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等差数列的概念


数 列

数列 数列
数列

5.2.1

等差数列的概念

复习回顾
数列的定义,通项公式,递推公式
按一定次序排成的一列数叫做数列。 一般写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an}。 如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以用一 个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推 公式。

问题

某工厂的仓库里堆放一批钢管,共堆放了 7 层, 试从上到下列出每层钢管的数量.

每层钢管数为 4,5,6,7,8,9,10.

(1)第23到第29届奥运会举行的年份依次为 1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008 (2)已知数列{an} ,其中 a1 =15, an = an-1 -2,n≥2, 写出这个数列的前六项。 15 13 11 9 7 5

(3)所有正偶数排成一列组成的数列 2, 4, 6, 8, 10…… (4)无穷个1排成一列组成的数列

1, 1, 1, 1, 1, ……

(1) (2) (3) (4)

1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008 15,13,11,9,7,5

从第二项起,后一项与前一项的差是4。 从第二项起,后一项与前一项的差是-2。

2, 4, 6, 从第二项起,后一项与前一项的差是 8, 10…… 2。 1, 1, 1, 1, 1, ……

从第二项起,后一项与前一项的差是0。

观察这些数列有什么共同特点?

从第二项起,每一项与前一项的差都是同一个常数.

想一想
(1)1984,1988,1992,1996,2000,2004

探究一中的4个等差数列的公差依次是多少?

(2) 15,13,11,9,7,5

(3) 2, 4, 6, 8, 10, …… (4) 1, 1, 1, 1, 1, ……

思考:在数列 (3),a6=? a8=? a100=?我 们该如何求解 d ?2 呢?
公差为0的数列叫 做常数列

d ?4
d ? ?2

d ?0

公差d是每一项(第2项起)与它的前一项的差, 防止把被减数与减数弄颠倒,而且公差可以是正数, 负数,也可以为0 .

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项
的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个 常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 表示.

递推公式:

an ? an?1 ? d , n ? 2, n ? N? (d是常数)

抢答:下列数列是否为等差数列? 1,2,4,6,8,10,12,… 0,1,2,3,4,5,6,… 3,3,3,3,3,3,3,… 2,4,7,11,16,… -8,-6,-4,-2 , 0,2,4,… 3,0,-3,-6,-9,… ① ② √

√ ③
④ ⑤ √ ⑥ √

已知一个等差数列{an}的首项是a1, 公差是d,如何求出它的任意项an呢?

根据等差数列的定义填空 a2 =a1+d, a3 = a2 +d =( a1 + d ) +d =a1 + 2 d, a4 = a3 +d =( a1 + 2 d ) +d =a1 + 3 d , …… an = a1 + ( n – 1 ) d. 等差数列的通项公式

-1 -7 填空(1)等差数列 8,5,2 ,( ),-4,( ),-10…
(2)等差数列-5,-9,(

-13 ),-17,(-21 ),…

例1

求等差数列 8,5,2 , … 的通项公式和第 20 项.



因为

a1=8,d =5-8=-3,

所以这个数列的通项公式是

an = 8+(n-1)×(-3) ,
即 所以

an =-3 n+11. a20=-3×20+11=-49.

例2 解

等差数列-5,-9,-13,… 的第多少项是-401? 因为

a1=-5,d=-9-(-5)=-4, an=-401,

所以 -401=-5+(n-1)×(-4). 解得

n=100.

即这个数列的第 100 项是-401.

-1 -7 (1)等差数列 8,5,2 ,( ),-4,( ),-10… ①求此等差数列的通项公式 解 因为 a1=8,d =5-8=-3,
所以这个数列的通项公式是 an = 8+(n-1)×(-3) , 即 an =-3 n+11.

在等差数列{an}中:

1 (1)d=- ,a7 =8,求 a1 ; 3
(2)a1 =12,a6 =27,求 d .

(1)求等差数列 3,7,11,… 的第 4,7,10 项;

(2)求等差数列 10,8,6,… 的第 20 项.

本节课主要学习: 一个定义:
an ? an?1 ? d , n ? 2, n ? N? (d是常数)

an 一个公式: ? a1 ? (n ?1)d
一种思想:方程思想.

(1)求等差数列 3,7,11,… 的第 4,7,10 项;

(2)求等差数列 10,8,6,… 的第 20 项.

在等差数列{an}中:

(1)d=- ,a7 =8,求 a1 ;
(2)a1 =12,a6 =27,求 d .

1 3

例3

在 3 与 7 之间插入一个数 A,使 3,A,7 成等差数列. 解 因为 3,A,7 成等差数列,

所以A-3 =7-A,
2 A =3 +7. 解得 A=5.

一般地,如果 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做

a与 b 的等差中项.

A=

a + b
2

求下列各组数的等差中项: (1)732与-136;

49 (2) 与42. 2

下节课再见

!

例4

已知一个等差数列的第 3 项是 5,第 8 项是 20, 求它的第 25 项. 解 因为a =5,a =20,

3

8

根据通项公式得

a1 +(3-1)d =5 a1 +(8-1)d =20

整理,得

a1 +2 d =5 a1 1 + 7 = 20 解此方程组,得 a1=- , dd = 3.
所以

a25 =-1+(25-1)×3=71.

(1)已知等差数列{an }中,a1 = 3,an = 21,d = 2, 求n. (2)已知等差数列{an }中,a4 = 10,a5 = 6, 求 a8 和 d .

例 5

梯子的最高一级是 33 cm,最低一级是 89 cm, 中间还有 7 级,各级的宽度成等差数列. 求中间各级的宽度.



用{an }表示题中的等差数列. 已知a1= 33,an = 89,n = 9, 则a9 = 33+(9-1)d ,即 89 = 33 + 8d, 解得 d = 7.

a2 = 33 + 7 = 40, a3 = 40 + 7 = 47,a4 = 47 + 7 = 54, a5 = 54 + 7 = 61, a6 = 61 + 7 = 68,a7 = 68 + 7 = 75,a8 = 75 + 7 = 82.
于是
即梯子中间各级的宽从上到下依次是

40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm.

例6

已知一个直角三角形的三条边的长度成等差数列.

求证:它们的比是 3∶4∶5.

证明

设这个直角三角形的三边长分别为

a-d,a,a+d.
根据勾股定理,得 (a-d)2 +a2 =(a+d)2. 解得

a = 4 d .

于是这个直角三角形的三边长是 3 d,4 d,5 d, 即这个直角三角形的三边长的比是 3∶4∶5.

1.等差数列的定义及通项公式. 2. 等差中项的定义及公式. 3.等差数列定义、通项公式和中项公式的应用.

教材 P 17,习题第 1,2,6 题.


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