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2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第2章 第3节 函数的单调性与最值



第二章 函数、导数及其应用

第三节

函数的单调性与最值

第二章 函数、导数及其应用

[主干知识梳理]

一、函数的单调性
1.单调函数的定义 增函数 减函数

定义

设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区

间D上的任意两个自变量的值x1,x2

第二章 函数、导数及其应用

当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2) , 当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2), 定义 那么就说函数f(x)在区间D上 那么就说函数f(x)在区间D上

是增函数

是减函数

图象
描述

自左向右看图象 逐渐上升

自左向右看图象 逐渐下降

第二章 函数、导数及其应用

2.单调区间的定义 若函数y=f(x)在区间D上是 增函数 或 减函数 ,则称函数y=

f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性, 区间D 叫做y=f(x)
的单调区间.

第二章 函数、导数及其应用

二、函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足

①对于任意x∈I,都有
f(x)≤M f(x0)=M 结论 M为最大值 ; 条件 ①②存在x ∈I,使得 0 ①对于任意x∈I,都 有 f(x)≥M ;

②存在x0∈I,使得 f(x0)=M
M为最小值

第二章 函数、导数及其应用

[基础自测自评] 1.(2013· 北京高考)下列函数中,既是偶函数又在区间 (0,+∞) 上单调递减的是 1 A.y=x C.y=-x2+1 B.y=e
-x

(

)

D.y=lg |x|

C [A 选项为奇函数,B 选项为非奇非偶函数,D 选项虽为偶 函数但在(0,+∞)上是增函数,故选 C.]

第二章 函数、导数及其应用

2.函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则 1 A.k> 2 1 C.k>-2 1 B.k< 2 1 D.k<-2

(

)

D [函数 y=(2k+1)x+b 是减函数, 1 则 2k+1<0,即 k<-2.]

第二章 函数、导数及其应用

1 3.(教材习题改编)函数 f(x)= 的最大值是 1-x(1-x) 4 A. 5 3 C.4 5 B. 4 4 D.3

(

)

D [∵1-x(1-x)=x2-x+1
? 1?2 3 3 =?x-2? +4≥4, ? ?

1 4 ∴0< ≤ .] 1-x(1-x) 3

第二章 函数、导数及其应用

4.(教材习题改编)f(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调增区间为 ________;f(x)max=________.

解析

函数 f(x) 的对称轴 x = 1 ,单调增区间为 [1 , 4] ,

f(x)max=f(-2)=f(4)=8. 答案 [1,4] 8

第二章 函数、导数及其应用

5.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,若 m<n,则 f(m)______f(n); 若
??1?? f??x??<f(1),则实数 ?? ??

x 的取值范围是________.

解析

由题意知 f(m)>f(n); x≠0.

?1? ? ?>1,即|x|<1,且 ?x ?

故-1<x<1 且 x≠0. 答案 > (-1,0)∪(0,1)

第二章 函数、导数及其应用

[关键要点点拨] 1.函数的单调性是局部性质

从定义上看,函数的单调性是指函数在定义域的某个子
区间上的性质,是局部的特征.在某个区间上单调,在 整个定义域上不一定单调.

第二章 函数、导数及其应用

2.函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数 的单调区间,必须先求出函数的定义域.对于基本初等

函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二次函
数、对数函数、指数函数等;如果是复合函数,应根据 复合函数的单调性的判断方法,首先判断两个简单函数 的单调性,再根据“同则增,异则减”的法则求解函数 的单调区间.

第二章 函数、导数及其应用

[注意]

单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表

示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联 结,也不能用“或”联结.

第二章 函数、导数及其应用

函数单调性的判断
[典题导入] a 判断函数 f(x)=x+x (a>0)在(0,+∞)上的单调性.

第二章 函数、导数及其应用

[听课记录] 则

设 x1>x2>0,

? a? ? a? f(x1)-f(x2)=?x1+x ?-?x2+x ? ? ? 1? 2?

?a a? ? =(x1-x2)+? x -x ? ? 2? ? 1

a(x2-x1) =(x1-x2)+ x1 x2
? a ? =(x1-x2)?1-x x ?. ? 1 2?

第二章 函数、导数及其应用

a 当 a≥x1>x2>0 时,x1-x2>0,1-x x <0, 1 2 有 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), a 此时,函数 f(x)=x+x (a>0)是减函数; a 当 x1>x2≥ a时,x1-x2>0,1-x x >0, 1 2

第二章 函数、导数及其应用

有 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), a 此时,函数 f(x)=x+x (a>0)是增函数. a 综上可知,函数 f(x)=x+x (a>0)在(0, a 在[ a,+∞)上为增函数. ]上为减函数;

第二章 函数、导数及其应用

[规律方法] 对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有

两种方法:
(1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证 明; (2)可导函数则可以利用导数证明.对于抽象函数单调性的证 明,一般采用定义法进行.

第二章 函数、导数及其应用

[跟踪训练] -2x 1.判断函数 g(x)= 在 (1,+∞)上的单调性. x-1 解析 任取 x1,x2∈(1,+∞),且 x1<x2, -2x1 -2x2 则 g(x1)-g(x2)= - x1-1 x2-1 2(x1-x2) = , (x1-1)(x2-1) 由于 1<x1<x2, 所以 x1-x2<0,(x1-1)(x2-1)>0, 因此 g(x1)-g(x2)<0,即 g(x1)<g(x2). 故 g(x)在(1,+∞)上是增函数.

第二章 函数、导数及其应用

求函数的单调区间
[典题导入] 设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数 k,定义函数
? ?f(x),f(x)≤k, fk(x)=? 取函数 ? ?k,f(x)>k,

f(x)=2

-|x|

1 .当 k=2 )

时,函数 fk(x)的单调递增区间为 A.(-∞,0) C.(-∞,-1) B.(0,+∞) D.(1,+∞)

(

第二章 函数、导数及其应用

[听课记录]

1 由 f(x)>2,得-1<x<1.

1 由 f(x)≤2,得 x≤-1 或 x≥1.
x 2 ? ? ,x≥1, ?1 1 所以 f (x)=?2,-1<x<1, ? 2 x ? ?2 ,x≤-1.


故 f1(x)的单调递增区间为(-∞,-1). 2 答案 C

第二章 函数、导数及其应用

[互动探究] 若本例中 f(x)=2
-|x|

变为 f(x)=log2|x|,其他条件不变,则 fk(x)的单

调增区间为________. 解析 函数 f(x)=log2|x|,

1 k=2时,函数 fk(x)的图象如图所示, 由图示可得函数 fk(x)的单调递增区间 为(0, 2 ]. 答案 (0, 2 ]

第二章 函数、导数及其应用

[规律方法]
求函数的单调区间的常用方法 (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复 合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义.

(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易
作出,可由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数的正负确定函数的单调区间.

第二章 函数、导数及其应用

[跟踪训练] ?1,x>0, ? 2.(2014· 广州模拟)设函数 f(x)=?0,x=0, g(x)=x2f(x-1),则 ?-1,x<0, ? 函数 g(x)的递减区间是 A.(-∞,0] C.[1,+∞) B.[0,1) D.[-1,0] ( )

第二章 函数、导数及其应用

?x2,x>1, ? B [g(x)=?0,x=1, ?-x2,x<1. ? 如图所示,其递减区间是[0,1).故选 B.]

第二章 函数、导数及其应用

单调性的应用
[典题导入]
x a ? ? ,(x>1), (1)f(x)=? 是 R 上的单调递增函 a (4-2)x+2,(x≤1) ? ?

数,则实数 a 的取值范围为 A.(1,+∞) C.(4,8) B.[4,8) D.(1,8)

(

)

第二章 函数、导数及其应用

[听课记录] 因为 f(x)是 R 上的单调递增函数, ?a>1, ? ?4-a>0, 2 由题意可得? 解得 4≤a<8. ? a ?a≥4- +2. 2 ? 答案 B

第二章 函数、导数及其应用

(2)(2014·北京模拟 ) 定义在 R上的偶函数 f(x) 在 (0 ,+∞ ) 上是

增函数,则
A.f(3)<f(4)<f(-π) B.f(-π)<f(-4)<f(3) C.f(3)<f(-π)<f(-4) D.f(-4)<f(-π)<f(3)

(

)

第二章 函数、导数及其应用

[听课记录] ∵f(x)是偶函数, ∴f(-π)=f(π),f(-4)=f(4).

又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(3)<f(π)<f(4),
∴f(3)<f(-π)<f(-4),故C正确. 答案 C

第二章 函数、导数及其应用

[互动探究] 在本例(2)条件不变的情况下,试比较 解析 ∴又 ∵a
2

? 3? f?-4?与 ? ?

f(a2-a+1)的大小.

? 1?2 3 3 -a+1=?a-2? +4≥4>0, ? ?

? 3? ?3? f(x)为偶函数,f?-4?=f?4?, ? ? ? ?

由条件知 f(x)在(0,+∞)为增函数,故 f(a
2

? 3? -a+1)≥f?-4?. ? ?

第二章 函数、导数及其应用

[规律方法] 单调性的应用主要涉及利用单调性求最值,进行大小比较,

解抽象函数不等式,解题时要注意:一是函数定义域的限制;
二是函数单调性的判定;三是等价转化思想与数形结合思想 的运用.

第二章 函数、导数及其应用

[跟踪训练] 1 3 . (1)(2014· 孝感调研 ) 函 数 f(x) = 在 [2 , 3] 上的最小值为 x-1 ________,最大值为________. 解析 1 ∵f′(x)=- <0,∴f(x)在[2,3]上为减函数, (x-1)2

1 1 1 ∴f(x)min=f(3)= = ,f(x)max= =1. 3-1 2 2-1 答案 1 2 1

第二章 函数、导数及其应用

?1 ? 1 1 (2) 已知函数 f(x) = a - x (a>0 , x>0) ,若 f(x) 在 ?2,2? 上的值域为 ? ? ?1 ? ? ,2?,则 a=__________. ?2 ?

第二章 函数、导数及其应用

解析

?1 ? 1 1 由反比例函数的性质知函数 f(x)=a-x(a>0,x>0)在?2,2? ? ?

上单调递增,
?1? 1 ? ?f? ?= , 所以? ?2? 2

1 ?1 ?a-2=2, 2 即? 解得 a=5. 1 1 ? ? f ( 2 )= 2. - =2, ? ?a 2 2 5

答案

第二章 函数、导数及其应用

【创新探究】 等价转化思想在利用单调性求解不
等式问题中的应用
(2014· 济宁模拟)定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)
?1? 上递增,f?3?=0,则满足 ? ?

f(log1x)>0 的 x 的取值范围是
8

(

)

A.(0,+∞)
? ? 1? ?1 C.?0,8?∪?2,2? ? ? ? ?

? 1? B.?0,2?∪(2,+∞) ? ? ? 1? D.?0,2? ? ?

【思路导析】 由于 log

x 的符号不确定,故可利用 f(-x)=f(x)
第二章 函数、导数及其应用

=f(|x|),将不等式进行等价转化后求解.

【思路导析】 由于 log x 的符号不确定,故可利用 f(-x)=f(x) ?1? 【解析】 由 f(log x)>0?f(|log x|)>f?3?, = f(|x|),将不等式进行等价转化后求解. ? ? 【思路导析】 由于 log x 的符号不确定,故可利用 f(-x)=f(x)
=f(|x|),将不等式进行等价转化后求解.
?1? x)>0?f(|log x|)>f?3?, ? ? ?1? 1 1 ?, x >0? f(|log x|)> f? x) <- , 0 < x < 或 x > 3 2 ?3? 2.

【解析】

由 f(log

1 f(log 【解析】 由 即 log x>3或 log 【答案】 B

1 即 log x>3或 log 1 即 log x>3 【答案】 B或 log
【答案】 B

1 1 x<-3,0<x<2或 x>2. 1 1 x<-3,0<x<2或 x>2.

第二章 函数、导数及其应用

【高手支招】 若已知f(x)为偶函数且在[0,+∞)上递增, 那么对于形如f(m)>f(n)的不等式中m,n符号不确定可转化为

f(m)>f(n)?f(|m|)>f(|n|)?|m|>|n|,可避免分类讨论.

第二章 函数、导数及其应用

[体验高考]
1.(2012·浙江高考)设a>0,b>0,e是自然对数的底数 ( A.若ea+2a=eb+3b,则a>b B.若ea+2a=eb+3b,则a<b C.若ea-2a=eb-3b,则a>b D.若ea-2a=eb-3b,则a<b A [考查函数y=ex+2x为单调增函数, )

若ea+2a=eb+2b,则a=b;
若ea+2a=eb+3b,∴a>b.故选A.]

第二章 函数、导数及其应用

2.(2012· 广东高考)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是 ( A.y=ln(x+2)
?1?x C.y=?2? ? ?

)

B.y=- x+1 1 D.y=x+x

第二章 函数、导数及其应用

A [∵函数 y=ln(x+2)的定义域为(-2,+∞), 1 y′= 在(-2, +∞)上大于 0 恒成立, (0, +∞)?(-2, +∞), x+2 ∴函数 y=ln(x+2)在区间(0,+∞)上为增函数.]

第二章 函数、导数及其应用

3.(2012· 安徽高考)若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是 [3,+∞),则 a=__________. 解析 利用函数图象确定单调区间.

a ? ?2x+a,x≥-2, f(x)=|2x+a|=? ?-2x-a,x<-a. 2 ?

第二章 函数、导数及其应用

作出函数图象,由图象知:
? a ? 函数的单调递增区间为?-2,+∞?, ? ?

a ∴-2=3,∴a=-6. 答案 -6

第二章 函数、导数及其应用

课时作业



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