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2017届高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.5 合情推理与演绎推理课件 文



第六章 不等式、推理与证明

第五节

合情推理与演绎推理

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲

1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的

推理,了解合情推理在数

学发现中的作用; 2.了解演绎推理的重要性,掌

握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理; 3. 了解合情推
理和演绎推理之间的联系和差异。

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.归纳推理
(1)定义:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推理该类事物中

每一个 事物都有这种属性,将这种推理方式称为归纳推理。 _______
部分 到整体、由______ 个别 到一般的推理。 (2)特点:由______ 2.类比推理 (1)定义:由于两类不同对象具有 某些类似的特征 , 在 此 基 础

上,根据一类对象的其他特征,推理另一类对象也具有类似的其他特征,
将这种推理过程称为类比推理。 特殊 的推理。 (2)特点:由特殊到______

3.合情推理

合情推理是根据实际和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实
和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式。 4.演绎推理的一般模式——“三段论”

(1)大前提——已知的 一般原理 。 (2)小前提——研究对象的 特殊情况 。
(3)结论——由大前提和小前提作出的判断。

基 础 自 测
[判一判] (1) 归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正 确。( × ) 解析 错误。归纳推理和类比推理所得的结论都不一定正确。 (2) 由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推

理。( √ ) 解析 正确。此推理为合情推理中的类比推理。
(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象

较为合适。( × )
解析 较合适。 错误。平面中的平行四边形与空间中的平行六面体作类比对象

(4)“所有3的倍数都是 9的倍数,某数 m是3 的倍数,则 m 一定是9的倍

数”,这是三段论推理,但其结论是错误的。( √

)

解析 正确。因为此推理过程的“大前提”错误。 (5) 一 个 数 列 的 前 三 项 是 1,2,3 , 那 么 这 个 数 列 的 通 项 公 式 是 an =

n(n∈N*)。( × )
解析 错误。如数列1,2,3,5的通项公式就不是an=n(n∈N*)。

[练一练]
1.数列2,5,11,20,x,47,?中的x等于( A.28 B.32 )

C.33

D.27

解析 由5-2=3,11-5=6,20-11=9。

则x-20=12,因此x=32。
答案 B

2.观察分析下表中的数据: 多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)

三棱柱
五棱锥 立方体

5
6 6

6
6 8

9
10 12

猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是_____________ F+V-E=2 。 解析 由题中所给的三组数据,可得5+6-9=2,6+6-10=2,6+8-

12=2,由此可以猜想出一般凸多面体的顶点数V、面数F及棱数E所满足的
等式是F+V-E=2。

1x 3. “因为指数函数 y=a 是增函数(大前提), 而 y=3 是指数函数(小前
x

1x 提),所以 y=3 是增函数(结论)”,上面推理的错误是( A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都错导致结论错

)

解析 y=ax是增函数这个大前提是错误的,从而导致结论错误。

答案 A

4.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为 1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的 体积比为________ 1∶8 。

1 Sh V1 3 1 1 S1 h1 1 1 1 解析 V =1 =S · =4×2=8。 h 2 2 2 S 2h2 3

R

热点命题

深度剖析

考点一 归纳推理
归纳推理是发现问题、找出规律的具体鲜明的方法,也是创新的一种 思维方式,因而成为高考考查的亮点,常以选择题、填空题的形式出现, 主要考查数列、不等式、等式、函数、几何等问题。

角度一:与数或式有关的归纳 1.(2015· 陕西卷)观察下列等式 1 1 1-2=2 1 1 1 1 1 1-2+3-4=3+4 1 1 1 1 1 1 1 1 1-2+3-4+5-6=4+5+6 ?? 据此规律,第 n 个等式可为

1 1 1 1 1 1 1 1 1-2+3-4+?+ -2n= + +?+2n 2 n - 1 n + 1 n + 2 ________________________________________________。

解析 经观察知,第 n 个等式的左侧是数列(-1)

n-1

1 · n的前 2n 项和,而

1 1 1 1 1 1 右侧是数列n的第 n+1 项到第 2n 项的和, 故为 1-2+3-4+?+ - 2n-1 2n 1 1 1 = + +?+2n。 n+1 n+2

2.(2015· 山东卷)观察下列各式:
0 C1 =40; 0 1 C3 +C3 =41; 0 1 2 C5 +C5 +C5 =42; 0 1 2 3 C7 +C7 +C7 +C7 =43;

??
1 2 n-1 4n-1 。 照此规律,当 n∈N*时,C0 2n-1+C2n-1+C2n-1+?+C2n-1=________

解析 观察各式有如下规律:等号左侧第 n 个式子有 n 项,且上标分 别为 0,1,2,?,n-1,第 n 行每项的下标均为 2n-1,等号右侧指数规律
1 2 n-1 为 0,1,2,?,n-1。所以第 n 个式子为 C0 + C + C + ? + C - - - 2n 1 2n 1 2n 1 2n-1=

4n-1。

3.(2016· 西安模拟)观察下列不等式 1 3 1+22<2, 1 1 5 1+22+32<3, 1 1 1 7 1+22+32+42<4, ??

1 1 1 1 1 11 1+22+32+42+52+62< 6 照此规律,第五个不等式为__________________________________。

解析

观察不等式两边式子的特点,总结指数、项数、分子、分母之

1 1 1 间的数量关系。左边的式子的通项是 1+22+32+?+ 。右边式子的 ?n+1?2 分母依次增加 1,分子依次增加 2,还可以发现右边分母与左边最后一项分 1 1 1 1 1 11 母的关系,所以第五个不等式为 1+22+32+42+52+62< 6 。

角度二:与图形有关的归纳 4.(2016· 青岛模拟)某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出 发的三条线段,长度均为 1,两两夹角为 120° ;二级分形图是在一级分形 1 图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 的线段, 且这两条线段与 3 原线段两两夹角为 120° ,?,依此规律得到 n 级分形图。

3×2n-3 条线段。 (1)n级分形图中共有_____________ 解析 (1)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知, 一级分形图有 3 = (3×2 - 3) 条线段,二级分形图有 9= (3×22 - 3)条线段,

三级分形图中有21=(3×23-3)条线段,依此规律n级分形图中的线段条数
an=(3×2n-3)(n∈N+)。

2? n 9-9× 3? ? ? (2)n级分形图中所有线段长度之和为_______________。

? ? ? ?

1 解析 分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 的线段, 3
?2? ∴n 级分形图中第 n 级的所有线段的长度为 bn=3×? ?n-1(n∈N+), ∴n 级分 ?3? ?2? 0 ?2? 1 ?2? n - 1 ? ? ? ? 形 图 中所 有线 段长 度 之和 为 Sn = 3× + 3× + ? + 3× ? ? = 3 3 ? ? ? ? ? 3? ?2? n 1-? ? ? 3? ?2? n =9-9×? ? 。 2 ? 3?



1- 3

5.(2016·上海模拟)如图,有一个六边形的点阵,它的中心是1个点(算 第1层),第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,?,依此类推,如果一 个六边形点阵共有169个点,那么它的层数为( )

A.6
B.7 C.8

D.9

解析 由题意知,第 1 层的点数为 1,第 2 层的点数为 6,第 3 层的 点数为 2×6, 第 4 层的点数为 3×6, 第 5 层的点数为 4×6, ?, 第 n(n≥2, n∈N*)层的点数为 6(n-1)。设一个点阵有 n(n≥2,n∈N*)层,则共有的 6+6?n-1? 2 点数为 1+6+6×2+?+6(n-1)=1+ × ( n - 1) = 3 n - 3n + 2 1,由题意得 3n2-3n+1=169,即(n+7)· (n-8)=0,所以 n=8,故共有 8 层。 答案 C

【规律方法】 归纳推理的分类

常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类
(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观 察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等

差数列、等比数列等。
(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳。

考点二 类比推理
【例 1】 (1)在等差数列{an}中, 若 am=p, an=q(m, n∈N+, n-m≥1), nq-mp 则 am+n= 。 n-m 类比上述结论,对于等比数列{bn}(bn>0,n∈N+),若 bm=r,bn=s(n n-m sn rm -m≥2,m,n∈N+),则可以得到 bm+n=_______________ 。

【解析】 设公比为 q,s

n

sn -m (n-m)(n+ n n(n-1) m m m(m-1) =b1q ,r =b1 q , m=bn 1 q r

m-1)

,bm+n=b1q

n+m-1

n-m sn = rm。

(2)在平面几何中,有“若△ABC 的三边长分别为 a,b,c,内切圆半 1 径为 r,则三角形面积为 S△ABC=2(a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结 论,“若四面体 ABCD 的四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,内切球的半 1 3(S1+S2+S3+S4)r 。” 径为 r,则四面体的体积为___________________

【解析】

三角形的面积类比为四面体的体积,三角形的边长类比为

1 四面体四个面的面积,内切圆半径类比为内切球的半径。二维图形中2类比 1 1 为三维图形中的3,得 V 四面体 ABCD=3(S1+S2+S3+S4)r。

【规律方法】 类比推理的分类 类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法

(1)类比定义:在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可
以借助原定义来求解。 (2)类比性质:从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提

出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考
两者的转化过程是求解的关键。 (3)类比方法:有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方

法类比应用到其他问题的求解中,注意知识的迁移。

变式训练 1 (1)给出下面类比推理(其中 Q 为有理数集,R 为实数集, C 为复数集): ①“若 a,b∈R,则 a-b=0?a=b”类比推出“若 a,c∈C,则 a- c=0?a=c”; ②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di?a=c,b=d”类比推出 “若 a,b,c,d∈Q,则 a+b 2=c+d 2?a=c,b=d”; ③“若 a, b∈R, 则 a-b>0?a>b”类比推出“若 a, b∈C, 则 a-b>0 ?a>b”; ④“若 x∈R,则|x|<1?-1<x<1”类比推出“若 z ∈C,则|z|<1?- 1<z<1”。 其中类比结论正确的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4

解析 类比结论正确的有①②。 答案 B

(2)(2016· 长沙模拟)已知 P(x0,y0)是抛物线 y2=2px(p>0)上的一点,过 P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得:在 y2=2px 两边同时对 x 求导, p p 得 2yy′=2p,则 y′=y,所以过 P 的切线的斜率 k=y 。类比上述方法求 0 y2 2x-y- 2=0 。 出双曲线 x - 2 =1 在 P( 2, 2)处的切线方程为______________
2

解析 将双曲线方程化为 y2=2(x2-1),类比上述方法两边同时对 x 求 2x 2x0 导得 2yy′=4x, 则 y′= y , 即过 P 的切线的斜率 k= y , 由于 P( 2, 2),
0

故切线斜率 k= - 2=0。

2 2 =2,因此切线方程为 y- 2=2(x- 2),整理得 2x-y 2

考点三

演绎推理
n+2 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= n Sn(n∈

【例 2】 N*)。证明:

Sn (1)数列 n 是等比数列;

n+2 (2) Sn+1=4an∵ 。an+1=Sn+1-Sn,an+1= 【证明】 n Sn, ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn), 即 nSn+1=2(n+1)Sn。 Sn+1 Sn 故 =2· ,(小前提) n n+1 Sn 故 n 是以 2 为公比,1 为首项的等比数列。(结论) (大前提是等比数列的定义)

(2)Sn+1=4an。
Sn+1 Sn-1 【证明】 由(1)可知 =4· (n≥2), n+1 n-1 Sn-1 n-1+2 ∴Sn+1=4(n+1)· =4· · S - =4an(n≥2)。(小前提) n-1 n-1 n 1 又∵a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an。(结论)

【规律方法】 应用演绎推理应注意的问题 演绎推理是从一般到特殊的推理。其一般形式是三段论,应用三段论 解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果大前提是显然 的,则可以省略。

变式训练 2

已知函数 y = f(x) ,满足:对任意 a , b∈R , a≠b ,都有

af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a),试证明:f(x)为R上的单调增函数。

证明 设x1,x2∈R,取x1<x2,
则由题意得x1f(x1)+x2f(x2) >x1f(x2)+x2f(x1),

∴x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(x1)]>0,
[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0。 ∵x1<x2,∴f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1)。

∴y=f(x)为R上的单调增函数。

S

思想方法

感悟提升

⊙1个区别——合情推理与演绎推理的区别 (1)归纳是由特殊到一般的推理。 (2)类比是由特殊到特殊的推理。 (3)演绎推理是由一般到特殊的推理。 (4)从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;若大 前提、小前提和推理形式都正确,则演绎推理得到的结论一定正确。

⊙2个步骤——归纳推理与类比推理的步骤
(1)归纳推理的一般步骤:

(2)类比推理的一般步骤:

⊙3个注意点——应用合情推理与演绎推理应注意的问题 (1)在进行类比推理时要尽量从本质上去类比,不要被表面现象迷惑,

如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比,那么就会犯机械类比
的错误。 (2)合情推理是从已知的结论推测未知的结论,发现与猜想的结论都要

经过进一步严格证明。
(3) 演绎推理是由一般到特殊的推理,它常用来证明和推理数学的问 题,注意推理过程的严密性,书写格式的规范性。



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