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三角函数图像与应用


1 对 4 教案
学员姓名:金泽延+诸陶然+郑浩文+宗凯乐 辅导科目:数学 课程主题:三角函数图像与应用 学习目标 年 级:高一

学科教师:周福兵 授课时间:2017.12.17 18:20-20:20

1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象. 教学内容

知识精讲:
一、三角函数的图象与性质(一)

1.正弦曲线、余弦曲线

2.“五点法”画图 画正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π]的图象,五个关键点是________________; 画余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π]的图象,五个关键点是________________________. 3.正、余弦曲线的联系 π π 依据诱导公式 cos x=sin?x+2?,要得到 y=cos x 的图象,只需把 y=sin x 的图象向________平移2

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1

个单位长度即可.

一、填空题 1.函数 y=sin x 的图象的对称中心的坐标为________. 2.函数 f(x)=cos x+1 的图象的对称中心的坐标是________. π 3.函数 y=sin x,x∈R 的图象向右平移2个单位后所得图象对应的函数解析式是__________. 4.函数 y= 2cos x+1的定义域是________________. 5.函数 y=|sin x|的图象的对称轴方程是________. 6.方程 x2-cos x=0 的实数解的个数是________. 7.设 0≤x≤2π,且|cos x-sin x|=sin x-cos x,则 x 的取值范围为________. 8.在(0,2π)内使 sin x>|cos x|的 x 的取值范围是________. 9.方程 sin x=lg x 的解的个数是________. 10.若函数 y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的 面积是______. 二、解答题 11.分别作出下列函数的图象. (1)y=|sin x|,x∈R; (2)y=sin|x|,x∈R.

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永恒

2

12.作出下列函数的图象,并根据图象判断函数的周期性: 1 1 (1)y=2(cos x+|cos x|);(2)y=|sin x+2|.

能力提升 13.求函数 f(x)=lg sin x+ 16-x2的定义域.

14.函数 f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,求 k 的取值 范围.

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永恒

3

1.正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用,是运用数形结合思想解决三 角函数问题的基础. 2.五点法是画三角函数图象的基本方法,要熟练掌握,与五点法作图有关的问题是高考常考知识 点之一.

二、三角函数的应用

1.三角函数的周期性 y=Asin(ωx+φ) (ω≠0)的周期是 T=________; y=Acos(ωx+φ) (ω≠0)的周期是 T=________; y=Atan(ωx+φ) (ω≠0)的周期是 T=________. 2.函数 y=Asin(ωx+φ)+k (A>0,ω>0)的性质 (1)ymax=________,ymin=________. (2)A=________________,k=________________. (3)ω 可由________________确定,其中周期 T 可观察图象获得. (4)由 ωx1+φ=________,ωx2+φ=________,ωx3+φ=________,ωx4+φ=________,ωx5+φ= ________中的一个确定 φ 的值. 3.三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期 变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.

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4

一、填空题 1.

如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s cm 和时间 t s 的函数关系式为 s= π 6sin?100πt+6?,那么单摆来回摆动一次所需的时间为________ s. ? ? 2.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上,按月呈 f(x)=Asin(ωx+φ)+ π b?A>0,ω>0,|φ|<2?的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 9 千元,7 月份价格最低为 5 千 ? ? 元,根据以上条件可确定 f(x)=______. m π 2 3 3.函数 y=2sin? 3 x+3?的最小正周期在?3,4?内,则正整数 m 的值是________.

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4.设某人的血压满足函数式 p(t)=115+25sin(160πt),其中 p(t)为血压(mmHg),t 为时间(min),则 此人每分钟心跳的次数是________. 5.一根长 l cm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移 s(cm)与 时间 t(s)的函数关系式时 s=3cos? 线长 l 等于______. 6.如图是一个示波器显示的由简易发电机产生的交流电的电压的变化,则电压 V 关于时间 t 的函 数关系式为________.

? ?

g π? t+ ?,其中 g 是重力加速度,当小球摆动的周期是 1 s 时, l 3?

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5

7.设 y=f(t)是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数,其中 0≤t≤24.下表是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系:

t y

0 1 2

3 15. 1

6 12. 1

9 9. 1

12 11. 9

15 14. 9

18 11. 9

21 8. 9

24 12. 1

经长期观察,函数 y=f(t)的图象可以近似地看成函数 y=k+Asin(ωt+φ)的图象.下面的函数中,最 能近似表示表中数据间对应关系的函数是________.(填序号) π ①y=12+3sin 6t,t∈[0,24]; π ②y=12+3sin?6t+π?,t∈[0,24];

?

?

π ③y=12+3sin 12t,t∈[0,24]; π π ④y=12+3sin?12t+2?,t∈[0,24].

?

?

8.

如图所示,一个大风车的半径为 8 m,每 12 min 旋转一周,最低点离地面 2 m.若风车翼片从最低 点按逆时针方向开始旋转,则该翼片的端点 P 离地面的距离 h(m)与时间 t(min)之间的函数关系是 ____________________.

二、解答题 9.
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6

如图,一个水轮的半径为 4 m,水轮圆心 O 距离水面 2 m,已知水轮每分钟转动 5 圈,如果当水轮 上点 P 从水中浮现时(图中点 P0)开始计算时间. (1)将点 P 距离水面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数; (2)点 P 第一次到达最高点大约需要多少时间?

10.某港口水深 y(米)是时间 t (0≤t≤24,单位:小时)的函数,下面是水深数据:
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7

t(小时)

0

3

6

9

12

15

18

21

24

y(米)

10.0

13.0

9.9

7.0

10.0

13.0

10.1

7.0

10.0

据上述数据描成的曲线如图所示,经拟合,该曲线可近似的看成正弦函数型 y=Asin ωt+B 的图 象. (1)试根据数据表和曲线,求出 y=Asin ωt+B 的解析式;

(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于 4.5 米是安全的,如果某船的吃水度(船底与 水面的距离)为 7 米,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停 留的时间最多不能超过多长时间?(忽略离港所用的时间)

能力提升

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11.如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0( 2,- 2),角速度为 1,那 么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为________.(填序号)

12.某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm,秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间 t=0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合,将 A、B 两点的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数,则 d=__________,其 中 t∈[0,60].

1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中 的周期现象(运动)有着广泛的应用. 2.三角函数模型构建的步骤 (1)收集数据,观察数据,发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图,选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题. (4)根据问题的实际意义,对答案的合理性进行检验.

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9

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