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数学竞赛辅导题--导数与微分


导数与微分
题型一 利用函数的定义研究函数的可导性 1. 其中 g ( x) 有二阶导数,求 f ′( x) 。
2.

x? π ? 设 f ( x) = lim t 2 sin ? g ( x + ) ? g ( x) ? , t →∞ t? t ?

设 函 数 f ( x) 对 任 意 x 均 满 足 等 式
f (1 + x) = af ( x) ,且有 f ′(0) = b ,求 f ′(1) 。

3. 设 f ( x) 可导, F ( x) = f ( x) (1 + sin x ) ,若使 F ( x) 在 x = 0 处可导,则必有


( A) ( D)

) 。
f (0) = 0 f (0) ? f ′(0) = 0 。 ( B) f ′(0) = 0 (C ) f ′(0) + f (0) = 0

题型二

利用函数的导数求曲线的切线和法线方程

4. 已知 f ( x) 是周期为 5 的连续函数,它在 x = 0 的某个领域内满足关系式 f (1 + sin x) ? 3 f (1 ? sin x) = 8 x + o( x) ,其中 o( x) 是当 x → 0 时比 x 高阶的无穷

小,且 f ( x) 在 x = 1 处可导,求曲线 y = f ( x) 在点 ( 6, f (6) ) 处的切线方程。
? x = et sin 2t ? 5. 求曲线 ? 在点 (0,1) 处的法线方程。 t ? y = e cos t ?

题型三

求复合函数的导数及抽象函数的导数 1 6. 设 y = cos( x 2 ) sin 2 ,求 y′ 。 x d2y 。 dx 2

7. 设 y = sin[ f ( x 2 )] ,其中 f 具有二阶导数,求

题型四 求隐函数的导数(或可化为隐函数的求导问题)
8. 设函数 y = y ( x) 是由 xe f ( y ) = e y 确定的,其中 f 具有二阶导数,且 f ′ ≠ 1 ,求

d2y 。 dx 2
9. 已知 y = f ( x + y ) ,其中 f ( x) 为二阶可微函数,求

d2y 。 dx 2

1

10.设 y = 3 1 + 3 1 + 3 x ,求 题型五

dy 。 dx

求幂指函数和连乘函数的导数
x a b

?a? ?b? ? x? 11.设 y = ? ? ? ? ? ? , (a > 0, b > 0) ,求 y′ 。 ?b? ? x? ?b?

题型六 混合形式的函数的导数

? x = arctan t dy 12.设函数 y = y ( x) 由 ? 所确定,求 。 2 t dx ?2 y ? ty + e = 5
题型七 求函数的高阶导数
13.设 y = (2 x 2 + x + 1)e 2 x ,求 y (100) 。 14.设 f ( x) = x 4 x ,求使 f ( n ) (0) 存在的最大的 n 。 15.设 f ( x) = ( x ? a )n ? ( x) ,其中 ? ( x) 在 x = a 由 n ? 1 阶连续导数,求 f ( n ) (a ) 。

第三章 题型一 证明存在 ξ ,

微分中值定理与导数的应用

使 f (ξ ) = 0 的命题。

1.设 f ( x ) 在 [ a, +∞) 上连续,当 x > a 时, f ′( x ) > K > 0 ( K 为常数) 。试证明:若
f (a) ? ? f ( a ) < 0 ,则方程 f ( x ) = 0 在 ? a, a ? ? 上有且仅有一个实根。 K ? ? 2.

设 函 数

f (x ) 在 闭 区 间 [ a, b] 上 具 有 二 阶 导 数 , 且

f ( a ) = f (b) = f (c ) , ( a < c < b) 。

证明:在开区间 a, b) ( 内至少存在一点 ξ 使得 f ′′(ξ ) = 0 。 题型二 证明结论为 f ( n ) (ξ ) = 0 的命题

3.若 f (x) 在区间 [0, 上有三阶导数, f (1) = 0 , F ( x) = x 3 f ( x) , 1] 且 设 证明: (0, 在 1 ) 内存在一点 ξ ,使得 F ′′′(ξ ) = 0 。 4. 设函数 f ( x), g ( x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内具有二阶导数且存在相等的最大
值,且 f (a) = g (a), f (b) = g (b) ,证明:存在 ξ ∈ (a, b) ,使得 f ′′(ξ ) = g ′′(ξ ) 。 题型三 证明存在 ξ ,使 f ( n ) (ξ ) = k
( k ≠ 0)

2

5. 设 f ( x) 在 [0,1] 内上连续,在 (0,1) 内可导,且 f (0) = 0 ,但当 x ∈ (0,1) 时,

f ( x) > 0 ,求证对任意自然数 n ,在 (0,1) 内存在 ξ ,使

nf ′(ξ ) f ′(1 ? ξ ) = 。 (提 f (ξ ) f (1 ? ξ )
n

两边积分后, 可作出辅助函数 F ( x) = [ f ( x)] f (1 ? x) ) 。 示: 将所证结论中 ξ 改为 x , 6. 假设函数 f ( x) 和 g ( x) 在 [a, b] 存在二阶导数,并且 g ′′( x) ≠ 0,

f (a) = f (b) = g (a) = g (b) = 0 ,试证: (1)在开区间 (a, b) 内 g ( x) ≠ 0 ;
(2)在开区间 (a, b) 内至少存在一点 ξ ,使 题型四

f (ξ ) f ′′(ξ ) = 。 g (ξ ) g ′′(ξ )

证明有两个中值 ξ ,η (ξ ≠ η ) 满足的某种关系的命题

7. 设 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续,在 ( a, b) 内可导,且 f (a ) = f (b) = 1 ,试证 :存在

ξ , η ∈ (a, b) ,使得 eη ?ξ [ f (η ) + f ′(η )] = 1.
? ?′ (提示:将要证结论改写为 eη [ f (η ) + f ′(η )] = eξ . 即证 ?e x f ( x)?
令 F ( x) = ex f ( x) ,对其应用拉格朗日中值定理。 ) 8. 设 f ( x) 在闭区间 [0,1] 上可导,且满足关系式 f (1) = 2 ∫ 2 xf ( x)dx ,证明在区间
0
1

x =η

= eξ . 。

(0,1) 内 至少存在一点 ξ ,使得 f (ξ ) + ξf ′(ξ ) = 0 。 题型五 证明函数的单调性和求单调区间

9. 设函数 f (x) 在 [0,1] 上, f ′′′( x) > 0 且 f ′′(0) = 0 ,则 f ′(1) , f ′(0) f (1) ? f (0) , f (0) ? f (1) 的大小顺序是( (A) f ′(1) > f ′(0) > f (1) ? f (0) (C ) f (1) ? f (0) > f ′(1) > f ′(0) (B) ) f ′(1) > f (1) ? f (0) > f ′(0)

(D) f ′(1) > f (0) ? f (1) > f ′(0)

10. 设函数 f (x) 对一切 x 满足, f ′′( x) + 3 x[ f ′( x)] 2 = 1 ? e ? x , f ′( x0 ) = 0, ( x 0 ≠ 0) x 若 则( )

3

(A) f ( x0 ) 是 f (x) 的极大值

(B)

f ( x0 ) 是 f (x) 的极小值

(C ) 点 ( x0 , f ( x 0 ) 是曲线 y = f (x) 的拐点 题型六 关于不等式的证明

(D) f ( x0 ) 不是 f (x) 的极值

12. 设 f ( x ) 在 [0,1] 上具有二阶导数, 且满足条件 f ( x) ≤ a, f ′′( x ) ≤ b , 其中 a, b 都

b 是非负常数,证明:对任意 x ∈ (0,1), 必有 f ′( x) ≤ 2a + . 2
(提示: f (t ) = f ( x ) + f ′( x)(t ? x ) + 注意
x ∈ (0,1), (1 ? x) 2 + x 2 ≤ 1. )

f ′′(ξ ) (t ? x) 2 再将 t = 0, t = 1 分别代入相减。并 2!

13. 设 x > 0 ,常数 a > e ,证明 (a + x) a < a a + x 。 14. 证明:当 0 < x < 1 时,
1? x < e ?2 x 。 1+ x

15. 设常数 k > ln 2 ? 1 ,证明:当 x > 0 且 x ≠ 1 时,( x ? 1) ( x ? ln 2 x + 2k ln x ? 1) > 0 。

4


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