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3.4 函数的最值和导数在经济中的应用



3.4.1 函数的最值 (1) 定义
最值的定义

如果函数f(x)在其定义域[a,b]上的函数值满足 m ? f ( x) ? M
其中 f ( x1 ) ? m, f ( x2 ) ? M , x1 , x2 ? [a, b] 则称 f ( x1 ) ? m 为函数的最 小值, f ( x2 ) ? M为函数的最大值。

3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.1 函数的最值 (1) 定义
我们知道,连续函数 f ( x) 在闭区间[a, b] 上一定存在最大值 和最小值,且最大值和最小值只可能在区间( a, b) 内的极值点和

端点处得到.因此可直接求出一切可能的极值点(驻点及个别不
可导点)和端点处的函数值,比较这些数值的大小,即可得出函 数的最大值和最小值。

3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.1 函数的最值

(2) 引子

如果函数 f ( x) 在 [a, b]上单调增加,则函数f ( x) 的最大值

和最小值分别是什么?

?
3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.1 函数的最值 (2) 引子

如图1所示,如果 f ( x)在

y

[a, b]上单调增加,则函
数 f ( x)的最小值是 f (a), 最大值是 f (b)。

a

o

b

x

3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.1 函数的最值 (2) 引子

如果函数 f ( x) 在 [a, b]上单调减少,则函数f ( x) 的最大值
和最小值分别是什么?

?
3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.1 函数的最值 (2) 引子
如右图所示,如果 f ( x)在

y

[a, b]上单调减少,则函
数 f ( x)的最小值是 f (b),
最大值是 f (a)。

a

o

b

x

3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.1 函数的最值

(2) 引子

在什么情况下函数 f ( x) 的极大值一定是最大值,在什么情 况下函数 f ( x) 的极小值一定是最小值

?

3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.1 函数的最值

(2) 引子
y
如果连续函数 f ( x) 在

[a, b] 上仅有一个极大值而
没有极小值,则此极大值就 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值,

f ( x0 )

如右图所示。

a

o

x0

b

x

3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.1 函数的最值

(2) 引子
如果连续函数 f ( x) 在

y

[a, b] 上仅有一个极小值而
没有极大值,则此极小值就
是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值, 如右图所示。

f ( x0 ) a o x0 b

x

3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.1 函数的最值
(3) 举例
例1

求函数 f ( x) ? 2 x ? 18x ? 30x ? 4 在[0, 3] 上的最值。

3

2

解: 因为 f ?( x) ? 6 x ? 36x ? 30 ? 6( x ? 1)( x ? 5)
2

(不合题意舍去) 令 f ?( x ) ? 0, 得驻点 x1 ? 1, x 2 ? 5 由于 f (0) ? 4, f (1) ? 18, f (3) ? ?18,比较各值, 得函数的最大值为 f (1) ? 18, 最小值为 f (3) ? ?18

3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.1 函数的最值 (3) 举例
例2 求函数 f ( x) ?
3

2x ? x 2 在 [ ?1, 4]上的最大值和最小值。

解:

因为 f ?( x) ?

1 2x ? x 2 3

?

?

?

2 3

(2 ? 2 x) ?

2(1 ? x) 33 (2 x ? x 2 ) 2

显然 x ? 0与 x ? 2 是f ( x) 的不可导点,令 f ?( x) ? 0 ,
得驻点为 x ? 1, 比较各值,得函数最大值为 f (1) ? 1 ,最小值为 f (4) ? ?2 。 3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.1 函数的最值

(4) 训练题一
1 . 求函数 f ( x) ? x ? 3x ? 9 x ? 5 在 [?2, 4]上的最大值和最
小值。
3 2

答案:最大值f(-1)=10,最小值f(3)=-22

3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.2 最值在经济问题中的应用举例
(1) 举例
例3 设某产品的总成本函数为 C(q) ? 0.25q 2 ? 15q ? 1600(元) (q为产品的产量),求当产量为多少时,该产品的平均成本最 小,并求最小平均成本?

解:该产品的平均产品函数为

C (q) ?

? ? 令 C (q) ? 0 ,即 C (q) ? 0.25 ? 1600 ? 0 求得唯一驻点 q ? 80 , 2
q

C (q) 1600 ? 0.25q ? 15 ? q q

q ? (0,??)

又因为 C??(80) ? 0, 所以 C (q) 在 q ? 80处取得最小值,最小值为

C(80) ?? 0.25? 80 ? 15 ?

1600 ? 55 80

3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.2 最值在经济问题中的应用举例
(2) 训练题二
1. 设某产品的价格与需求的关系为 p ? 250 ? 0.3q ,总成本

函数 C (q) ? 100q ? 1800 (元),求当产量和价格分别是多少时,
该产品的利润最大,并求最大利润.

答案:当产品为250个单位,价格为175元/单位时,
利润最大,最大利润为16950元.

3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.3 导数在经济分析中的应用

1.边际与边际分析
(1) 定义
定义3.2
设函数 f ( x) 在点 x 处可导,则导函数 f ?( x) 称为函数 f ( x) 的边 际函数。 f ?( x0 )也称为函数 f ( x) 在 x0 处的边际函数值。 边际函数 f ?( x)反映了函数 f ( x) 在点

x 处的变化率。

3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.3 导数在经济分析中的应用 1.边际与边际分析 (1) 定义
因为 ?y ? dy ? f ?( x0 )?x ,当 x ? x0, ?x ? 1时有?y ? f ?( x0 ) 因此,函数 y ? f ( x) 在点 x ? x0处的边际函数值的具体意义是,
当 f ( x) 在点 个单位。

x0

处改变一个单位时,函数 f ( x) 近似地改变 f ?( x0 )

3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.3 导数在经济分析中的应用
1.边际与边际分析 (2) 举例
例4
解:

求函数 y ? x ? 2 x ? 1 在点
2

3

x ? 2 处的边际函数值。

因为y? ? 3x
它表示函数

? 2,

所以 y? x ?2 ? 14, 即边际函 数值为14。

y在 x ? 2处,当 x 改变一个单位时,函数 y 近

似地改变14个单位。

3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.3 导数在经济分析中的应用 2.边际函数在经济学中的应用
(1) 定义
边际需求的定义 设需求函数 Q ? f ( p) 在点 求。

p 处可导(其中 Q 为需求量,p 为

价格),则其边际函数Q? ? f ?( p) 称为边际需求函数。简称边际需

3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.3 导数在经济分析中的应用 2.边际函数在经济学中的应用

(1) 定义
边际供给的定义

若供给函数 Q ? g ( p) 在点

p 处可导(其中 Q

为供给量,p

Q ? ? g ?( p ) 称为边际供给函数。简称边际供 为价格),则其边际函数 给。

3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.3 导数在经济分析中的应用 2.边际函数在经济学中的应用 (1) 定义
边际成本的定义 设成本函数 C ? C (q) 可导(其中 C 表示总成本, q 表示产量),

C ?(q0 ) 则其边际函数C ? ? C ?(q ) 称为边际成本函数,简称边际成本。
称为当产量为 q0 时的边际成本。
其经济意义为:当产量达到 q0 时,如果增减一个单位产品, 则成本相应增减 C ?(q0 )个单位。 3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.3 导数在经济分析中的应用 2.边际函数在经济学中的应用 (1) 定义
边际收益的定义

设收益函数 R ? R(q) 可导(其中 R 表示收益,q 表示商品销售
量),则其边际函数 R ? ? R ?(q ) 称为边际收益函数,简称边际收益。

R ?(q0 )称为当商品销售量为 q0 时的边际收益。
经济意义:销售量达到

q0 时,如果销售量增减一个单位产品,则
3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

收益相应增减 R ?(q0 )个单位。

3.4.3 导数在经济分析中的应用 2.边际函数在经济学中的应用 (1) 定义
边际利润的定义
设利润函数 L ? L(q) 可导,则其边际函数 L? ? L?(q ) 称为边际 利润。L ?( q 0 ) 称为当产量为 q0 时的边际利润。 经济意义:当产量达到 q0 时,如果增减一个单位产品,则利 润相应增减 L ?( q 0 ) 个单位。 3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.3 导数在经济分析中的应用

2.边际函数在经济学中的应用
(2) 举例
例5 设总成本函数 C(q) ? 0.001q3 ? 0.3q 2 ? 40q ? 1000 (元), 求: ⑴ 边际成本函数;⑵ 生产50个单位时的平均单位成本,和边际 成本值,并解释后者的经济意义。

解: ⑴ 边际成本函数为C ?(q) ? 0.003 q 2 ? 0.6q ? 40

C(50) ⑵ q=50时的平均单位成本为 ? 47.5, q=50时的边际成本为 50 C ?(50) ? (0.003q 2 ? 0.6q ? 40) ? 17.5
q ?50

经济意义:当生产达到50个单位产品时,如果再多生产1个产品 所最加的成本为17.5元。 3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.3 导数在经济分析中的应用

2.边际函数在经济学中的应用
(3) 训练题三
某工厂日产能力最高为1000吨,每日产品的总成本C(元)是
日产量x(吨)的函数:

C(x) ? 1000 ? 7x ? 50 x

? x ? ?0, 1000

求当日产量为100吨时的边际成本,并解释经济意义。 答案:边际成本: C?(100) ? 9.5
经济意义是:当产量是100吨时,每增加1吨产量,成本增加9.5元。

3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.3 导数在经济分析中的应用 3.弹性函数
(1) 定义
定义3.3 设函数 f ( x) 在点

x

处可导,称极限 lim

?y y 为函数 f ( x) ?x ?0 ?x x

的弹性函数,记为 E ( x) ,即

E ( x) ? lim

?y x x ? ? f ?( x) ? ?x ? 0 ? x y f ( x)

3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.3 导数在经济分析中的应用
3.弹性函数 (1) 定义
x0 在点 x ? x0 处,弹性函数值 E ( x0 ) ? f ?( x0 ) ? 称为函数 f ( x0 ) f ( x) 在点 x 0处的弹性值,简称弹性。它表示在点 x ? x0 处,当

x 变动1%时,f ( x) 的值近似地变动

E(x 0 )% 。

3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.3 导数在经济分析中的应用
3.弹性函数

(2) 举例
例6 设函数 y ? x 2 e ? x ,求其弹性函数以及在 x ? 3 处 的弹性。

解:因为

y? ? 2 xe? x ? x 2e ? x ? xe? x (2 ? x)
x x 2 e ? x (2 ? x) E ( x) ? y ? ? ? ? 2? x 2 ?x f ( x) x e

所以弹性函数
于是,

E(3) ? (2 ? x) x?3 ? ?1
3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.3 导数在经济分析中的应用
4.需求弹性和供给弹性 (1) 定义
定义3.4 设需求函数 Q ? g ( p) 在 p ? p0 处可导,则

?Q Q0 p0 ? lim (? ) ? ?Q ( p 0 ) ? ?p ? 0 ?p p0 Q ( p0 )
称为该商品在 p ? p0 处的需求弹性,记作 ? p ? p

?(p 0 ) ? ?Q?(p 0 ) ?

p0 Q( p 0 )

0

或? ( p 0 ) ,即

3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.3 导数在经济分析中的应用

4.需求弹性和供给弹性
(1) 定义
定义3.5 设供给函数 S ? S(p) 在 p ? p0 处可导,则

?S S 0 p0 lim ( ) ? S ?( p0 ) ? ?p ? 0 ?p p 0 S ( p0 )
称为该商品在 p

? p0 处的供给弹性,记作 ε
p ? p0

ε

p0 ? S ?( p0 ) ? S ( p0 )

p ? p0

或 ε ( p0 ),即

3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.3 导数在经济分析中的应用
4.需求弹性和供给弹性 (2) 举例
例7 设某商品的需求函数为 Q( p) ? 75 ? p ,求
2

⑴ 需求弹性函数;
⑵ ⑶ p ? 4 时,价格上涨1%,其总收益增加还是减少?变化的幅度是

p ? 4 时的需求弹性,并说明其经济意义;

多少?
⑷当

p 取多少时,总收益最大?
3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.3 导数在经济分析中的应用
4.需求弹性和供给弹性 (2) 举例
2 2 解:因为需求函数为 Q( p) ? 75 ? p ,总收益函数为R( p) ? p(75 ? p )

p p 2 p2 ? 2p ? ⑴ 需求弹性函数:η( p) ? ?Q? 2 Q( p ) 75 ? p 75 ? p 2
⑵ 当p=4时的需求弹性

2 ? 42 32 η(4) ? ? ? 0.54 2 59 75 ? 4

这说明,在p=4时,价格每上涨1%,则需求减少0.54%;而价 格若下降1%,则需求增加0.54%。 3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.3 导数在经济分析中的应用

4.需求弹性和供给弹性
(2) 举例
解:⑶ 当p=4时的收益弹性:E ( p) ? 1 ? η ? 1 ? 0.54 ? 0.46 所以,当P=4时,价格上涨1%,总收益增加0.46% 。 ⑷ 要使总收益R(p)最大,应有需求弹性 η( p ) ? 1,即

2p 2 ?1 2 75 ? p
得p=5,p=-5(舍去),故当p=5时,总收益取得最大值。

3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用

3.4.3 导数在经济分析中的应用 4.需求弹性和供给弹性 (3) 训练题四
1. 设某商品的供给函数为s=2+3p,求供给弹性函数以及p=3 时的供给弹性.

1? p 2. 某产品的销售量x与价格p之间的关系式为 x ? ,求 p
3p 答案:1. 2 ? 3p , 0.8 1 , ?2 p ?1

需求弹性。如果价格为0.5,试确定此时需求弹性的值。

2.

3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用



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