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2.3《函数的单调性》教案



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函数的单调性教案
【教学目标】 1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图像和单调性定义 判断、证明函数单调性的方法. 2.通过对函数单调性定义的探究, 渗透数形结合数学思想方法, 培养学生观察、 归纳、 抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力. 3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让 学生经历从具体到抽象, 从特殊到一般,从感性到理性的认知过程. 【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明. 【教学难点】 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性. 【教学方法】 【教学手段】 【教学过程】 一、创设情境,引入课题 下图是兰州市今年 5 月 1 日一天 24 小时内气温随时间变化的曲线图. 教师启发讲授,学生探究学习. 讲授 w
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引导学生识图,捕捉信息,启发学生思考. 问题:观察图形,能得到什么信息?
[来源:学+科+网]

预案:(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到; (2)在某时刻的温度; (3)某些时段温度升高,某些时段温度降低. 在生活中,我们关心很多数据的变化 规律,了解这些数据的变化规律,对我们的生活 是很有帮助的. 问题:还能举出生活中其它的数据变化情况吗? 预案:水位高低、燃油价格、股票价格等.

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归纳:用函数观点看,其实就是随着自变量的变化,函数值是变大还是变小. 二、归纳探索,形成概念 对于自变量变化 时,函数值是变大还是变小,初中同学们就有了一定的认识,但是没 有严格的定义,今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.

1. 借助图像 ,直观感知 在初中学习过一次函数、二次函数、反比例函数,我们来看几个函数的图像。

问题 1:分别作出函数 变化时,函数值有什么变化规律?

的图像,并且观察自变量

看图跟学生一 起由图形看到了什么,提问并总结。 1.以上四个函数的定义域和值域分别是什么?
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2. 观察图像,分析在 x 变化时,y 是如何变化的? 预案: (1)对于函 大;对于函数 (2)对于函数 数 在整个定义域内,从左往右观察图形, y 随 x 的增大而增 在整个定义域内,从左往右观察图形, y 随 x 的增大而减小. , 从左往右观察图形, 在 上 y 随 x 的增大而减小, 在

上 y 随 x 的增大而增大。

(3)对于函数

, 从左往右观察图形, 在

上 y 随 x 的增大而减小, 在

上 y 随 x 的增大而减小. 强调:明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的 局部性质. 引导学生再次进行分类描述 (增函数、减函数). 问题 2:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

2

预案:再次分析上面四个图像得出:如果函数

在定义域内的某个区间上随自变量 在定义域

x 的增大,y 也越来越大,我们说函数

在该区间上为增函数;如果函数

内的某个区间上随自变量 x 的增大,y 越来越小,我们说函数

在该区间上为减函数.

教师指出:这种认识是从图像的角度得到的,是对函数单调性的直观,描述性的认识. 〖设计意图〗从图像直观感知函数单调性,完成对函数单调性的第一次认识. 2.探究规律,理性认识 问题:如何从解析式的角度说明 在 为增函数?
2 2

预案: (1) 在给定区间内取两个数, 例如 1 和 2, 因为 1 <2 ,所以 为增函数. (2) 仿(1),取很多组验证均满足,所以 (3) 任取 ,所以 在 ,因为 为增函数. 在 为增函数.



,即

对于学生错误的回答,引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问 题的根源在于自变量是一个集合,或是范围,有时不可能被穷举,从而引导学生在给定的区 间内任意取两个自变量 .

〖设计意图〗 把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认 识.事实上也给出了证明单调性的方法,为证明单调性做好铺垫. 3.抽象思维,形成概念 问题:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 师生共同探究,得出增函数严格的定义,然后学生模拟得出减函数的定义. (1)板书定义
[来源:Z*xx*k.Com]

一般的,设函数

的定义域为 I:

如果对于属于定义域 I 内某个区间的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(X)在这个区间上是增函数。 如果对于属于定义域 I 内某个区间的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1<x 2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(X)在这个区间上是减函数。 (2)巩固概念 判断题:
3

①. ②若函数 ③若函数 数.新 在区间 和(2,3)上均为增函数, 则函数

. . 在区间(1,3)上为增函

课 标 第 一 网

④因为函数

在区间 上是减函数.

上都是减函数,所以



通过判断题,强调三点: ①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. ②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内 某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数). ③函数在定义域内的两个区间 A,B 上都是增 (或减) 函数, 一般不能认为函数在 上是增(或减)函数. 思考:如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 〖设计意图〗让学生由特殊到一般,从具体到抽象归纳出单调性的定义,通过对判断 题的辨析,加深学生对定义的理解,完成对概念的第三次认识. 三、掌握证法,适当延展

例 证明函数



上是增函数.

w

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1.分析解决问题针对学生可能出现的问题,组织学生讨论、交流. 证明:任取 , 设元

求差

变形

4

, 断号 ∴ ∴ 即

∴函数 2.归纳解题步骤



上是增函数.

定论

引导学生归纳证明函数单调性的步骤:设元、作差、变形、断号、定论. 练习:证明函数 问题:要证明函数 在 在区间 上是增函数. 上是增函数,除了用定义来证,如果可以证得对

任意的

,且



可以吗? w

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引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数 在 上是增函数.

〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤.等价形式进一步发展 可 以得到导数法,为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔. 四、归纳小结,提高认识 学生交流在本节课学习中的体会、收获,交流学习过程中的体验和感受,师生合作共 同完成小结. 1.小结 (1) 概念探究过程:直观到抽象、特殊到一般 、感性到理性. (2) 证明方法和步骤:设元、作差、变形、断号、定论. (3) 数学思想方法和思维方法:数形结合,等价转化,模拟等. 2.作业 书面作业:课本第 6 0 页 习题 2. 3 第 4,5,6 题.

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课后探究: (1) 证明:函数 在区间 上是增函数的充要条件是对任意的

,且





(2) 研究函数

的单调性,并结合描点法画出函数的草图.

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