1,2),(2,1),(3,0), = , , , , 4 故 P(x=3)=16. = = 3 4 7 由互斥事件的加法公式, 由互斥事件的加法公式,得 P(A)=P(x=4)+P(x=3)=16+16=16. = = + = =

(2)由题意可知,事件 B 包括三个互斥事件:中一等奖 =6),中二 由题意可知, 包括三个互斥事件:中一等奖(x= , 由题意可知 等奖(x= ,中三等奖(事件 . 等奖 =5),中三等奖 事件 A). 事件 x=5 的取法有 2 种:(2,3),(3,2), = , , 2 故 P(x=5)=16; = =

1 事件 x=6 的取法有 1 种:(3,3),故 P(x=6)=16; = , = = 7 可知, 由(1)可知,P(A)=16. 可知 = 2 1 由互斥事件的加法公式, 由互斥事件的加法公式, P(B)=P(x=5)+P(x=6)+P(A)=16+16 得 = = + = + = 7 5 +16=8.

6.随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学,测量他 .随机抽取某中学甲、乙两个班各 名同学 名同学, 们的身高(单位: 们的身高 单位:cm),获得身高数据的茎叶图 中间 单位 ,获得身高数据的茎叶图(中间 的数字表示身高的百位、十位数, 的数字表示身高的百位、十位数,旁边的数字分别 表示身高的个位数)如图所示 表示身高的个位数 如图所示. 如图所示 甲班 2 9 8 8 8 8 1 4 0 2 18 17 16 15 2 5 乙班 1 6 7 6 9 9 3 5

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高 (2)计算甲班的样本方差; 计算甲班的样本方差; 计算甲班的样本方差 (3)现从乙班这 名同学中随机抽取两名身高不低于 现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于 现从乙班这 名同学中随机抽取两名身高不低于175 cm的同学,求身高为176 cm的同学被抽中的概率. 的同学,求身高为 的同学被抽中的概率. 的同学 的同学被抽中的概率

1 解:(1) x 甲=10(182+179+178+171+170+168+168+164+162+158) + + + + + + + + + =170, , 1 x 乙 = 10 (181 + 179 + 176 + 176 + 175 + 172 + 169 + 165 + 163 + 157) = 171.3, , x 乙> x 甲,故乙班的平均身高较高. 故乙班的平均身高较高.

(2)甲班的方差为: 甲班的方差为: 甲班的方差为 1 [(182-170)2+(179-170)2+(178-170)2+(171-170)2+(170- - - - - - 10 170)2+(168-170)2+(168-170)2+(164-170)2+(162-170)2+(158 - - - - -170)2] 1 =10(144+81+64+1+4+4+36+64+144)=54.2. + + + + + + + + =

(3)记“身高为 176 被抽中”为事件 A.从乙班中不低于 175 cm 的同 记 被抽中” 从乙班中不低于 学中抽取两人有(175,176); ; (175,176); (175,179); (175,181); (176,176); 学中抽取两人有 ; ; ; ; (176,179);(176,181);(176,179);(176,181);(179,181),共 10 种, ; ; ; ; , 7 其中事件 A 含有 7 个基本事件,则 P(A)=10. 个基本事件, =

7.如图所示,AB为圆 的直径, .如图所示, 为圆 的直径, 为圆O的直径 在圆O上 点E、F在圆 上,AB∥EF, 、 在圆 ∥ , 矩形ABCD所在的平面和圆 所在的平面和圆 矩形 O所在的平面互相垂直,且AB=2,AD=EF=1. 所在的平面互相垂直, 所在的平面互相垂直 = , = = (1)求证:AF⊥平面 求证: ⊥平面CBF; 求证 ; (2)设FC的中点为 ,求证:OM∥平面 设 的中点为 的中点为M,求证: ∥平面DAF.

证明: ∵平面ABCD⊥平面 证明:(1)∵平面 ⊥平面ABEF,CB⊥AB, , ⊥ , 平面ABCD∩平面 平面ABEF=AB, 平面 平面 = , ∴CB⊥平面 ⊥平面ABEF. ?平面ABEF,∴AF⊥CB. , ⊥ ∵AF?平面 又∵AB为圆 的直径,∴AF⊥BF. 为圆O的直径 为圆 的直径, ⊥ ∴AF⊥平面 ⊥平面CBF.

(2)设 DF 的中点为 N,连接 MN、AN, 设 , 、 , 1 1 则 MN 綊2CD.又 AO 綊2CD,则 MN 綊 AO. 又 , 为平行四边形. ∴四边形 MNAO 为平行四边形. OM∥AN.又 AN? DAF,OM? DAF, ∴OM∥AN.又∵AN?平面 DAF,OM?平面 DAF, ∴OM∥平面 DAF. ∥

8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, .如图,在直三棱柱 - AA1=AB=BC=3,AC=2,D是 = = , = , 是 AC的中点. 的中点. 的中点 (1)求证:B1C∥平面 1BD; 求证: 求证 ∥平面A ; (2)求证:平面A1BD⊥平面 求证:平面 求证 ⊥平面ACC1A1;

证明: 相交于点E,连接DE, 解:(1)证明:设AB1与A1B相交于点 ,连接 ,则E 证明 相交于点 的中点. 为AB1的中点. 在△AB1C中,D为AC的中点,E为AB1的中点, 中 为 的中点, 为 的中点, 的中点 ∴DE∥B1C. ∥ 又∵DE?平面 1BD,B1C?平面 1BD, ?平面A , ?平面A , ∴B1C∥平面 1BD. ∥平面A

(2)证明:在△ABC中,AB=BC,AD=DC, 证明: 证明 中 = , = , ∴BD⊥AC. ⊥ ∵AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥BD, 平面 , , 又∵AA1∩AC=A,∴BD⊥平面 = , ⊥平面ACC1A1, 又BD?平面 1BD,∴平面 1BD⊥平面 ?平面A , 平面A ⊥平面ACC1A1.

9.已知函数f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中 .已知函数 = +- , ∈ , t∈R. ∈ (1)当t=1时,求曲线 =f(x)在点 ,f(0))处的切线方程; 当 = 时 求曲线y= 在点(0, 处的切线方程; 在点 处的切线方程 (2)当t≠0时,求f(x)的单调区间. 当 时 的单调区间. 的单调区间

解:(1)当t=1时,f(x)=4x3+3x2-6x,f(0)=0, 当= 时 = , = , f′(x)=12x2+6x-6,f′(0)=- = =-6. - , =- 所以曲线y=f(x)在点 ,f(0))处的切线方程为 =- 在点(0, 处的切线方程为y=- 所以曲线 = 在点 处的切线方程为 =-6x.

t (2)f′(x)=12x2+6tx-6t2.令 f′(x)=0,解得 x=- 或 x=2.因为 ′ = =-t - 令 ′ = , =- = 因为 t≠0,以下分两种情况讨论: ≠ ,以下分两种情况讨论: t (1)若 t<0,则2<- 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 若 < , <-t.当 变化时, ′ , 的变化情况如下表: 的变化情况如下表 x f′(x) ′ f(x) t t t (-∞,2) - ( ,- -t ,-t) 2 2 + 0 -
?

(-t,+∞) - ,+ ,+∞ +
?

0

t 所以, 的单调递增区间是(- ,+∞ 所以,f(x)的单调递增区间是 -∞,2),(-t,+∞);f(x)的单调递减 的单调递增区间是 , - ,+ ; 的单调递减 t 区间是( ,-t). 区间是 2,- .

t (2)若 t>0,则-t<2.当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 若 > , 的变化情况如下表: < 当 变化时, ′ , 的变化情况如下表 x f′(x) ′ f(x) (-∞,-t) - ,- +
?

-t 0

t (-t,2) -, -
?

t 2 0

t (2,+∞) ,+∞ +
?

t 所以, 的单调递增区间是 的单调递增区间是(- ,-t), ,+∞ ; 的单调递减 所以,f(x)的单调递增区间是 -∞,- ,(2,+∞);f(x)的单调递减 t 区间是(- , . 区间是 -t,2).

10.已知函数 f(x)=ax2-3x+4+2lnx(a>0). . = + + . 1 1 上的最大值; (1)当 a=2时,求函数 f(x)在[2,3]上的最大值; 当 = 在 上的最大值 (2)若 f(x)在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围. 若 在定义域上是增函数, 的取值范围. 在定义域上是增函数

1 1 解:(1)当 a=2时,f(x)=2x2-3x+4+2lnx, 当 = = + + , )(x- ) (x-1)( -2) - )( f′(x)= ′ = , x 1 在区间[ 上单调递增, 上单调递减, 即 f(x)在区间 2,1)和(2,3]上单调递增,在区间 在区间 和 上单调递增 在区间[1,2]上单调递减, 上单调递减 3 1 1 比较 f(1)=2,f(3)=2ln3-2,得函数 f(x)在[2,3]上的最大值为 = = - 在 上的最大值为 1 f(3)=2ln3-2. = -

2 + 2 2ax -3x+2 (2)f′(x)=2ax-3+x= ′ = - + , x

在其定义域上是单调递增函数, 因为 f(x)在其定义域上是单调递增函数, 在其定义域上是单调递增函数 ,+∞ 所以当 x∈(0,+∞)时,f′(x)≥0 恒成立, ∈ ,+ 时 ′ ≥ 恒成立, 得 2ax2-3x+2≥0 恒成立, + ≥ 恒成立, 3 因为 a>0,x=4a>0,所以 ?=9-16a≤0, , = , = - ≤ , 9 所以, 的取值范围为[ ,+∞ . 所以,实数 a 的取值范围为 16,+∞).

x2 y2 2 11.已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,其中左焦点 . : 的离心率为 F(-2,0). - . (1)求椭圆 C 的方程; 求椭圆 的方程; (2)若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于不同的两点 A, , 若直线 = + B, , 且线段 AB 的值. 的中点 M 在圆 x2+y2=1 上,求 m 的值.

?c ? = 2, ?a 2 由题意, 解:(1)由题意,得?c=2, 由题意 ? = , ?a2=b2+c2. ?
?a=2 ? = 解得? ?b=2. ? =

2, ,

x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 8 + 4 =1.

(2)设点 A、B 的坐标分别为 1,y1),(x2,y2),线段 AB 的中点为 设点 、 的坐标分别为(x , , M(x0,y0), , ?x y ? + =1, , 8 4 由? 消去 y 得,3x2+4mx+2m2-8=0, + = , ?y=x+m. ? = + ∴?=96-8m2>0,∴-2 3<m<2 3. = - , x1+x2 2m m ∴x0= 2 =- 3 ,y0=x0+m= 3 . = 2m 2 m 2 3 5 在圆 - ∴ = ∵点 M(x0,y0)在圆 x +y =1 上.∴(- 3 ) +( 3 ) =1.∴m=± 5 .
2 2 2 2

12.已知定点 F(0,1)和直线 l1:y=- ,过定点 F 与直线 l1 相切的 . =-1,过定点 和直线 =- 动圆圆心为点 C. (1)求动点 C 的轨迹方程; 求动点 的轨迹方程; (2)过点 F 的直线 l2 交轨迹 C 于两点 P、Q,交直线 l1 于点 R, 过点 、 , , uuu uuu r r 的最小值. 求 RP · RQ 的最小值.

由题设, 到点F的距离等于它到直线 解:(1)由题设,知点 到点 的距离等于它到直线 1的距离, 由题设 知点C到点 的距离等于它到直线l 的距离, 的轨迹是以F为焦点 ∴点C的轨迹是以 为焦点,l1为准线的抛物线. 的轨迹是以 为焦点, 为准线的抛物线. 的轨迹方程为x ∴动点C的轨迹方程为 2=4y. 动点 的轨迹方程为 (2)由题意,设直线l2的方程为 =kx+1, 由题意,设直线 的方程为y= + , 由题意 与抛物线方程联立,消去 得 与抛物线方程联立,消去y得x2-4kx-4=0. - = =-4. 记P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=- , , ,

2 的坐标为 标为(- ,-1), ∵直线 PQ 的斜率 k≠0,易得点 R 的坐标为 -k,- , ≠ ,
r r uuu uuu 2 2 RP · RQ =(x1+ ,y1+1)·(x2+ ,y2+1) k k

2 2 =(x1+k)(x2+k)+(kx1+2)(kx2+2) + 2 4 =(1+k )x1x2+(k+2k)(x1+x2)+k2+4 + +
2

2 4 =-4(1+ + =- +k2)+4k(k+2k)+k2+4 +

1 =4(k2+k2)+8. + 1 时取到等号, ∵k2+k2≥2,当且仅当 k2=1 时取到等号, ,

r r uuu uuu ∴ RP · RQ ≥4×2+8=16, × + = , uuu uuu r r 即 RP · RQ 的最小值为 16.



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