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高中数学基础知识强化记忆5


专题五:概率与统计
一、概率
1、随机事件的概率及概率的意义 (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出 现的次数 nA 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例 f n ( A) ?

nA 为事件 A 出现的概率:对于给定的随 n

机事件 A, 如果随着试验次数的增加, 事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上, 把这个常数记作 P (A) , 称为事件 A 的概率。 (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值

nA , n

它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小。我 们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复 试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 2、随机事件及其概率: ⑴事件:试验的每一种可能的结果,用大写英文字母表示; ⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点; ⑶随机事件 A 的概率: P( A) ?
m ,0 ? P( A) ? 1 . n

3、古典概型: ⑴基本事件:一次试验中可能出现的每一个基本结果; ⑵古典概型的特点:①所有的基本事件只有有限个;②每个基本事件都是等可能发生。 ⑶古典概型概率计算公式:一次试验的等可能基本事件共有 n 个,事件 A 包含了其中的 m 个基本事件,则 事件 A 发生的概率 P( A) ? 4、几何概型: (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称 这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的特点:①所有的基本事件是无限个;②每个基本事件都是等可能发生。 (3)几何概型概率计算公式: P( A) ? 积等。 P( A) ?
d的测度 ;其中测度根据题目确定,一般为线段、角度、面积、体 D的测度

m A包含的基本事件数 n 总的基本事件个数

构成事件A的区域长度(面积或体积) ; 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

5、概率的基本性质:1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1;
1

2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);如果事件 A1 , A2 , ? , An 彼此互斥,则有:
P( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An )

3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B); 事件 A 的对立事件记作 A P( A) ? P( A) ? 1, P( A) ? 1 ? P( A) 4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生,其具 体包括三种不同的情形: (1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生且事件 B 发生; (3)事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形; (1)事件 A 发生 B 不发生; (2)事件 B 发生事件 A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。

二、统计
1、抽样方法:①简单随机抽样(总体个数较少)②系统抽样(总体个数较多)③分层抽样(总体中差异 n 明显)注意:在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本,每个个体被抽到的机会(概率)均为 。 N 2、总体分布的估计: ⑴一表二图:①频率分布表——数据详实②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察 总体分布趋势 注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。 ⑵茎叶图:①茎叶图适用于数据较少的情况,从中便于看出数据的分布,以及中位数、众位数等。 ②个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大书写,相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计: x ? x ? x ? ?? xn ⑴平均数: x ? 1 2 3 ; n 取值为 x1 , x 2 , ? , x n 的频率分别为 p1 , p 2 , ? , p n ,则其平均数为 x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? x n p n ; 注意:频率分布表计算平均数要取组中值。 ⑵方差与标准差:一组样本数据 x1 , x 2 , ? , x n 方差: s 2 ?
1 n

?
i ?1

n

2

( xi ? x) ;标准差: s ?

1 n

?
i ?1

n

2

( x i ? x) 注:方差与标准差越小,说明样本数据越稳定。

平均数反映数据总体水平;方差与标准差反映数据的稳定水平。 三、统计案例回归分析 1、变量之间的两类关系:函数关系与相关关系;②制作散点图,判断线性相关关系
n ? xi yi ? nx y ? ? i ?1 ? ? ?b ? n 2 注意:线性回归直线经过定点 ( x, y ) 。 2、线性回归方程: y ? bx ? a (最小二乘法) ? xi2 ? nx ? ? i ?1 ? ? ? a ? y ? bx

3、相关系数: r ?

?? x
i ?1 n i ?1

n

i

? x ?? yi ? y ?
2 n

? ? xi ? x ? ? ? yi ? y ?
i ?1

?
2

? x y ? nxy
i ?1 i i n ? n 2 2 ?? 2 2? x ? nx ? ? i ? ?? yi ? ny ? ? i ?1 ?? i ?1 ?

n

3、利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量 x)代入回归方程对预报量(即因变量 Y)进行估计。
2


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