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《数学归纳法》导学案


第 5 课时 数学归纳法
1.使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质. 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命 题.

多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块骨牌之间有恰当的距离时,第一 块倒下,就会使第二块倒下,第二块倒下就会导致第三块倒下,??以致很多都会倒下!如果我 们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推倒了第一块骨牌,后面的骨牌就 不会都倒下了.如果第一块骨牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的.

问题 1:要使得所有骨牌全都倒下须满足的条件 (1) ; (2) . 问题 2:数学归纳法:证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行 (1)(归纳奠基)证明当 n 取 时命题成立; (2)(归纳递推)假 设

.

问题 3:数学归纳法是一种只适用于与 有关的命题的证明方法,第一步是递推 的“ ”,第二步是递推的“ ”,两个步骤缺一不可. 问题 4:在证明过程中要防范以下两点 (1)第一步验证 n=n0 时,n0 不一定为 1,要根据题目要求 . (2)第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在证明 n=k+1 时,命题也成立的过程中 一定要用 ,否则就不是数学归纳法.

1.用数学归纳法证明等式 1+2+3+?+(n+3)= ( ).

( +3)( +4) 2

(n∈N+),验证 n=1 时,左边应取的项是

A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4 2.某个命题与自然数 n 有关,若 n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当 n=k+1 时该命题也成立, 现已知 n=5 时,该命题不成立,那么可以推得( ). A.n=6 时该命题不成立 B.n=6 时该命题成立 C.n=4 时该命题不成立 D.n=4 时该命题成立

3.用数学归纳法证明不等式 增加的式子是

1

+1 +2

+

1

+?+ + >24的过程中,由 n=k 推导 n=k+1 时,不等式的左边

1

13

.
1 +1 +2

4.若 n 为大于 1 的自然数,求证:

+

1

+?+2 >24.

1

13

用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明:1-2+3-4+?+2 -1-2 = +1+ +2+?+2 (n∈N+).
1 1 1 1 1 1 1 1

用数学归纳法证明不等式 求证:
1 +1 +2

+

1

+?+3 >6(n≥2,n∈N+).

1

5

归纳—猜想—证明 已知数列{an}满足 Sn+an=2n+1(n∈N+). (1)写出 a1,a2,a3, 并推测 an 的表达式. (2)用数学归纳法证明所得的结论.

用数学归纳法证明:对任意的 n∈N+,1×3+3×5+?+(2 -1)(2 +1)=2 +1.

1

1

1



若 n∈N+且 n≥5,求证:2 >n .
n
2

已知数列{an}的第一项 a1=5 且 Sn-1=an(n≥2,n∈N+). (1)求 a2,a3,a4,并由此猜想 an 的表达式; (2)用数学归纳法证明(1)的猜想.

1.用数学归纳法证明不等式 1+2+4+?+

1 1

1

2 -1

> 64 (n∈N+)成立,其初始值至少应取(

127

).

A.7 B.8 C.9 D.10 n n 2.用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,x +y 能被 x+y 整除”,在第二步时,正确的证法是 ( ). A.假设 n=k(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 B.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+1 命题成立 C.假设 n=2k+1(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 D.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+2 命题成立

3.用数学归纳法证明22 +32 +?+( +1)2 >2- +2.假设 n=k 时,不等式成立.则当 n=k+1 时,应推证的 目标不等式是 4.证明:6
2n-1

1

1

1

1

1

.

+1 能被 7 整除(n∈N+).

(2014 年·安徽卷)设实数 c>0,整数 p>1,n∈N+. p (1)证明:当 x>-1 且 x≠0 时,(1+x) >1+px. (2)数列{an}满足 a1> ,an+1=
1

-1

an+ .证明:an>an+1> .



1-

1

答案 第 5 课时 数学归纳法 知识体系梳理 问题 1:(1)第一块骨牌倒下 (2)任意两块相邻骨牌,只要前一块倒下,后一块必定倒下 问题 2:(1)第一个值 n0(n0∈N+) (2)当 n=k(k≥n0,k∈N+)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也 成立 问题 3:正整数 基础 依据 问题 4:(1)选择合适的起始值 (2)n=k 成立的结论 基础学习交流 1.D n=1 时,n+3=4. 2.C 其逆否命题“若当 n=k+1 时该命题不成立,则当 n=k 时也不成立”为真,故 n=5 时不成立 可知 n=4 时不成立. 3.
1 (2 +1)(2 +2)

不等式的左边增加的式子是
1

1

2 +1 2 +2 +1 (2 +1)(2 +2)

+

1

-

1

=

1

,故填

1

(2 +1)(2 +2)

.

4.解:(1)当 n=2 时,

2+1 2+2 12 24

+

1

= > ,不等式成立.
1 1 1 13

7

13

(2)假设当 n=k 时原不等式成立,即 +1+ +2+?+2 >24,则当 n=k+1 时,左边

= +2+ +3+?+2 +2 +1+2 +2+ +1- +1>24+2 +1+2 +2- +1=24+2 +1-2 +2=24+2(2 +1)( +1)>24.即当 n=k+1 时,原不等式成立.由(1)(2)可知,所证的不等式成立.
重点难点探究 探究一:【解析】①当 n=1 时,左边=1- = ,右边=
2 2 1 1 1 1 1 1 1+1 2 1

1

1

1

1

1

1

1

13

1

1

1

13

1

1

13

1

13

= .左边=右边,等式成立.
1 1 1 1

1

②假设当 n=k(k≥1)时等式成立,即 1-2+3-4+?+2 -1-2 = +1+ +2+?+2 ,
则当 n=k+1 时, (1-2+3-4+?+2 -1-2 )+(2 +1-2 +2)
1 1 1 1 1 1 1

=( +1+ +2+?+2 )+(2 +1-2 +2) = +2+ +3+?+2 +1+2 +2 =( +1)+1+( +1)+2+?+( +1)+ +2( +1).
即当 n=k+1 时,等式也成立. 综合①和②可知,对一切正整数 n,等式都成立. 【小结】用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题,关键在于“看项”,弄清等式 两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与 n 的取值是否有关,由 n=k 到 n=k+1 时, 等式两边会增加多少项,增加了怎样的项. 探究二:【解析】①当 n=2 时,左边=3+4+5+6>6,不等式成立.
1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1

1

1

1

1

1

②假设 n=k(k≥2,k∈N+)时命题成立,
即 +1+ +2+?+3 >6,
1 1 1 5

则当 n=k+1 时,( +1)+1+( +1)+2+?+3 +3 +1+3 +2+3( +1)

1

1

1

1

1

1

= +1+ +2+?+3 +(3 +1+3 +2+3 +3- +1)>6+(3 +1+3 +2+3 +3- +1)>6+(3×3 +3- +1)=6. ∴当 n=k+1 时,不等式也成立. 由①②可知,原不等式对一切 n≥2,n∈N+均成立. 【小结】 利用数学归纳法推导 n=k+1 时也成立,证明不等式的常用方法:比较法、 分析法、 综合法及放缩法等,均要灵活地选用.
探究三:【解析】(1) 由 Sn+an=2n+1 得 a1=2,a2=4,a3= 8 .
3 7 15

1

1

1

1

1

1

1

5

1

1

1

1

5

1

1

5

∴猜想:an=

2 +1 -1 2

=2-2 .
1 1 1

1

(2)当 n=1 时显然成立. 假设 n=k 时命题成立,即 ak=2-2 ,所以 Sk=2k+1-ak=2k+1-(2-2 )=2k+2 -1. 则当 n=k+1 时,因为 Sk+1+ak+1=2(k+1)+1, 所以 ak+1=2(k+1)+1-Sk+1=2(k+1)+1-[2(k+1)-1+2 +1 ]=2-2 +1 成立.所以当 n=k+1 时命题成立. 所以猜想恒成立. [问题]上述证明过程正确吗? [结论]我们先猜想 an,根据 an 得到 Sn,上述证明过程中为了求 ak+1 先代入了 Sk+1 的值,出现了 循环证明. 正确解法如下: (1)由 Sn+an=2n+1 得 a1= ,a2= ,a3= ,
2 4 8 3 7 15 1 1

∴猜想:an=

2 +1 -1 2

=2-2 .
1 1 1

1

(2)当 n=1 时成立. 假设 n=k 时命题成立,即 ak=2-2 ,所以 Sk=2k+1-ak=2k+1-(2-2 )=2k+2 -1, 则当 n=k+1 时,Sk+1+ak+1=2(k+1)+1,所以 Sk+2ak+1=2(k+1)+1, 所以 ak+1=(k+1)+2-2Sk=(k+1)+2-2(2k+2 -1)=2-2 +1 成立.所以当 n=k+1 时命题成立. 所以猜想对一切 n∈N+恒成立. 【小结】在用数学归纳法证明第二步当 n=k+1 时命题成立,必须用上归纳假设. 思维拓展应用 应用一:(1)当 n=1 时,左边=
1 1×3 3 1 1 1 1 1 1

= ,右边2×1+1=3,左边=右边,所以等式成立.


1

1

1

(2)假设当 n=k(k∈N+且 k≥1)时等式成立, 即有1×3+3×5+?+(2 -1)(2 +1)=2 +1, 则当 n=k+1 时,
1 1×3 3×5 1 1 1 1 1 1

+

+?+(2 -1)(2 +1)+(2 +1)(2 +3)
1 (2 +3)+1

=2 +1+(2 +1)(2 +3)=(2 +1)(2 +3)

=(2 +1)(2 +3)=2 +3=2( +1)+1,
所以当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对一切 n∈N+等式都成立. 5 2 应用二:(1)当 n=5 时,2 >5 ,不等式成立. k 2 (2)假设 n=k(k≥5,k∈N+)时,2 >k . k+1 k k k 2 2 2 2 则当 n=k+1 时,2 =2·2 =2 +2 >k +k >k +2k+1=(k+1) , 即 n=k+1 时不等式成立. n 2 由(1)(2)知,当 n∈N+且 n≥5 时,不等式 2 >n 成立. 应用三:(1)a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10, a4=S3=a1+a2+a3=5+5+10=20, n-2 猜想 an=5×2 (n≥2,n∈N+). 2-2 (2)①当 n=2 时,a2=5×2 =5,猜想成立. ②假设 n=k 时成立,即 ak=5×2k-2(k≥2,k∈N+), 当 n=k+1 时,由已知条件和假设有

2 2 +3k+1

+1

+1

ak+1=Sk=a1+a2+?+ak=5+5+10+?+5×2k-2=5+

5(1-2 -1 ) 1-2

=5×2k-1,

故 n=k+1 时猜想也成立. n-2 由①②可知,对 n≥2,n∈N+有 an=5×2 . 基础智能检测 1.B 2.D
1 2

左边=1+ + +?+
2 4

1 1

2

= -1

1

1-

1 2 1 12

=2-

1 2 -1

,代入验证可知 n 的最小值是 8.

A、B、C 中,k+1 不一定表示奇数,只有 D 中 k 为奇数,k+2 为奇数.
1 1 1 3 ( +1)2 ( +2)2 2 +3 1 1

3. 2 + 2 +?+ 2 +
1 1 2 3

+

1

>1

1

1

将 n=k+1 代入左边的式子时,最后一项为
1 1

1

( +2)2

,则左边的

式子为 2 + 2 +?+ 2 +


( +1)2 ( +2)2

+

,右边的式子为 -

2 +3

.

4.解:(1)当 n=1 时,6 +1=7 能被 7 整除. 2k-1 (2)假设当 n=k(k∈N+)时,6 +1 能被 7 整除. 2(k+1)-1 那么当 n=k+1 时,6 +1=62k-1+2+1=36(62k-1+1)-35. ∵62k-1+1 能被 7 整除,35 也能被 7 整除, ∴当 n=k+1 时,62(k+1)-1+1 能被 7 整除. 由(1)(2)知命题成立. 全新视角拓展 解:(1)用数学归纳法证明. ①当 p=2 时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立. ②假设当 p=k(k≥2,k∈N+)时,不等式(1+x)k>1+kx 成立. k+1 k 2 则当 p=k+1 时,(1+x) =(1+x)(1+x) >(1+x)·(1+kx)=1+(k+1)x+kx >1+(k+1)x. 所以当 p=k+1 时,原不等式也成立. p 综合①②可得,当 x>-1,x≠0 时,对一切整数 p>1,不等式(1+x) >1+px 均成立.
2-1

(2)(法一)先用数学归纳法证明 an> .

1

①当 n=1 时,由题设知 a1> 成立. ②假设当 n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式 ak> 成立.
1

1

由 an+1=

-1

an+ 易知 an>0,n∈N+.
+1 -1



1-

则当 n=k+1 时,
1

=



+ =1+ ( -1).


-

1

由 ak> >0 得-1<- < ( -1)<0.

p

1 1

由(1)中的结论得(


+1

) =[1+ ( -1)] >1+p· ( -1)= .
p

1

1









因此 +1 >c,即 ak+1> . 所以当 n=k+1 时,不等式 an> 也成立. 综合①②可得,对一切正整数 n,不等式 an> 均成立. 再由
+1
1 1

1

=1+ ( -1)可得
1

1

+1

<1,即 an+1<an.

综上所述,an>an+1> ,n∈N+. (法二)设 f(x)=
-1

x+ x1-p,x≥ ,则 xp≥c,并且 f'(x)= + (1-p)x-p= (1- )>0,x> .
1



1

-1

-1



1

由此可得,f(x)在[ ,+∞)上单调递增, 因而,当 x> 时,f(x)>f( )= .
①当 n=1 时,由 a1> >0,即1 >c 可知 a2= a1+ 1 =a1[1+ ( -1)]<a1,并且 a2=f(a1)> ,从而
1 1 1 1 1

-1



1-

1

1

a1>a2> .
故当 n=1 时,不等式 an>an+1> 成立.
1

1

②假设当 n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式 ak>ak+1> 成立,
则当 n=k+1 时,f(ak)>f(ak+1)>f( ),即有 ak+1>ak+2> . 所以当 n=k+1 时,原不等式也成立. 综合①②可得,对一切正整数 n,不等式 an>an+1> 均成立.
1 1 1

1


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