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ch11-1多元函数新


第11章 多元函数微分学
? ? ? ? ?

§11.1 多元函数 多元函数的概念 点集的基本知识 二元函数的几何表示 多元函数的极限 多元函数的连续性

一、多元函数的概念
二元函数的定义

定义 设有三个变量 x , y 与 z ,如果对变量 x , y 在一定 范围 D 内所取的每一对值,变量 z 按照一定的规律总 有唯一确定的值与之对应,则称 z 是变量 x , y 的二元 函数,记作 z ? f ( x, y ) z ? z( x , y ) , 或 其中, x , y 称为自变量, z 称为函数(或因变量). 自变量 x , y 的取值范围 D 称为这个函数的定义域.

类似地可定义三元及三元以上函数,二元及二元 以上的函数统称为多元函数.

多元函数的定义域
与一元函数类似,一个多元函数如果是从实际问 题产生的,则这一函数的定义域应根据实际问题来 确定.我们约定,如果未说明自变量的变化范围,则它 的定义域就是使该数学式子有意义的那些自变量值 的全体.

y

o
y

arcsin( 3 ? x 2 ? y 2 ) 例1 求 f ( x , y ) ? 2 x? y 域.

2 2 ? ?3? x ? y ? 1 ? 2 ? x ? y ?0 ?

的定义

?2 ? x 2 ? y 2 ? 4 ?? 2 x ? y ?
所求定义域为 D ? {( x, y ) | 2 ? x 2 ? y 2 ? 4, x ? y 2 }.








二、平面点集的基本知识
(1)邻域
设 P0 ( x 0 , y0 )是 xoy平面上的一个点,? 是某 一正数,与点 P0 ( x 0 , y0 )距离小于? 的点 P ( x , y ) 的全体,称为点 P0 的? 邻域,记为 N ( P0 , ? ) ,

N ( P0 , ? )? ?P | PP0 |? ? ?
?? ( x, y) | ( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? ? .
2 2

?

?

P0

(2)去心 ? 邻域
? ( P ,? ) N 0 为点 P 的去心? 邻域,记为 ,用不等式表
0

在点 P0 的? 邻域中除去点 P0 后所得的点集称

示为

? ( P , ? ) ? ?P 0 ?| PP |? ? ? N 0 0

? ( x , y ) | 0 ? ( x ? x 0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? ? .

?

?

P0

(3)内点
设 E 是 平 面 上 的 一 个 点 集P ,是 平 面 上 的 一个点.如果存在点 P 的 某 一 邻 域N ( P ) ? E , 则称 P 为 E 的内点 . E 的内点属于 E .

?P

E

(4)外点
设平面上点P 及平面 点集E,若存在P的 某一邻域 N (P,? ) 使N (P,? ) ? E ? ?,则称 点P 为 点集E 的外点.
?P ?

(5)边界点
如果点 P ?的 任 一 邻 域 内 既 含 有 属于平面点集 E的 点 , 又 含 有 不 属 于E 的 点 , 则 称 点 P ?为 点 集 E的 边 界 点.点 集 E的 边 界 点 的 全 体 称 为 E的 边 界,记为 ?E .
E

P?

(6)连通集
如 果 对 点 集E 中 任 何 两 点 , 都 可 用 折 线 连 结 起 来 , 且 该线 折上 的 点 都 属 于 E, 则 称 点 集E 是 连 通 集 .
? ?

(7)区域(开区域)
如果点集E 为连通集,并且 E 中每一点都 是E的内点 , 则称点集E为一个区域 (或开区域 ). y

例如, {( x, y ) | 1 ? x 2 ? y 2 ? 4}.

o

x

(8)闭区域
开区域及其边界的并集称为闭区域.
y

例如, {( x, y ) | 1 ? x 2 ? y 2 ? 4}.

o

x

(9)有界集与有界区域
对 于 点 集E 如 果 存 在 正 数 K ,使一切点 P ? E 与某一定点 A 间 的 距 离 AP 不 超 过 K , 即 AP ? K对 一 切P ? E 成 立 , 则 称 E 为有界 点 集 , 否 则 称 为 无 界集 点.

对于区域 D,如果存在正数 M,使

D ? N (O, M )
则称 D 为有界区域; 否则称为无界区域.

{( x , y ) | 1 ? x ? y ? 4} 例如,
2 2

y

有界闭区域;

{( x , y ) | x ? y ? 0}
无界开区域.

o

x

(10)n维空间
设 n为取定的一个自然数,我们称 n 元数组 ( x1 , x2 ,?, xn ) 的全体为 n 维空间,而每个 n 元数组 ( x1 , x 2 ,?, x n ) 称为 n 维空间中的一个 点,数 x i 称为该点的第 i 个坐标.

说明: n维空间的记号为 R n ;

n维空间中两点间距离公式:
设两点为 P ( x1 , x2 ,?, xn ), Q( y1 , y2 ,?, yn ),
| PQ |? ( y1 ? x1 )2 ? ( y2 ? x2 )2 ? ? ? ( yn ? xn )2 .

特殊地当 n ? 1, 2, 3 空间两点间的距离.

时,便为数轴、平面、

n维空间中邻域、区域等概念
n | ? ? , P ? R 邻域: N ( P0 , ? ) ? P | PP 0

?

?

内点、边界点、区域等概念也可定义.

三、二元函数的几何表示
设函数 z ? f ( x , y ) 的定义域为 D ,对于任 意取定的 P ( x , y ) ? D ,对应的函数值为 z ? f ( x , y ) ,这样,以 x 为横坐标、 y 为纵坐 标、 z 为竖坐标在空间就确定一点 M ( x , y , z ) , 当 P ( x, y ) 取遍 D 上一切点时,得一个空间点 集{( x , y , z ) | z ? f ( x , y ), ( x , y ) ? D},这个点 集称为二元函数的图形.

(如下页图)

二元函数的图形通常是一张曲面.

例如, z ? sin xy

图形如右图.
例如, x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 右图球面.

D ? {( x , y ) x 2 ? y 2 ? a 2 }.
单值分支:

z ? a2 ? x2 ? y2 z ? ? a2 ? x2 ? y2 .

在几何上 z ? f ( x , y )

表示一个曲面

? z ? f ( x, y) 曲面被平面 z ? c 所截得 ? , ?z ? c 所得曲线在xoy面上投影如图

y f ( x, y) ? c2
P
f ( x, y) ? c1
f ( x, y ) ? c

等高线

o

x

等高线的画法

播放

例如, 函数 z ? sin xy 图形及其等高线图形.

四、多元函数的极限
定义 设函数 z ? f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某一 去心邻域内有定义, 如果对于任意给定的正数? , 总存在正数? ,使得对于适合不等式 0 ?| PP0 |? ( x ? x 0 ) 2 ? ( y ? y 0 ) 2 ? ? 的一切点 P ,都有| f ( x , y ) ? A |? ? 成立,则称 A 为函数 z ? f ( x , y ) 当 x ? x 0 , y ? y0 时的极限, lim f ( x , y ) ? A 记为 (或 f ( x , y ) ? A ( ? ? 0) 这里 ? ?| PP0 |).
x ? x0 y ? y0

说明:
(1)定义中 P ? P0 的方式是任意的;

(2)二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x , y );
x ? x0 y ? y0

1 例2 求证lim( x ? y ) sin 2 ?0 2 x ?0 x ?y y ?0
2 2

求 一 元 函 1 2 2 ?0 证 ( x ? y ) sin 2 数 2 x ?y 的 四 1 2 2 2 2 ? x ? y ? sin 2 则 2 ? x ? y x ?y 运 ? ? ? 0, ? ? ? ? , 算 法 2 2 当 0 ? ( x ? 0) ? ( y ? 0) ? ? 时, 则 、 1 2 2 夹 ( x ? y ) sin 2 ? 0 ? ? 原结论成立. 2 逼

定 理 等 法 则 可 以 推 广 到 多 元 函 数
.

x ?y

sin( x 2 y ) . 例3 求极限 lim 2 2 x ?0 x ? y y?0
sin( x 2 y ) 解 lim x ?0 x 2 ? y 2 y?0
x2 y ? lim 2 x?0 x ? y 2 y?0

x2 y 1 x ?0 ? ? ?? 0, ? x 2 2 x ?y 2
sin( x 2 y ) ? lim 2 ? 0. 2 x ?0 x ? y y ?0

例 5 设 f ( x, y ) ?

( y ? x) x x ?y
2 2

,求 lim f ( x , y ).
x ?0 y ?0

解 令 x ? r cos?, y ? r sin ? (r ? 0) , 则有

lim f ( x , y ) ? lim
x ?0 y ?0

( y ? x) x x ?y
2 2

x ?0 y ?0

? lim

r (sin ? ? cos? ) r cos? ( r cos? )2 ? ( r sin ? )2

r ?0

r 2 (sin ? ? cos? ) cos? ? lim ? lim r (sin ? ? cos? ) cos? ? 0 r ?0 r ?0 r
设 x ? r cos?, y ? r sin ?, (r ? 0)
则有 ( x , y ) ? (0 , 0) ? r ? 0.

xy 例4 证明 lim x?0 x 2 ? y 2 y?0

不存在.

证 取

y ? kx, x ? kx k lim 2 ? , 2 x?0 x ? k 2 x 2 1? k y ? kx

其值随k的不同而变化,故原极限不存在. 另证 取 x ? ? cos? , y ? ? sin? ? cos? ? ? sin? ? cos? ? sin? , lim 2 ? ?0 ? 其值随 ? 的不同而变化,故原极限不存 在.

确定极限不存在的方法: (1)令 P ( x , y ) 沿 y ? kx 趋向于P0 ( x 0 , y0 ) ,若 k 有关,则可断言极限不存在; 极限值与
(2) 找两种不同趋近方式,使 lim f ( x , y ) 存在,
x ? x0 y ? y0

但两者不相等,此时也可断言 f ( x , y ) 在点

P0 ( x 0 , y0 ) 处极限不存在.

x2 y 例 8 证明:函数 f ( x, y) ? 4 ( ( x, y) ? (0,0) )在原点(0 , 0) 2 x ?y 不存在极限.
证明 当 P( x, y) 沿 x 轴 ( y ? 0) 和 y 轴 ( x ? 0) 无限趋于(0 , 0) 时,
lim f ( x , 0) ? 0,
x ?0

lim f (0 , y ) ? 0,
y ?0

当 P ( x, y ) 沿抛物线 y ? x 2 无限趋于 (0 , 0) 时,

x ?0 y? x2

lim f ( x , x ) ? lim

2

x4
4

x ?0 x

?x

4

?

1 2

所以 f ( x, y) 在 (0,0) 不存在极限.

思考题
若点( x , y ) 沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 ) 时,函数 f ( x , y ) 都趋向于 A,能否 断定
( x , y )?( x0 , y0 )

lim

f ( x, y) ? A?

思考题解答
不能.
x y 例 f ( x , y ) ? 2 4 2 , ( x , y ) ? (0,0) (x ? y )
取 y ? kx ,
3 2

x3 ? k 2 x2 ?0 f ( x , kx) ? 2 4 4 2 ?x ? ?? 0 ( x ?k x )
f ( x, y)
2

但是

( x , y )?( 0 , 0 )

lim

不存在.
1 y y f ( y , y) ? 4 4 2 ? . 4 (y ?y )
2 6 2

原因为若取x ? y ,

五、多元函数的连续性
定义 设 二 元 函 数 z ? f ( x , y ) 在 点 P0 ? x0 , y0 ? 的

某邻域内有定义,如果
x ? x0 y ? y0

lim f ( x , y ) ? f ( x0 , y0 )

则 称 二 元 函 数 z ? f ( x , y ) 在 点 P0 ? x0 , y0 ? 处 连 续.

x ? x0 y ? y0

lim f ( x , y ) ? f ( x0 , y0 )

数 z ? f ( x , y ) 的不连续点或间断点.
例如 f ( x , y ) ?
1 x2 ? y2 ? 1

如果 z ? f ( x , y ) 在点 P0 处不连续,则称 P0 是函

在 x 2 ? y 2 ? 1 的点处无定义,

即单位圆周 x 2 ? y 2 ? 1 上任一点 都为此函数的间断点.

? x3 ? y3 , ( x , y ) ? (0,0) ? 2 2 例5 讨论函数 f ( x , y ) ? ? x ? y ?0, ( x , y ) ? (0,0) ?
在(0,0)处的连续性. 解 取 x ? ? cos? , y ? ? sin?

f ( x , y ) ? f (0,0) ? ? (sin ? ? cos ? ) ? 2 ?
3 3

? ? ? 0, ? ? ? , 当 0 ? x 2 ? y 2 ? ? 2 f ( x , y ) ? f ( 0 ,0 ) ? 2 ? ? ?
( x , y )?( 0 , 0 )

?



lim

f ( x, y ) ? f (0,0), 故函数在(0,0)处连续.

例6 讨论函数

? xy 2 2 ? x2 ? y2 , x ? y ? 0 f ( x, y) ? ? 2 2 ?0, x ? y ?0 ?
在(0,0)的连续性. 解 取 y ? kx kx 2 k lim 2 x ?0 x ? k 2 x 2 ? 1? k2 y ? kx 其值随k的不同而变化, 极限不存在.

故函数在(0,0)处不连续.

多元初等函数:由自变量 x , y 的基本初等函数及 常数经有限次的四则运算与复合而成的函数称为 二元初等函数.类似地可以定义多元初等函数.
一切多元初等函数在其定义区域(包含在定 义域内的区域)内是连续的.

一般地,求 lim f ( P ) 时,如果 f ( P ) 是初等函
P ? P0

数,且 P0 是 f ( P ) 的定义域的内点,则 f ( P ) 在 点 P0 处连续,于是 lim f ( P ) ? f ( P0 ).
P ? P0

例7 求极限 ?1? 解 (1) 原式 ? lim x ?0
y?0

x2 ? y2 ? 1 ? 1 1 ? cos x 2 ? y 2 lim ?2? lim 2 2 x ?0 x ? 0 ln x 2 ? y 2 ? 1 x ? y y ?0 y ?0

?

?

?x

x2 ? y2 ? 1 ? 1
2

? y 2 ( x 2 ? y 2 ? 1 ? 1)
1

?

? lim
x?0 y?0

1 ? . 2 2 x ? y ?1 ?1 2

1 2 x ? y2 ( 2) 原 式 ? lim 2 2 2 x ?0 x ? y y ?0

?

?

1 ? 2

例8

闭区域上连续函数的性质
定理1 (最值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数,在D 上一定可以取得最大值和最小值. 定理2 (介值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数,则 它在D上可取得介于最大值与最小值之间的任 何值.

六、小结
?多元函数的定义 ?多元函数极限的概念
(注意趋近方式的任意性)

?多元函数连续的概念 ?闭区域上连续函数的性质


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