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16-17版:4.2.1 直线与圆的位置关系(步步高)



第四章

§ 4.2 直线、圆的位置关系

4.2.1 直线与圆的位置关系

学习目标

1.掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离; 2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系; 3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.

问题导学

题型

探究

达标检测

问题导学
知识点

新知探究 点点落实

直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断

位置关系
公共点个数

相交 相切 相离
2个 1个 0个

|Aa+Bb+C| 判 几何法:设圆心到直线的距离d= A2+B2 定 代数法: ? ?Ax+By+C=0, 方 由 ? 2 2 2 ? ? x - a ? + ? y - b ? = r ? 法 消元得到一元二次方程的判别式Δ

d>r d=r ____ d<r ____ ____

Δ>0 Δ =0 Δ<0 ____ ____ ____

答案

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题型探究
类型一 直线与圆的位置关系的判定

重点难点 个个击破

例1 已知圆C:x2+y2=1与直线y=kx-3k,当k为何值时,直线与圆 (1)相交; (2)相切; (3)相离.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练1

(1)直线x-ky+1=0与圆x2+y2=1的位置关系是( C )

A.相交
C.相交或相切 解析

B.相离
D.相切

由直线x-ky+1=0恒过定点(-1,0),

而(-1,0)恰在圆x2+y2=1上, 故直线与圆至少有一个公共点, 故选C.

解析答案

(2)过点P(- 3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角 0°≤α≤60° α的取值范围是________________.

解析 当直线l斜率不存在时,直线l与圆x2+y2=1没有公共点,
故可设直线 y+1=k(x+ 3), 即 kx-y+ 3k-1=0, | 3k-1| 圆心到直线的距离 2 ≤1, k +1

解得 0≤k≤ 3, 即 0≤tan α≤ 3

∴0°≤α≤60°.

解析答案

类型二

切线问题

例2 过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求:
(1)此切线的方程;

解析答案

(2)其切线长. 解 因为圆心C的坐标为(3,1), 设切点为B, 则△ABC为直角三角形,
|AC|= ?3-4? +?1+3? = 17,又|BC|=r=1,
2 2

则|AB|= |AC|2-|BC|2= ? 17?2-12=4,

∴切线长为4.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练2 是( D ) A.-2或12 解析

(1)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值 B.2或-12 C.-2或-12 D.2或12

圆方程x2+y2-2x-2y+1=0,

可化为(x-1)2+(y-1)2=1,

|7-b| 圆心(1,1)到直线 3x+4y-b=0 的距离为 5 =1,
得b=2或12,故选D.

解析答案

(2)求由下列条件确定的圆x2+y2=4的切线方程:

①经过点 P( - 2, 2) ;
解 ∵(- 2)2+( 2)2=4, ∴点P在圆x2+y2=4上,
∴切线方程为- 2x+ 2y=4,

即 x-y+2 2=0.
②切线斜率为2. 设圆的切线方程为y=2x+b,即2x-y+b=0, 由圆心到切线的距离为半径,可得: 2 |b| 2=2 2 +?-1? 故所求切线方程为 2x-y± 2 5=0. 解

得 b=± 2 5.

解析答案

类型三 弦长问题 例3 (1)过圆x2+y2=8内的点P(-1,2)作直线l交圆于A,B两点.若直线l

的倾斜角为135°,则弦AB的长为________.

解析答案

(2) 圆心为 C(2 ,- 1) ,截直线 y = x - 1 的弦长为 2 2 的圆的方程为 2+(y+1)2=4 ( x - 2) ________________________. 解析 设圆的半径为r,由条件,得 |2+1-1| 圆心到直线 y=x-1 的距离为 d= = 2. 2

又直线 y=x-1 被圆截得的弦长为 2 2, 即半弦长为 2,
所以r2=2+2=4,r=2,

所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.

解析答案

(3)直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25相交于A、B两点,截得的

弦长为4 5 ,求l的方程.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练3
证明

已知直线l:kx-y+k+2=0与圆C:x2+y2=8.

(1)证明直线l与圆相交; ∵l:kx-y+k+2=0,

直线l可化为y-2=k(x+1),
∴直线l经过定点(-1,2),

∵(-1)2+22<8,
∴(-1,2)在圆C内,

∴直线l与圆相交.

解析答案

(2)当直线l被圆截得的弦长最短时,求直线l的方程,并求出弦长. 解 由(1)知,直线l过定点P(-1,2),
又x2+y2=8的圆心为原点O,则与OP垂直的直线截得的弦长最短, 1 ∵kOP=-2, ∴kl= , 2 1 ∴直线 l:y-2=2(x+1), 即x-2y+5=0. 设直线l与圆交于A、B两点,

|AB|=2 r2-|OP|2=2 8-5=2 3.
∴直线 l 的方程为 x-2y+5=0,弦长为 2 3.
解析答案
返回

达标检测
1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是( B ) A.相切 C.直线过圆心 B.相交但直线不过圆心 D.相离

1

2

3

4

解析

1 2 圆心到直线的距离 d= = 2 <1, 1+1

又∵直线y=x+1不过圆心(0,0),∴选B.

解析答案

1

2

3

4

2.已知P={(x,y)|x+y=2},Q={(x,y)|x2+y2=2},那么P∩Q为( C ) A.? C.{(1,1)} B.(1,1) D.{(-1,-1)}

解析

2 2 ? x + y =2, ? 解方程组? ? ?x+y=2.

? ?x=1, 得? ? ?y=1.

解析答案

1

2

3

4

3.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值为( C ) A.0或2 B.0或4 C.2 D.4
解析 圆心到直线的距离等于半径 m, |m| 即 = m, 2

解得m=2或m=0(应舍去).

解析答案

1

2

3

4

4. 直 线 y = kx + 3 与 圆 (x - 1)2 + (y - 2)2 = 4 相 交 于 M , N 两 点 , 且

(-∞,0] |MN|≥2 3 ,则k的取值范围是__________.
解析 因为|MN|≥2 3,

所以圆心(1,2)到直线 y=kx+3 的距离不大于 22-? 3?2=1,



|k+1|
2

≤1, k +1

解得k≤0.

解析答案

规律与方法
1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较
(1) 若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法

较为简单.
(2) 若直线或圆的方程中含有参数,且圆心到直线的距离较复杂,则

用代数法较简单.
2.过一点的圆的切线方程的求法

(1) 当点在圆上时,圆心与该点的连线与切线垂直,从而求得切线的
斜率,用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.

(2)若点在圆外时,过这点的切线将有两条,但在用设斜率来解题时可

能求出的切线只有一条,这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在.
3.与圆相关的弦长问题的两种解决方法

(1)由于半径长r,弦心距d,弦长l的一半构成直角三角形,利用勾股定
理可求出弦长,这是常用解法.

(2) 联立直线与圆的方程,消元得到关于 x( 或 y) 的一元二次方程,利用
根与系数的关系得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系,代入两点

间的距离公式求解,此法是通法.

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