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2015-2016学年湖北省武汉市黄陂区部分学校八年级(下)期中数学试卷


2015-2016 学年湖北省武汉市黄陂区部分学校八年级(下)期中 数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1. (3 分)估计二次根式 在整数( )

A.0 与 1 之间 B.1 与 2 之间 C.2 与 3 之间 D.3 与 4 之间 2. (3 分)要使二次根式 A.a≥3 B.a≠3 有意义,则 a 的取值范围是( D.a≤3 ) C. =2 D. × = ) )

C.a>3

3. (3 分)下列计算正确的是( A. +2=2 B. = +

4. (3 分) 若平行四边形中两个内角的度数比为 1: 2, 则其中较大的内角是 ( A.45° B.60° C.90° D.120° 5. (3 分)如图,在?ABCD 中,BC=10,AC=8,BD=14,则△BOC 的周长是(



A.21 B.22 C.25 D.32 6. (3 分)下列二次根式中属于最简二次根式的是( A. B. C. D. )

7. (3 分)一根竹子高 1 丈,折断后竹子顶端落在高竹子底端 3 尺处,则折射处 高地面的高度为( ) (这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题,

其中的丈、尺是长度单位,1 丈=10 尺)

A.3 尺 B.4 尺 C.4.55 尺 D.5 尺
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8. (3 分)下列命题: ①两直线平行,内错角相等;②对角线互相平分的四边形是平行四边形;③全等 三角形对应角相等;④平行四边形的两组对边分别相等.其逆命题成立的个数有 ( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 9. (3 分)如图,数轴上 A 表示数﹣2,过数轴上表示 1 的点 B 作 BC⊥x 轴,若 BC=2,以 A 为圆心,AC 为半径作圆弧交数轴于点 P,那么数轴上点 P 所表示的 数是( )

A.

B.

﹣2 C.

﹣3 D.4﹣

10. (3 分)如图是一个长为 4,宽为 3,高为 12 矩形牛奶盒,从上底一角的小 圆孔插入一根到达底部的直吸管,吸管在盒内部分 a 的长度范围是(牛奶盒的厚 度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计) ( )

A.5≤a≤12

B.12≤a≤3

C.12≤a≤4

D.12≤a≤13

二、填空题(共 6 小题,每小题 3 分,满分 18 分) 11. (3 分)化简: = .

12. (3 分)如图,在平面直角坐标系中,?ABCD 的顶点 A(0,0) ,B(3,0) , C(2,2) ,则顶点 D 的坐标是 .

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13. (3 分)已知等边三角形的边长为 2,则该三角形的一边上的高为



14. (3 分)在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点 D,E 分别为 AC,BC 的中点,则 DE 长 .

15. (3 分)如图,从一个大正方形中截去面积为 15cm2 和 24cm2 的两个小正方 形后剩余部分(阴影部分)的面积为 .

16. (3 分)如图,将一矩形 OBAC 放在平面直角坐标系中,O 为原点,点 B,C 分别在 x 轴、y 轴上,点 A(4,3) ,点 D 为线段 OC 上一动点,将△BOD 沿 BD 翻折, 点 O 落在点 E 处, 连 CE, 则 CE 的最小值为 , 此时点 D 的坐标为 .

三、解答题(共 8 小题,满分 72 分) 17. (8 分)计算 (1) (2)10 × ﹣ ÷ + ; .

18. (8 分)如图,在?ABCD 中,点 E、F 分别在 BC、AD 上,且 AF=CE.求证四 边形 AECF 是平行四边形.

19. (8 分)已知 x=2+

,求(7﹣4

)x2+(2﹣

)x+

的值.

20. (8 分)如图,四边形 ABCD 是菱形,∠ACD=30°,AB=6. (1)求∠ABC 的度数;
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(2)求 AC 的长.

21. (8 分)如图,正方形网格的每个小正方形的边长均为 1,每个小正方形的顶 点叫做格点,图中四条线段的端点均在格点上. (1)平移图中的线段,你能使哪三条线段首尾连接构成一个格点三角形,请画 出平移后的图形; (2)判断并说明三角形的形状.

22. (10 分)如图,在矩形 ABCD 中,AE⊥BD 于点 E,CF⊥BD 于点 F,连 AF, CE. (1)求证:四边形 AECF 为平行四边形; (2)若 AB=3,AD=4,求 EF 的长.

23. (10 分) 如图, 在?ABCD 中, E 是 AD 上一点, 连接 CE, F 为 CE 的中点, DF=EF. (1)求证:四边形 ABCD 为矩形; (2)如图 2,若 AE=AB,过点 B 作 BG⊥CE,垂足为 G,连 AG. ①求∠AGB 的度数; ②若 CD=3DE,则 = (直接写出结果) .

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24. (12 分)如图,点 A(a,0) ,B(0,6)分别在 x 轴、y 轴上,且 (1)求线段 AB 的长;

=



(2)若点 C 在线段 AB 上,D,E 分别在线段 OA,OB 上,且 AD=AC,BE=BC. ①如图 1,若 C 为 AB 的中点,连接 CD,CE,试判断△CDE 的形状并说明理由; ②如图 2,过点 D 作 DF⊥CD 交 CE 的延长线于点 F,若点 F(m,﹣n) ,请求出 此时点 C 的坐标.

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2015-2016 学年湖北省武汉市黄陂区部分学校八年级 (下) 期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1. (3 分) (2016 春?黄陂区校级期中)估计二次根式 在整数( )

A.0 与 1 之间 B.1 与 2 之间 C.2 与 3 之间 D.3 与 4 之间 【分析】首先得出 最接近的有理数进而得出答案.

【解答】解:∵12=1,22=4, ∴ 在 1 与 2 之间.

故选:B. 【点评】 此题主要考查了估算无理数的大小,正确得出接近无理数的有理数是解 题关键.

2. (3 分) (2007 秋?南充校级期末)要使二次根式 围是( A.a≥3 ) B.a≠3 C.a>3 D.a≤3

有意义,则 a 的取值范

【分析】二次根式的被开方数的非负数. 【解答】解:依题意,得 a﹣3≥0, 解得,a≥3. 故选 A. 【点评】考查了二次根式的意义和性质.概念:式子 (a≥0)叫二次根式.性

质:二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.

3. (3 分) (2016 春?黄陂区校级期中)下列计算正确的是( A. +2=2 B. = + C. =2 D. ×

) =

【分析】根据二次根式的加减法对 A 进行判定;根据最简二次根式的定义对 B、
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C 进行判定;根据二次根式的乘法法则对 D 进行判定. 【解答】解:A、2 与 B、原式= C、原式= D、原式= 故选 D. 【点评】本题考查了二次根式的计算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进 行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式.在二次根式的混合运算中,如 能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半 功倍. 不能合并,所以 A 选项错误;

,所以 B 选项错误; = = ,所以 C 选项错误; .

4. (3 分) (2016 春?黄陂区校级期中)若平行四边形中两个内角的度数比为 1: 2,则其中较大的内角是( )

A.45° B.60° C.90° D.120° 【分析】 据平行四边形的性质得出 AB∥CD, 推出∠B+∠C=180°, 根据∠B: ∠C=1: 2,求出∠C 即可. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD, ∴∠B+∠C=180°, ∵∠B:∠C=1:2, ∴∠C= ×180°=120°, 故选 D.

【点评】 本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质的应用,能熟练地运用性 质进行计算是解此题的关键,题目比较典型,难度不大.

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5. (3 分) (2016 春?黄陂区校级期中) 如图, 在?ABCD 中, BC=10, AC=8, BD=14, 则△BOC 的周长是( )

A.21 B.22 C.25 D.32 【分析】构建平行四边形的性质对角线互相平分,求出 OC、OB 即可解决问题. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形,AC=8,BD=14, ∴AO=OC=4,OD=OB=7, ∵BC=10, ∴△BOC 的周长为 BC+OB+OC=10+7+4=21. 故选 A.

【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形周长等知识,解题的关键是利用平 行四边形对角线相互平分,属于基础题,中考常考题型.

6. (3 分) (2016 春?黄陂区校级期中)下列二次根式中属于最简二次根式的是 ( A. ) B. C. D.

【分析】分别化简二次根式进而得出正确答案. 【解答】解:A、 B、 C、 D、 = =2 ,故此选项错误;

无法化简,故此选项正确; = = ,故此选项错误; ,故此选项错误;

故选:B. 【点评】此题主要考查了最简二次根式的定义,正确化简二次根式是解题关键.
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7. (3 分) (2016 春?黄陂区校级期中)一根竹子高 1 丈,折断后竹子顶端落在高 竹子底端 3 尺处, 则折射处高地面的高度为 ( ) (这是我国古代数学著作 《九

章算术》中的一个问题,其中的丈、尺是长度单位,1 丈=10 尺)

A.3 尺 B.4 尺 C.4.55 尺 D.5 尺 【分析】 杆子折断后刚好构成一直角三角形, 设杆子折断处离地面的高度是 x 尺, 则斜边为(10﹣x)尺.利用勾股定理解题即可. 【解答】解:1 丈=10 尺, 设折射处高地面的高度为 x 尺,则斜边为(10﹣x)尺, 根据勾股定理得:x2+32=(10﹣x)2 解得:x=4.55. 答:折射处高地面的高度为 4.55 尺. 故选:C. 【点评】 此题考查了勾股定理的应用,解题的关键是利用题目信息构造直角三角 形,从而运用勾股定理解题.

8. (3 分) (2016 春?黄陂区校级期中)下列命题: ①两直线平行,内错角相等;②对角线互相平分的四边形是平行四边形;③全等 三角形对应角相等;④平行四边形的两组对边分别相等.其逆命题成立的个数有 ( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【分析】 交换原命题的题设与结论得到四个命题的逆命题,然后分别根据平行线 的判定、 平行四边形的性质、 全等三角形的判定和平行四边形的判定方法判断四 个逆命题的真假. 【解答】解:①“两直线平行,内错角相等”的逆命题为“内错角相等,两直线平
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行”,此逆命题为真命题; ②“对角线互相平分的四边形是平行四边形的逆命题为 “平行四边形的对角线互 相平分”,此逆命题为真命题; ③“全等三角形对应角相等”的逆命题为“对应角相等的三角形全等”,此逆命题为 假命题; ④“平行四边形的两组对边分别相等”的逆命题为“两组对边分别相等的四边形为 平行四边形”,此逆命题为真命题. 故选 C. 【点评】本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都 是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项, 一个命题可以写成“如果…那么…”形式. 有些命题的正确性是用推理证实的,这 样的真命题叫做定理.也考查了逆命题.

9. (3 分) (2016 春?黄陂区校级期中)如图,数轴上 A 表示数﹣2,过数轴上表 示 1 的点 B 作 BC⊥x 轴, 若 BC=2, 以 A 为圆心, AC 为半径作圆弧交数轴于点 P, 那么数轴上点 P 所表示的数是( )

A.

B.

﹣2 C.

﹣3 D.4﹣

【分析】首先在直角三角形中,利用勾股定理可以求出线段 CA 的长度,然后根 据 AC=AP 即可求出 AP 的长度,接着可以求出数轴上点 P 所表示的数. 【解答】解:∵CA= ∴AC=AP= , ﹣2,且 P 在原点右侧. ﹣2. = ,

∴P 到原点的距离是 ∴点 P 所表示的数是 故选:B.

【点评】 此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系,首先正确根据数在数轴上 的位置判断数的符号以及绝对值的大小,再根据运算法则进行判断.
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10. (3 分) (2016 春?黄陂区校级期中)如图是一个长为 4,宽为 3,高为 12 矩 形牛奶盒,从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管,吸管在盒内部分 a 的长度范围是 (牛奶盒的厚度、 小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计) ( )

A.5≤a≤12

B.12≤a≤3

C.12≤a≤4

D.12≤a≤13

【分析】最短距离就是牛奶盒的高度,当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正 好构成直角三角形时,插入盒子内的吸管长度最大,用勾股定理即可解答. 【解答】解:最短距离就是牛奶盒的高度,即最短为 12, 由题意知:牛奶盒底面对角长为 =5,

当吸管、 牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时,插入盒子内的吸 管长度最长, 则吸管长度为 =13,

即吸管在盒内部分 a 的长度范围是 12≤a≤13, 故选 D. 【点评】本题考查了勾股定理的应用以及学生的空间想象力,难度适中,解答本 题的关键是熟练掌握勾股定理的知识.

二、填空题(共 6 小题,每小题 3 分,满分 18 分) 11. (3 分) (2016?威海)化简: = .

【分析】先将二次根式化为最简,然后合并同类二次根式即可. 【解答】解:原式=3 故答案为: . ﹣2 = .

【点评】此题考查了二次根式的加减运算,属于基础题,解答本题的关键是掌握 二次根式的化简及同类二次根式的合并.
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12. (3 分) (2016 春?黄陂区校级期中)如图,在平面直角坐标系中,?ABCD 的 顶点 A(0,0) ,B(3,0) ,C(2,2) ,则顶点 D 的坐标是 (﹣1,2) .

【分析】过点 D 作 DE⊥OB,交 BO 的延长线于点 E,由平行四边形的性质易求 点 D 的纵坐标,再求出 DE 的长即可得到其横坐标,问题得解. 【解答】解:过点 D 作 DE⊥OB,交 BO 的延长线于点 E, ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴DC∥AB, ∵点 C(2,2) , ∴点 D 的纵坐标为 2, ∵点 A(0,0) ,点 B(3,0) , ∴AB=3, ∴OE=3﹣2=1, ∵点 D 在第二象限, ∴点 D 的横坐标为﹣1, ∴点 D(﹣1,2) , 故答案为: (1﹣2) .

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及坐标与图形的性质,得出 OE 的 长是解题关键.

13. (3 分) (2016 春?黄陂区校级期中)已知等边三角形的边长为 2,则该三角 形的一边上的高为 .
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【分析】根据等边三角形的性质:三线合一,利用勾股定理可求解高. 【解答】解:根据等边三角形:三线合一,所以它的高为: 故答案为 . = ,

【点评】本题考查等边三角形的性质及勾股定理,较为简单,解题的关键是掌握 勾股定理.

14. (3 分) (2016 春?黄陂区校级期中) 在 Rt△ABC 中, ∠ACB=90°, AC=6, BC=8, 点 D,E 分别为 AC,BC 的中点,则 DE 长 5 .

【分析】 首先利用勾股定理可求出 AB 的长, 再由三角形中位线定理可得到 DE= AB,问题得解. 【解答】解:∵在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8, ∴AB= =10,

∵点 D,E 分别为 AC,BC 的中点, ∴DE 是△ABC 的中位线, ∴DE= AB=5, 故答案为:5. 【点评】 本题考查了三角形的中位线定理以及勾股定理的运用,熟记性质与定理 是解题的关键.

15. (3 分) (2016 春?黄陂区校级期中) 如图, 从一个大正方形中截去面积为 15cm2 和 24cm2 的两个小正方形后剩余部分(阴影部分)的面积为 12 cm2 .

【分析】根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案. 【解答】解:如图所示:由题意可得:AB= BC=BE= (cm) ,
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=2

(cm) ,

故两个阴影部分面积和为:2(2 故答案为:12 (cm2) .

×

)=12

(cm2) ,

【点评】此题主要考查了二次根式的应用,正确求出阴影部分面积是解题关键.

16. (3 分) (2016 春?黄陂区校级期中)如图,将一矩形 OBAC 放在平面直角坐 标系中,O 为原点,点 B,C 分别在 x 轴、y 轴上,点 A(4,3) ,点 D 为线段 OC 上一动点, 将△BOD 沿 BD 翻折, 点 O 落在点 E 处, 连 CE, 则 CE 的最小值为 此时点 D 的坐标为 (0, ) . 1 ,

【分析】当 C、E、B 共线时,EC 最小,此时 EC=BC﹣BE=BC﹣BO,设 OD=DE=x, 在 RT△CDE 中利用勾股定理,列出方程即可解决问题. 【解答】解:如图,当 C、E、B 共线时,EC 最小,此时 EC=BC﹣BE=BC﹣BO, 在 RT△OBC 中,∵∠BOC=90°,BO=4,OC=3, ∴BC= = =5,

∵EC 最小值=BC﹣BO=5﹣4=1, 设 OD=DE=x, 在 RT△CDE 中,∵∠CED=90°,CD=3﹣x,DE=x,CE=1, ∴(3﹣x)2=x2+12, ∴x= , ∴点 D 坐标为(0, ) . 故答案分别为 1, (0, ) .

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【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、翻折变换等知识,解题的关键 是正确寻找点 E 位置, 学会利用勾股定理构建方程解决问题, 属于中考常考题型.

三、解答题(共 8 小题,满分 72 分) 17. (8 分) (2016 春?黄陂区校级期中)计算 (1) (2)10 × ﹣ ÷ + ; .

【分析】 (1 ) 先把各二次根式化为最简二次根式, 然后进行二次根式的乘除运算; (2)先把各二次根式化为最简二次根式,然后合并即可. 【解答】解: (1)原式=3 =6 ; ﹣ +3 ×2 ÷

(2)原式=2 =4 .

【点评】本题考查了二次根式的计算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进 行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式.在二次根式的混合运算中,如 能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半 功倍.

18. (8 分) (2012?淄博) 如图, 在?ABCD 中, 点 E、 F 分别在 BC、 AD 上, 且 AF=CE. 求 证四边形 AECF 是平行四边形.

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【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形,可得 AF∥CE,又 AF=CE,所以四边形 AECF 是平行四边形. 【解答】证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC ∴AF∥CE. 又∵AF=CE, ∴四边形 AECF 是平行四边形. 【点评】 此题主要考查平行四边形的判定:一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形.

19. (8 分) (2016 春?黄陂区校级期中) 已知 x=2+ x+ 的值.

, 求 (7﹣4

) x2+ (2﹣



【分析】把已知数据代入原式,根据平方差公式计算即可. 【解答】解:当 x=2+ 原式=(7﹣4 =(7﹣4 ) (2+ 时, )2+(2﹣ ) (2+ )+ )+

) (7+4

)+(2﹣

) (2+

=49﹣48+4﹣3+ =2+ .

【点评】本题考查的是二次根式的化简求值,灵活运用平方差公式、掌握二次根 式的运算法则是解题的关键.

20. (8 分) (2016 春?黄陂区校级期中) 如图, 四边形 ABCD 是菱形, ∠ACD=30°, AB=6. (1)求∠ABC 的度数; (2)求 AC 的长.

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【分析】 (1)由四边形 ABCD 是菱形,∠ACD=30°,可求得∠BCD 的度数,继而 求得答案; (2)首先连接 BD 交 AC 于点 O,则∠AOB=90°,AO=CO,然后由含 30°的直角三 角形的性质,求得 OB 的长,再利用勾股定理的知识求得 OA 的长,继而求得答 案. 【解答】解: (1)∵四边形 ABCD 是菱形,∠ACD=30°, ∴∠BCD=2∠ACD=60°, ∴∠ABC=180°﹣60°=120°;

(2)连接 BD 交 AC 于点 O,则∠AOB=90°,AO=CO, 又∵∠ACD=∠BAC=30°, ∴在 Rt△AOB 中,OB= AB=3, ∴OA= ∴AC=6 . = =3 ,

【点评】此题考查了利用菱形的性质、勾股定理以及含 30°的直角三角形的性 质.注意掌握辅助线的作法是解此题的关键.

21. (8 分) (2016 春?黄陂区校级期中)如图,正方形网格的每个小正方形的边 长均为 1,每个小正方形的顶点叫做格点,图中四条线段的端点均在格点上. (1)平移图中的线段,你能使哪三条线段首尾连接构成一个格点三角形,请画 出平移后的图形; (2)判断并说明三角形的形状.
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【分析】 (1 ) 把线段②不动, 平移③④, 使线段②③④首尾连接构成一个三角形; (2)先利用勾股定理计算出 AB、AC、BC,然后利用勾股定理的逆定理可证明△ ACB 为直角三角形. 【解答】解: (1)如图,线段②③④首尾连接构成一个三角形,△ABC 为所作;

(2)△ABC 为直角三角形.理由如下: ∵AC2=12+22=5,BC2=22+42=20,AC2=32+42=25, 而 5+20=25, ∴AC2+BC2=AC2, ∴△ACB 为直角三角形,∠ACB=90°. 【点评】本题考查了作图﹣平移变换:确定平移后图形的基本要素有两个:平移 方向、平移距离.作图时要先找到图形的关键点,分别把这几个关键点按照平移 的方向和距离确定对应点后,再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.

22. (10 分) (2016 春?黄陂区校级期中) 如图, 在矩形 ABCD 中, AE⊥BD 于点 E, CF⊥BD 于点 F,连 AF,CE. (1)求证:四边形 AECF 为平行四边形; (2)若 AB=3,AD=4,求 EF 的长.

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【分析】 (1) 欲证明四边形 AECF 为平行四边形. 只要证明 AE∥CF, AE=CF 即可. (2)因为 EF=BD﹣2BE,所以求出 BD 以及 BE 即可解决问题. 【解答】证明: (1)∵ABCD 是矩形,∴AB∥CD,AB=CD, ∴∠ABD=∠CDB, 又 AE⊥BD,CF⊥BD, ∴∠AED=∠CFB=90°, ∴AE∥FC, 易证△ABE≌△CDF(AAS) , ∴AE=CF, ∴四边形 AECF 为平行四边形; (2)∵AB=3,AD=4, 在 RT△ABD 中,BD= 由面积法可求得 AE= , = , =5,

在 RT△ABE 中,BE=DF= ∴EF=BD﹣2BE=5﹣ = .

【点评】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、全等三角 形的判定和性质等知识,解题的关键是利用全等三角形性质解决问题,求 EF 时 体现了转化的思想,属于中考常考题型.

23. (10 分) (2016 春?黄陂区校级期中)如图,在?ABCD 中,E 是 AD 上一点, 连接 CE,F 为 CE 的中点,DF=EF. (1)求证:四边形 ABCD 为矩形; (2)如图 2,若 AE=AB,过点 B 作 BG⊥CE,垂足为 G,连 AG. ①求∠AGB 的度数;

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②若 CD=3DE,则

=

(直接写出结果) .

【分析】 (1)判断出∠ADC=90°,用一个内角是 90°平行四边形是矩形; (2)先利用等角或同角的余角相等判断出∠BAH=∠EAG,∠ABH=∠AEG,从而 得到△ABH≌△AEG,即 AH=AG,即可; (3) 设出 DE=x, 利用勾股定理和条件得到 CD=3x, 再用三角函数表示出 CG= x,EG= x,即可得到结论.

【解答】 (1)∵F 为 CE 的中点,DF=EF, ∴∠ECD=∠FDC,∠CED=∠EDF, ∵∠ECD+∠FDC+∠CED+∠EDF=180°, ∴∠ADC=∠CDF+∠EDF=90°, ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴四边形 ABCD 为矩形; (2)①如图 2,

过点 A 作 HA⊥AG,交 GB 的延长线于点 H, ∴∠BAH+∠BAG=90°, ∵∠EAG+∠BAG=90°, ∴∠BAH=∠EAG, ∵BG⊥CE, ∴∠CBG+∠ABG=90°,∠CBG+∠BCG=90°, ∴∠ABG=∠BCG,
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∵∠BCG+∠DCE=∠DEC+∠DCE=90°, ∴∠ABG=∠CED, ∴∠ABH=∠AEG, ∵AB=AE,∠BAH=∠EAG ∴△ABH≌△AEG(ASA) , ∴AH=AG, ∵∠HAG=90°, ∴∠AGB=45°; ②设 DE=x, ∵CD=3DE ∴CD=3DE=3x, ∵∠CDE=90°, ∴CE= ∴sin∠DCE= = = x, = ,

∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AB=CD=3x, ∴AE=AB=3x, ∴BC=AD=AE+DE=3x+x=4x, ∵BG⊥CE, ∴∠CBG+∠BCE=90°, ∵∠DCE+∠BCE=90°, ∴∠CBG=∠DCE, ∴sin∠CBG=sin∠DCE= ∴CG= ∵CE= x, x, x﹣ x= x, = = ,

∴EG=CE﹣CG=

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=

=

故答案为 . 【点评】此题是四边形综合题,主要考查了判定直角的方法,勾股定理,锐角三 角函数的意义, 同角或等角的余角相等,解本题的关键是灵活运用同角或等角的 余角相等,判断角相等.

24. (12 分) (2016 春?黄陂区校级期中)如图,点 A(a,0) ,B(0,6)分别在 x 轴、y 轴上,且 = .

(1)求线段 AB 的长; (2)若点 C 在线段 AB 上,D,E 分别在线段 OA,OB 上,且 AD=AC,BE=BC. ①如图 1,若 C 为 AB 的中点,连接 CD,CE,试判断△CDE 的形状并说明理由; ②如图 2,过点 D 作 DF⊥CD 交 CE 的延长线于点 F,若点 F(m,﹣n) ,请求出 此时点 C 的坐标.

【分析】 (1)由

=

.求出 a=8,由勾股可求得 AB 即可解答;

(2)①△CDE 为等腰直角三角形;如图 1,过点 C 作 CG⊥OA 于 G,证明△EOD ≌△DGC(SAS) ,得到 ED=DC,∠EDO=∠DCG,又∠DCG+∠CDG=90°,∠EDO+ ∠CDG=90°,所以△CDE 为等腰直角三角形; ②首先证明△CDF 为等腰直角三角形,过点 F 作 FM⊥x 轴于点 M,过点 C 作 CN ⊥x 轴于点 N,连接 OF,证明△FMD≌△DNC(AAS) ,得到 FM=DN,DM=CN, 再证明 FM=OM,ON=CN,再根据 S△AOB= OA×OB= OA×CN+ OB×ON=24,解 得 ON= ,即可解答.
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【解答】解: (1)由 ∴a=8,

=



∴点 A(8,0) ,B(0,6) 由勾股可求得 AB= ;

(2)①如图 1,过点 C 作 CG⊥OA 于 G,

∵C 为 AB 的中点,AD=AC,BE=BC. ∴AD=AC=BE=BC=5, ∴OE=1,CG=3,DG=1,OD=3, 即 OE=DG,OD=CG,又∠CGD=∠EOD=90°, ∴△EOD≌△DGC(SAS) , ∴ED=DC,∠EDO=∠DCG, 又∠DCG+∠CDG=90°, ∴∠EDO+∠CDG=90°, ∴△CDE 为等腰直角三角形; ②∵AD=AC,BE=BC, ∴∠BCE=∠BEC,∠ACD=∠ADC, 又∠ABO+∠BAO=90°, ∴∠FCD=45°, 又 DF⊥CD, ∴△CDF 为等腰直角三角形, 如图②过点 F 作 FM⊥x 轴于点 M,过点 C 作 CN⊥x 轴于点 N,连接 OF,OC,

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易证△FMD≌△DNC(AAS) ∴FM=DN,DM=CN, ∵F(m,﹣m) , ∴FM=OM, 易证 ON=CN, S△AOB= OA×OB= OA×CN+ OB×ON=24, 即 (OA+OB)×ON=24, 解得 ON= ∴C( , , ) .

【点评】 本题考查了等腰直角三角形的性质定理与判定定理,解决本题的关键是 作出辅助线,构建全等三角形.

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参与本试卷答题和审题的老师有: gbl210; dbz1018; gsls; wd1899; 弯弯的小河; HLing;sdwdmahongye;733599;caicl;张其铎;mmll852;lf2﹣9;知足长乐; zcx;星月相随(排名不分先后) 菁优网 2017 年 3 月 31 日

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