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Vykgtb数学精英解“集合题”与“函数题”



生命是永恒不断的创造,因为在它内部蕴含着过剩的精力,它不断流溢,越出时 间和空间的界限,它不停地追求,以形形色色的自我表现的形式表现出来。 --泰戈尔
考场精彩

函数题” (1) 数学精英解“集合题”与“函数题” ) 数学精英解“集合题”
1. (07 安徽理 5)若 A = {x ∈ Z 2 ≤ 2 素个数为( A.0 ) B.1

/>2? x

< 8},B = {x ∈ R log 2 x > 1} ,则 A∩( RB)的元
D.3

C.2

【解答 解答】:C 由 A = {x ∈ Z 2 ≤ 22 ? x < 23 } ,故 A = {x ∈ Z ?1 < x ≤ 1} , 解答 解 B = {x ∈ R log 2 x > 1} 得 B = {x ∈ R log 2 x > 1或 log 2 x < ?1} 得

1 B = {x ∈ R x > 2 或0 < x < } , 2
所以 RB= ? x ∈ R |

? ?

1 ? ≤ x ≤ 2或x ≤ 0? ,则 A∩( RB)={0,1},故有两个元素. 2 ?

【说明 说明】 对于指数的考查利用单调性来脱去 “底” 从而比较“幂”的大小是常考的知识点, 说明 在第二题中也要注意对数的定义域,不少的同学因忽视定义域而选择 B. 2.(07 山东理 6)给出下列三个等式: f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) , f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) ,

f ( x + y) =

f ( x) + f ( y ) ,下列函数中不满足其中任何一个等式的是( . 1 ? f ( x) f ( y )
B. f ( x) = sin x C. f ( x) = log 2 x



A. f ( x) = 3x

D. f ( x) = tan x

【分析 分析】 解决本题的关键是正确熟练的记住这些运算性质,把选项中函数代入验证即可. 分析 【解析 解析】 解析 B

f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) 是对数模型, f ( x + y ) = f ( x) f ( y ) 是指数模型,

f ( x + y) =

f ( x) + f ( y ) 是正切的两角和公式的模型.故选 B 1 ? f ( x) f ( y )

3. (07 天津文 4)设 a = log 1 3 , b = ? ? , c = 2 3 ,则(
2

?1? ?3?

0.2

1

) D. b < a < c

A. a < b < c B. c < b < a C. c < a < b 【解答 解决的关键是选好关键值,如 0,1 等. 解答】 解答

A 由 a = log 1 3 < ?1 , 0 < b = ? ?
2

?1? ?3?

0.2

< 1 , c = 2 3 > 1 可得 a < b < c .

1

4.(07 湖北理 15)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过 程中,室内每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时间 t (小时)成正比;药物释放完毕后,

?1? y 与 t 的函数关系式为 y = ? ? ? 16 ?

t ?a

y (毫克)
( a 为常数),如图所示.据

1

图中提供的信息,回答下列问题: (I)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时 间 t (小时)之间的函数关系式为 ; (II)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下 时,学生方可进教室,那么药物释放开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室. 分析】 【分析】 本题以应用题的形式考查学生的阅读能力,识图能力,

O 0.1

t (小时)

本题的关键是 (0.1,1) 这点,通过此点求两个函数关系式,即可迎刃而解. 【解答】:通过读题可以发现这是一个分段函数前段是正比例函数,后段是指数函数,所以 解

? 1? ? ? ?10t,0 ≤ t ≤ 10 ?, ? ? ? 把 (0.1,1) 分别代入两个解析式可得: y = ? ;第二问通过 y = 0.25 代 1 t? 10 ? 1? ?? 1 ? ? ?? 16 ? ,t > 10 ? ? ? ?? ?
入指数函数解析式可得求得 0.6 【说明 说明】:本题的题目简单但是要求审题细致,否则第二问很容易错填 说明

23 . 40

5.(07 江苏 6)设函数 f ( x ) 定义在实数集上,它的图像关于直线 x = 1 对称,且当 x ≥ 1 时,

f ( x) = 3x ? 1 ,则有(
A. f ? ? < f ?



?1? ? 3?

?3? ?2? ?< f ? ? ?2? ?3?

B. f ?

?2? ?3? ?1? ?< f ? ?< f ? ? ?3? ?2? ? 3? ?3? ?2? ?1? ?< f ? ?< f ? ? ?2? ?3? ? 3?

C. f ?

?2? ?1? ?3? ?< f ? ?< f ? ? ?3? ?3? ?2?

D. f ?

【解答 B 由题当 x ≥ 1 时 f ( x ) = 3x ? 1 是单调递增函数又它的图像关于直线 x = 1 对称, 解答】 解答 所以当 x < 1 时,函数 f ( x ) 是单调递减函数,且 f ( ) = f (1 + ) = f (1 ? ) = f ( ) ,因为

3 2

1 2

1 2

1 2

1 1 2 1 1 2 2 3 1 < < < 1 ,所以 f ( ) > f ( ) > f ( ) 即 f ( ) < f ( ) < f ( ) 3 2 3 3 2 3 3 2 3

【说明 说明】 解决的关键是放到一个单调区间上比较.比较大小是考查指数函数的性质灵活运 说明 用的常见题型,利用单调性比较或是选择关键值进行比较是常用的方法.
? 2 ax ? a

6. (07 重庆理 13) 若函数 f ( x ) =

2x

2

? 1 的定义域为 R ,则 α 的取值范围为______.

【分析 解题关键是正确转化题干的含义. 分析】 分析 【 解 答 】 f ( x) =

2x

2

? 2 ax ? a

?1 的 定 义 域 为 R , 可 知 x ∈ R , 2x

2

? 2 ax ? a

≥1 恒成立,即

x 2 ? 2ax ? a ≥ 0 恒成立,即 ? = 4a 2 + 4a ≥ 0 得 a ∈ [ ?1,] . 0
7.(07 上海理 4)方程 9 x ? 6 ? 3x ? 7 = 0 的解是 【解答 解答】 解答
x 2



令 t = 3 , t > 0 ,则方程变为 t ? 6t ? 7 = 0 ,解得 t = ?1(舍去) = 7 ,故 ,t

3x = 7, x = log 3 7
【说明 说明】 指数方程不等式在利用换元法解决问题时应特别注意换元后的新元的取值范围. 说明 指数与对数的相互转化是高考命题的一大热点.
8.(07 天津理 5) 函数 y = log 2 ( x + 4 + 2)( x > 0) 的反函数是(



A. y = 4 x ? 2 x +1 ( x > 2) C. y = 4 x ? 2 x + 2 ( x > 2) 【 解 答 】
C

B. y = 4 x ? 2 x +1 ( x > 1) D. y = 4 x ? 2 x + 2 ( x > 1)

由 y = log 2 ( x + 4 + 2)( x > 0) , 解 得 x = 4 y ? 2 y + 2 ( x > 0) 得

y = 4 x ? 2 x + 2 ( x > 2) .

9. (07 全国卷 1 理 14) 函数 y = f ( x) 的图像与函数 y = log 3 x( x > 0) 的图像关于直线 y = x

对称,则 f ( x ) = 【解答】

. 函 数 y = log 3 x ( x > 0) 关 于 直 线 y = x 对 称 的 函 数 就 是

3x ( x ∈ R )

y = log 3 x( x > 0) 的反函数,故应填 3x ( x ∈ R ) ,请注意定义域.
10.(07 四川理 2)函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2-x+1 在同一直角坐标系下的图象大致是

【解答 解答】C 通过特殊点来判断图像 f ( x ) 过点 (1,1) , g ( x ) 过点 (0, 2) 可得选 C. 解答



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