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1.2.1任意角的三角函数2



高中新课程数学必修④

1.任意角三角函数定义的推广
设角? 是一个任意角, P( x, y )是终边上异于原点 的任意一点, 点P与原点的距离r ? x2 ? y 2 ? 0

y 正弦 : sin ? ? r

y x 正切: tan ? ? 余弦 : cos ? ? r x

2.用

单位圆定义任意角的三角函数
设?是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P( x, y) y sin ? ? y tan ? ? ( x ? 0) cos? ? x x

3.任意角三角函数的定义及其推广的应用 ①已知角? , 求三角函数值.
②已知角?终边上一点P( x, y),求三角函数值.

1.特殊角的三角函数值: 课本P15练习第3题
30 ? 弧度 6
角度
?

45

?

sin ?

1 2

? 4
2
2

60 ? 3
2
1 2

?

0

?

0 0
1

90 180 270 360 ? 3 ? ? 2? 2 2

?

?

?

?

3

1

0
?1

?1

0
1

3 cos? 2 tan ? 3

2
1

2

0
不 存 在

0
不 存 在

3

3

0

0

0

tan ?的定义域是 : {? | ? ?

?
2

? k? , k ? Z }

巩固训练
1. 已知角?的终边过点P(sin 30 , ? cos30 ), 求sin ?的值.
0 0

2. 已知角?的终边过点P(6sin 45 ,1), 求sin ?的值.
0

巩固训练
1. 已知角?的终边过点P(sin 300 , ? cos300 ), 求sin ?的值.
1 3 0 解: ? sin 30 ? , cos30 ? 2 2
0

1 3 ? P( , ? ) 2 2
2

?r ? x ? y ?
2 2

3? ?1? ? ? ? 1 ? ? ? ?? ? 2 ?2? ? ? ?
2

y y 3 cos ? ? x ? 1 ? sin ? ? ? ? tan ? ? ? ? 3 r 2 r x 2

巩固训练
2. 已知角?的终边过点P(6sin 450 ,1), 求sin ?的值. 2 0 解: ? sin 45 ? , ? P(3 2,1) 2
?r ? x ? y ?
2 2

?3 2 ?

2

?1 ?
2

19

x 3 2 3 38 y 1 19 cos ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? r 19 r 19 19 19 1 2 y ? tan ? ? ? 6 x 3 2

4.确定三角函数值在各象限的符号 (课本P13)


_ (

+

y ) o )(

_ )x

+

y ( )( ) o x ( )( )

_ _

+ +

y ( )( ) o x ( ) ( )

_

+

+

_

当?为第一和第二象限角时 , sin ? ? 0 当?为第三和第四象限角时 , sin ? ? 0 当?为第一和第四象限角时 , cos? ? 0 当?为第二和第三象限角时 , cos? ? 0 当?为第一和第三象限角时 , tan? ? 0 当?为第二和第四象限角时 , tan? ? 0

y sin ? ? r

x cos ? ? r

y tan ? ? x

课本P15练习第6题

6.选择① sin ? ? 0, ② sin ? ? 0, ③ cos? ? 0, ④ cos? ? 0, ⑤ tan ? ? 0与⑥ tan ? ? 0中适当的关系式的序号填空:

(1)当角? 为第一象限角时, ① ③ ⑤ ,反之也对; (2)当角? 为第二象限角时, ① ④ ⑥ ,反之也对; (3)当角? 为第三象限角时, ② ④ ⑤ ,反之也对;
(4)当角? 为第四象限角时, ② ③ ⑥ ,反之也对;

课本P14 例4

(2) sin( ? ); (1) cos 250 ; 4 ? (3) tan(?672 ); (4) tan 3? . ? ? 解: (1) ? 250 是第三象限角,?cos 250 ? 0

例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算 器验证: ? ?

(2) ? ?

?

是第四象限角,? sin( ? ) ? 0 4 4
? ? ? ? ?

?

(3) ? ?672 = ? 2 ? 360 ? 48

??672 是第一象限角,? tan(?672 ) ? 0
(4) tan 3? ? tan(? ? 2? ) ? tan ? = 0

5.终边相同的角的同一三角函数的值相等 (公式一 )

sin(? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos ? tan(? ? k ? 2? ) ? tan ? 其中k ? Z

11? (3) tan(? ); 6 ? ? ? ? 8 ? 9 ? 解: (2) cos 4 ? cos( 4 )= cos( 4 ? 2? )=cos 4 = 11? (3) tan( ? ) ? tan( ? ?12? )= tan( ? ? 2? )= tan ? = 6 6 6 6
9? (2) cos ; 4

例5.求下列三角函数值: 课本P14 例5

2 2 3 3

课本P15 第7题(2)、(3)、(4)

31? 19? ? (2) tan ; (3)sin(?1050 ); (4) tan(? ); 3 4 ?= ? ? ? 18 ? 19 ? tan tan( ? 6 ? )= 解: (2) tan 3 ?tan( 3 )= 3 3
? ?
?

课本P15 第7题(2)、(3)、(4)

3

1 (3)sin(?1050? ) ? sin(30 ? 3 ? 360 )= sin 30 = 2 31? ? =1 ? 8 ? )= tan (4) tan(? ) ? tan( ? ?32? )= tan( ? 4 4
4

4

《测评》P8 例3 、活学活用2、课时跟踪 检测1、2、3、4、5

5 5.已知P(?2, y)是角?的终边上一点,且 sin ? ? ? ,求cos?的值. 5 2 解:∵P ? ?2, y ?,则r= ? ?2? ? y 2 ? 4 ? y 2

5 ?sin ? ? ?? 2 2 2 5 ? 4? y ? y ? ? 5 ? ? ?? 上式两边同时平方得 : ? ? ? 4 ? y2 ? ? 5 ? ? ? ? ? y2 1 2 2 2 ? ? 5 y ? 4 ? y ? y ? 1, y ? ?1, 2 4? y 5
∵sin ? ? 0

y

?y ? 0

? y ? ?1

? P ? ?2, ?1?,r= 5

2 x 2 5 ? ? ? cos ? ? ? ? r 5 5

1.任意角三角函数定义的推广
设角? 是一个任意角, P( x, y )是终边上异于原点 的任意一点, 点P与原点的距离r ? x2 ? y 2 ? 0

y 正弦 : sin ? ? r

x y 正切: tan ? ? 余弦 : cos ? ? r x

2.用单位圆定义任意角的三角函数
设?是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P( x, y) y sin ? ? y cos? ? x tan ? ? ( x ? 0) x

3.任意角三角函数的定义及其推广的应用 ①已知角? , 求三角函数值.
②已知角?终边上一点P( x, y),求三角函数值.

4.确定三角函数值在各象限的符号 (课本P13)


_ (

+

y ) o )(

_ )x

+

y ( )( ) o x ( )( )

_ _

+ +

y ( )( ) o x ( ) ( )

_

+

+

_

当?为第一和第二象限角时 , sin ? ? 0 当?为第三和第四象限角时 , sin ? ? 0 当?为第一和第四象限角时 , cos? ? 0 当?为第二和第三象限角时 , cos? ? 0 当?为第一和第三象限角时 , tan? ? 0 当?为第二和第四象限角时 , tan? ? 0

y sin ? ? r

x cos ? ? r

y tan ? ? x

5.终边相同的角的同一三角函数的值相等 (公式一 )

sin(? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos ? tan(? ? k ? 2? ) ? tan ?

其中k ? Z

随堂训练 1.若sin ? ? 0, tan ? 0, 则?是第 三 象限角

2.若?是第二象限角,则sin ? ? cos ?的符号是? ??是第二象限角 ?sin ? ? 0,cos ? ? 0 ? sin ? ? cos ? ? 0 3.若?是第二象限角,则点P(sin ? ,cos? )在第 四 象限.
4.sin 2 ? cos 2的符号是?

? 2 ? 2 ? 57.3 ? 114.6 ? 2是第二象限角
? sin 2 ? cos 2 ? 0

?

?

?sin 2 ? 0,cos 2 ? 0



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