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【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第二章 函数 12 实际问题的函数建模考点规范练 文 北师大版


考点规范练 12

实际问题的函数建模

考点规范练 B 册第 7 页 基础巩固组 1.(2015 广州模拟)在某个物理实验中,测量得变量 x 和变量 y 的几组数据,如下表:

x

0.5 0.9 2.0 3.9 0 9 1 8 1 8 0

0.0 0.9 2.0 y0.9
9 则对 x,y 最适合的拟合函数是(
2

)

A.y=2x B.y=x -1 C.y=2x-2 D.y=log2x 答案:D 解析:根据 x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除 A;根据 x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除 B,C; 将各数据代入函数 y=log2x,可知满足题意.故选 D. 2.某家具的标价为 132 元,若降价以九折出售(即优惠 10%),仍可获利 10%(相对进货价),则该家具 的进货价是( ) A.118 元 B.105 元 C.106 元 D.108 元 答案:D 解析:设进货价为 a 元,由题意知 132×(1-10%)-a=10%·a,解得 a=108.故选 D. 3.某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台,第二个月销售 200 台,第三个月销售 400 台,第四 个月销售 790 台,则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数 x 之间关系的是( ) 2 A.y=100x B.y=50x -50x+100 x C.y=50×2 D.y=100log2x+100 答案:C 解析:根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型. 4.(2015 北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租 70 套相同的公寓房.当每套房月租金定为 3 000 元时,这 70 套公寓能全租出去;当月租金每增加 50 元时(设月租金均为 50 元的整数倍),就会多一 套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费 100 元的日常维修等费用(设租不出的房子 不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为( ) A.3 000 元 B.3 300 元 C.3 500 元 D.4 000 元?导学号 32470730? 答案:B 解析:由题意,设利润为 y 元,租金定为(3 000+50x)元(0≤x≤70,x∈N), 则 y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2 900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤50=204 800, 当且仅当 58+x=70-x,即 x=6 时,等号成立, 故每月租金定为 3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选 B. 5.(2015 山东青岛模拟)世界人口在过去 40 年内翻了一番,则每年人口平均增长率是(参考数据 lg 0.007 5 2≈0.301 0,10 ≈1.017)( ) A.1.5% B.1.6% C.1.7% D.1.8% 答案:C 40 解析:设每年人口平均增长率为 x,则(1+x) =2,两边取以 10 为底的对数,则 40lg(1+x)=lg 2,所以 0.007 5 lg(1+x)=≈0.007 5,所以 10 =1+x,得 1+x=1.017,所以 x=1.7%. 6.(2015 广东深圳二模)某校甲、乙两食堂某年 1 月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并 且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知本年 9 月份两食 堂的营业额又相等,则本年 5 月份( ) A.甲食堂的营业额较高 B.乙食堂的营业额较高 C.甲、乙两食堂的营业额相同 1

D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 答案:A 解析:设甲、乙两食堂 1 月份的营业额均为 m,甲食堂的营业额每月增加 a(a>0),乙食堂的营业额每 8 月增加的百分率为 x,由题意可得,m+8a=m×(1+x) ,则 5 月份甲食堂的营业额 y1=m+4a,乙食堂的营 4 2 2 业额 y2=m×(1+x) =,因为=(m+4a) -m(m+8a)=16a >0,所以 y1>y2,故本年 5 月份甲食堂的营业额较高. 7.(2015 河南安阳模拟)某工厂生产某种产品,固定成本为 2 000 万元,并且每生产一单位产品,成本 2 增加 10 万元,又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数,K(Q)=40Q-Q ,则总利润 L(Q)的最大值是 万元.?导学号 32470731? 答案:2 500 2 解析:由已知得 L(Q)=K(Q)-10Q-2 000=-10Q-2 000=-(Q-300) +2 500, 所以当 Q=300 时,L(Q)max=2 500(万元). 8.一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一 半时,所用时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩 余面积为原来的. (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年? 10 10 解:(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0<x<1),则 a(1-x) =a,即(1-x) =, 解得 x=1-.故每年砍伐面积的百分比为 1-. m (2)设经过 m 年剩余面积为原来的,则 a(1-x) =a, 即,解得 m=5. 故到今年为止,已砍伐了 5 年. (3)设从今年开始,最多还能砍伐 n 年, n 则 n 年后剩余面积为 a(1-x) . n n 令 a(1-x) ≥a,即(1-x) ≥, ,解得 n≤15. 故今后最多还能砍伐 15 年. 能力提升组 9.(2015 四川,文 8)某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:℃)满足函数关系 y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时,在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 ℃的保鲜时间是( ) A.16 小时 B.20 小时 C.24 小时 D.28 小时?导学号 32470732? 答案:C kx+b 解析:由题意,得(0,192)和(22,48)是函数 y=e 图像上的两个点, 所以 22k b 由②得,48=e ·e ,③ 22k 11k 2 把①代入③得 e =,即(e ) =, 11k 所以 e =. 11k 3 b 所以当储藏温度为 33 ℃时,保鲜时间 y==(e ) ·e =×192=24(小时).

10.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在 P 处有一棵树与两墙的距离分别是 a m(0<a<12),4 m, 不考虑树的粗细.现在用 16 m 长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃 ABCD.设此矩形花圃的面积 2 为 S m ,S 的最大值为 f(a),若将这棵树围在花圃内,则函数 u=f(a)的图像大致是( )

答案:C 2

解析:设 CD=x m,则 AD=(16-x) m,由题意可知解得 4<x<16-a,矩形花圃的面积 S=x(16-x),其最大值 f(a)=故其图像为 C.

11.(2015 长春模拟)一个容器装有细沙 a cm ,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t -bt 3 min 后剩余的细沙量为 y=ae (cm ),经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一. 答案:16 解析:当 t=0 时,y=a,当 t=8 时,y=aa, ∴e-8b=,容器中的沙子只有开始时的八分之一时, -bt -bt -8b 3 -24b 即 y=ae =a,e ==(e ) =e , 则 t=24,所以再经过 16min,容器中的沙子只有开始时的八分之一. 12.

3

某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的一段抛物线,已知跳水板 AB 长为 2 m,跳 水板距水面 CD 的高 BC 为 3 m.为安全和空中姿态优美,训练时跳水曲线应在离起跳点 A 处水平距 h m(h≥1)时达到距水面最大高度 4 m.规定:以 CD 为横轴,BC 为纵轴建立直角坐标系. (1)当 h=1 时,求跳水曲线所在的抛物线方程; (2)若跳水运动员在区域 EF 内入水时才能达到比较好的训练效果,求此时 h 的取值范围. 解:如图,由题意,最高点为(2+h,4)(h≥1).

设抛物线方程为 y=a[x-(2+h)] +4. ①当 h=1 时,最高点为(3,4),抛物线方程为 y=a(x-3)2+4.(*) 将点 A(2,3)代入(*)式得 a=-1. 2 即所求抛物线的方程为 y=-x +6x-5. ②将点 A(2,3)代入 y=a[x-(2+h)]2+4, 2 得 ah =-1. 2 由题意,得方程 a[x-(2+h)] +4=0 在区间[5,6]内有一解. 2 令 f(x)=a[x-(2+h)] +4 2 =-[x-(2+h)] +4, 则 解得 1≤h≤. 答:达到比较好的训练效果时的 h 的取值范围是

2

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