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广东省13大市2013届高三上学期期末数学(理)试题分类汇编6:概率


广东省 13 大市 2013 届高三上期末考数学理试题分类汇编
概率
一、选择、填空题 1、(潮州市 2013 届高三上学期期末)某校有 4000 名学生,各年级男、女生人数如表,已 知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手,抽到高一男生的概率是 0.2 ,则高二的学生 人数为______. 高一 高二 高三 y 女生 600 650 x 男生 750 z 答案:1200 解析:依表知 x ? y ? z ? 4000 ? 2000 ? 2000 , 故高二的学生人数为 y ? z ? 1200 . 2、(东莞市 2013 届高三上学期期末).甲、乙两位选手进行乒乓球比赛,采取 3 局 2 胜制 (即 3 局内谁先赢 2 局就算胜出, 比赛结束, 每局比赛没有平局, 每局甲获胜的概率为 则比赛打完 3 局且甲取胜的概率为 A.

x ? 0.2 ,于是 x ? 800 , 4000

3 , 5

18 125

B.

36 125

C.

9 25

D.

18 25

答案:B 3、 (佛山市 2013 届高三上学期期末) 某学生在参加政、史、 地三门课程的学业水平考试中, 取得 A 等级的概率分别为

4 3 2 、 、 ,且 5 5 5

三门课程的成绩是否取得 A 等级相互独立. 记 ? 为该生取得 A 等级的课程数, 其分布列 如 表 所 示 , 则 数 学 期 望 E? 的 值 为 ______________.

?
P

0
6 125

1

2
b

3
24 125

a

答案:

9 5

3、(广州市 2013 届高三上学期期末)在区间 ?1,5 ? 和 ? 2, 4 ? 分别取一个数,记为 a,b , ? ? ? ? 则方程

3 x2 y2 ? 2 ? 1表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的椭圆的概率为 2 2 a b
B.

A.

1 2

15 32

C.

17 32

D.

31 32

答案:B 4、(江门市 2013 届高三上学期期末)某种饮料每箱装 6 听,如果其中有 2 听不合格。质检 人员从中随机抽出 2 听,检出不合格产品的概率 p ? A.

1 2

B.

1 3

C.

2 3

D. 0.6

答案:D 5、(湛江市 2013 届高三上学期期末)点 P 是圆 x2+y2+2x-3=0 上任意一点,则点 P 在 第一象限的概率为____ 答案:

1 3 ? 24 8?

6、 (中山市 2013 届高三上学期期末)有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球, 从中取出 4 个,则取出的编号互不相同的概率为( A. 答案:D 二、解答题 1、(潮州市 2013 届高三上学期期末)近年来,政府提倡低碳减排,某班同学利用寒假在两 个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念.若生活习惯符合低碳观念的称为 “低碳族”,否则称为“非低碳族”.数据如下表(计算过程把频率当成概率). )

5 21

B.

2 7

C.

1 3

D.

8 21

A 小区 频率 p

低碳族

非低碳族

0.5

0.5

B 小区 频率 p

低碳族

非低碳族

0.8

0.2

(1)如果甲、乙来自 A 小区,丙、丁来自 B 小区,求这 4 人中恰有 2 人是低碳族的概率; (2) A 小区经过大力宣传,每周非低碳族中有 20% 的人加入到低碳族的行列.如 果 2 周后随机地从 A 小区中任选 25 个人,记 X 表示 25 个人中低碳族人数,求

E( X ) .
解:(1)设事件 C 表示“这 4 人中恰有 2 人是低碳族”. ?? 1 分

2 2 1 1 2 2 P(C ) ? C2 ? 0.52 ? C2 ? 0.22 ? C2 ? 0.5 ? 0.5 ? C2 ? 0.2 ? 0.8 ? C2 ? 0.52 ? C2 ? 0.82

? 0.01 ? 0.16 ? 0.16 ? 0.33. ?? 4 分 答:甲、乙、丙、丁这 4 人中恰有 2 人是低碳族的概率为 0.33 ; ?? 5 分
(2)设 A 小区有 a 人,两周后非低碳族的概率 P ?

a ? 0.5 ? (1 ? 20% ) 2 ? 0.32 . a

故低碳族的概率 P ? 1 ? 0.32 ? 0.68 . ???? 9 分 随机地从 A 小区中任选 25 个人,这 25 个人是否为低碳族相互独立,且每个 人是低碳族的概率都是 0.68 ,故这 25 个人中低碳族人数服从二项分布,即

X ~ B( 25 ,

17 17 ) ,故 E ( X ) ? 25 ? ? 17 . 25 25

???? 12 分

2、 (东莞市 2013 届高三上学期期末)某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目 的培训,以促进教师的专业发展,每位教师可以选择参一项培训、参加两项培训或不参加 培.现知垒市教师中,选择心理学培训的教师有 60%,选择计算机培训的教师有 75%, 每位教师对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. (1)任选 1 名教师,求该教师选择只参加一项培训的概率; (2)任选 3 名教师,记 ? 为 3 人中选择不参加培训的人数,求 ? 的分布列和期望. 解:任选 1 名教师,记“该教师选择心理学培训”为事件 A ,“该教师选择计算机培训” 为事件 B , 由题设知,事件 A 与 B 相互独立,且 P( A) ? 0.6 , P( B) ? 0.75 . (1)任选 1 名,该教师只选择参加一项培训的概率是 ????1 分

P ? P( AB) ? P( AB) ? 0.6 ? 0.25 ? 0.4 ? 0.75 ? 0.45 .????4 分 1
(2)任选 1 名教师,该人选择不参加培训的概率是

P0 ? P( AB)=P( A) P( B) ? 0.4 ? 0.25 ? 0.1 .
因为每个人的选择是相互独立的,

????5 分

0.1) 所以 3 人中选择不参加培训的人数 ? 服从二项分布 B(3, ,
且 P(? ? k ) ? C3 ? 0.1 ? 0.9
k k 3? k

????6 分

, k ? 0,2,, 1,3

????8 分

即 ? 的分布列是

?
P

0 0.729

1 0. 243

2 0.027

3 0.001 ?

???10 分 所以, ? 的期望是 E? ? 1? 0.243 ? 2 ? 0.027 ? 3? 0.001 ? 0.3 . (或 ? 的期望是 E? ? 3 ? 0.1 ? 0.3 .) ????12 分

3、 (广州市 2013 届高三上学期期末)某市 A, B, C , D 四所中学报名参加某高校今年自主 招生的学生人数如下表所示: 中学 人数

A 30

B 40

C 20

D 10

为了了解参加考试的学生的学习状况,该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四 所中学的学生当中随机抽取 50 名参加问卷调查. (1)问 A, B, C , D 四所中学各抽取多少名学生? (2)从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学 的概率; (3)在参加问卷调查的 50 名学生中,从来自 A, C 两所中学的学生当中随机抽取两名学 生,用 ? 表示抽得 A 中学的学生人数,求 ? 的分布列. (1)解:由题意知,四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为 100 名,

抽取的样本容量与总体个数的比值为 ∴应从

. . …………… 4 分

四所中学抽取的学生人数分别为

(2)解:设“从参加问卷调查的 中学”为事件 ,

名学生中随机抽取两名学生,这两名学生来自同一所

从参加问卷调查的

名学生中随机抽取两名学生的取法共有 C C C C

种,… 5 分 . …… 6 分

这两名学生来自同一所中学的取法共有 C

∴ 答:从参加问卷调查的

. 名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学

的概率为

. 名学生中,来自

…………… 7 分 两所中学的学生人数分别

(3) 解:由(1)知,在参加问卷调查的 为 . ,

依题意得, 的可能取值为

…………… 8 分





. …………… 11 分

∴ 的分布列为:

…………… 12 分

4、 (惠州市2013届高三上学期期末)某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生,将他们的

50 期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段: ? 40 , ? , 60 100 ?50 , ? ,?, ?90 , ? 后得到如下图的频率分布直方图.
(1)求图中实数 a 的值; (2) 若该校高一年级共有学生 640 人, 试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分 的人数;

50 100 (3)若从数学成绩在 ? 40 , ? 与 ?90 , ? 两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求
这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率。 a
0.025 0.020

频率 组距

0.010 0.005 0 40 50 60 70 80 90 100(分数)

(1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于 1, 所以 10 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ?a ? 0.025 ? 0.01) ? 1 .??????????1 分 解得 a ? 0.03 .???????????????????????????2 分 ( 2 ) 解 : 根 据 频 率 分 布 直 方 图 , 成 绩 不 低 于 60 分 的 频 率 为 1 ? 10 ? (0.005 ? 0.01) ? 0.85 .??3 分 由于该校高一年级共有学生 640 人, 利用样本估计总体的思想, 可估计该校高一年级数学成 绩不低于 60 分的人数约为 640 ? 0.85 ? 544 人.???????????????5 分

50 (3)解:成绩在 ? 40 , ? 分数段内的人数为 40 ? 0.05 ? 2 人,??????
成绩在 ?90,100? 分数段内的人数为 40 ? 0.1 ? 4 人,
2 6

6分

??????????7 分 ?????? 9分

若从这 6 名学生中随机抽取 2 人,则总的取法有 C ? 15

50 100 如果两名学生的数学成绩都在 ? 40 , ? 分数段内或都在 ?90 , ? 分数段内, 那么这两名学
50 生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在 ? 40 , ? 分数段内, 另一个成绩

100 在 ?90 , ? 分 数 段 内 , 那 么 这 两 名 学 生 的 数 学 成 绩 之 差 的 绝 对 值 一 定 大 于
10.??????? 10 分
2 2

则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 分的取法数为 C2 ? C4 ? 7 ??11 分 所以所求概率为 P ? M ? ?

7 .?????????????????????13 分 15

5、(江门市 2013 届高三上学期期末)如图 5 所示,有两个独立的转盘(A)、(B),其 中三个扇形区域的圆心角分别为 60 、120 、180 。用这两个转盘玩游戏,规则是:依次 随机转动两个转盘再随机停下 (指针固定不动, 当指针恰好落在分界线时, 则这次转动无效, 重新开始) 为一次游戏, 记转盘 (A) 指针所对的数为 x , (B) 转盘 指针对的数为 y 。 x ? y 设 的值为 ? ,每次游戏得到的奖励分为 ? 分. ⑴求 x ? 2 且 y ? 1 的概率; ⑵某人玩 12 次游戏,求他平均可以得到多少奖励分?
0 0 0

1

3

3 2 1 2 1 解 : ⑴ 由 几 何 概 型 知 P( x ? 1) ? , 6 1 1 1 (B) P( x ? 2) ? , P( x ? 3) ? , P( y ? 1) ? , (A) 图5 3 2 3 (A) 1 1 P( y ? 2) ? , P( y ? 3) ? ??3 分,(对 1-2 个给 1 分,3-4 个给 2 分,??) 2 6 1 2 所以 P( x ? 2) ? P( x ? 1) ? , P( y ? 1) ? P( y ? 2) ? P( y ? 3) ? ??5 分, 6 3 1 P( x ? 2且y ? 1) ? P( x ? 2) ? P( y ? 1) ? ??7 分. 9 ⑵ ? 的取值为 2、3、4、5、6??8 分,其分布列为

?
P

2

3

4

5

6

1 18

7 36

13 36

11 36

1 12
??11 分

他平均每次可得到的奖励分为

1 7 13 11 1 25 ??13 分, ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ??12 分, ? 6 18 36 36 36 12 所以,他玩 12 次平均可以得到的奖励分为 12 ? E? ? 50 ??14 分. E? ? 2 ?

6、(茂名市 2013 届高三上学期期末)某连锁超市有 A 、 B 两家分店,对该超市某种商品 一个月 30 天的销售量进行统计:A 分店的销售量为 200 件和 300 件的天数各有 15 天;B 分 店的统计结果如下表: 销售量(单位:件) 天 数 200 10 300 15 400 5

(1)根据上面统计结果,求出 B 分店销售量为 200 件、300 件、400 件的频率; (2)已知每件该商品的销售利润为 1 元, ? 表示超市 A 、 B 两分店某天销售该商品的 利润之和,若以频率作为概率,且 A 、 B 两分店的销售量相互独立,求 ? 的分布 列和数学期望. 解:(1)B 分店销售量为 200 件、300 件、400 件的频率分别为 (2)A 分店销售量为 200 件、300 件的频率均为

1 1 1 , 和 3 2 6

???3 分 ?????4 分

????5 分 ? 的可能值为 400,500,600,700,且 1 1 1 1 1 1 1 5 P( ? =400)= ? ? , P( ? =500)= ? ? ? ? , 2 3 6 2 2 3 2 12 1 1 1 1 1 1 1 1 P( ? =600)= ? ? ? ? , P( ? =700)= ? ? , ???9 分 2 6 2 2 3 2 6 12 ? 的分布列为

1 , 2

?

400

500

600

700

P
E? =400 ?

1 6

5 12

1 3

1 12
???10 分

1 5 1 1 1600 +500 ? +600 ? +700 ? = (元) ???????12 分 6 3 12 12 3

7、 (汕头市 2013 届高三上学期期末)汕头市澄海区以塑料玩具为主要出口产品,塑料厂家 在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽

取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品. (I)若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8,从中任意取出 3 件进行检验.求恰有 1 件是合 格品的概率; (H)若厂家发给商家 20 件产品,其中有 3 件不合格,按合同规定,该商家从中任取 2 件,都 进行检验,只有 2 件都合格时才接收这批产品,否则拒收,求该商家可能检验出不合格产品 数 ? 的分布列及期望 E ? ,并指出该商家拒收这批产品的概率。

解:(Ⅰ)记“厂家任取 3 件产品检验,恰有 1 件是合格品”为事件 A

( 则 P ? A ? ? C3 ? 0.8 ? 1-0.8)=3 ? 0.8 ? 0.04=0.096 ????(3 分)
1 2

(Ⅱ) ? 可能的取值为 0,1, 2
P ?? ? 0 ? ?

????????????(4 分)

2 C17 136 C1C1 C2 51 3 , P ?? ? 1? ? 3 2 17 ? , P ?? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 2 C20 190 C20 190 C20 190

???????????(7 分)

?
P

0
136 190 51 190

2

3 190

????????????(8 分)

E? ? 0 ?

136 51 3 3 ? 1? ? 2? ? ????????????(9 分) 190 190 190 10

记“商家任取 2 件产品检验,都合格”为事件 B,则商家拒收这批产品的概率
136 27 ????????????(11 分) ? 190 95 27 所以商家拒收这批产品的概率为 ????????????(12 分) 95 P ? 1? P ? B? ? 1?
8、(增城市 2013 届高三上学期期末)某某种饮料每箱 6 听,如果其中有两听不合格产品. (1)质检人员从中随机抽出 1 听,检测出不合格的概率多大?; (2)质检人员从中随机抽出 2 听,设 ? 为检测出不合格产品的听数,求 ? 的分布列及 数学期望. 解:(1)在 6 听中随机抽出 1 听有 6 种方法 在 2 听中随机抽出 1 听有 2 种方法 所以 P ? 答: (1) ? ? 0,1,2

1分 2分 4分 5分 6分

2 1 ? 6 3

当 ? ? 0 时, P (? ? 0) ?

2 C4 2 ? C62 5

7分

当 ? ? 1 时, P (? ? 1) ?

1 1 C2 ? C4 8 ? C62 15 2 C2 1 ? 2 C6 15

8分

当 ? ? 2 时, P (? ? 2) ? 分布列为:

9分 10 分 11 分 12 分

2 8 1 E (? ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? 5 15 15 2 = 3

9、(湛江市 2013 届高三上学期期末)甲、乙、丙三名优秀的大学毕业生参加一所重
点中学的招聘面试,面试合格者可以签约。甲表示只要面试合格就签约,乙与丙则约定,两 个面试都合格就一同签约,否则两人都不签约。设每个人面试合格的概率都是 P,且面试是 否合格互不影响。已知至少有 1 人面试合格概率为

7 。 8

(1)求 P。 (2)求签约人数 ? 的分布列和数学期望值。
解:(1)至少 1 人面试合格概率为

7 8

(包括 1 人合格 2 人合格和 3 人都合格), 这样都不合格的概率

7 1 = 。 8 8 1 3 (1-P) = 8
为 1-

P=

1 2

(2)签约人数 ? 取值为 0、1、2、3

1 3 1 )= , 2 8 1 1 1 1 3 1 甲不合格,乙丙至少一人不合格 *(1- * )-(1- ) (甲乙丙都不合格)= 2 2 2 2 4 1 1 3 签约人数为 0 的概率: + = 8 4 8 1 1 1 3 签约人数为 1 的概率:甲合格,乙丙至少一人不合格: *(1- * )= 2 2 2 8 1 1 1 1 签约人数为 2 的概率:甲不合格,乙丙全部合格: * *(1- )= 2 2 2 8 1 3 1 签约人数为 3 的概率:甲乙丙均合格:( ) = 2 8
签约人数为 0 的概率:都不合格(1分布表:



0

1

2

3

约人数 概 率 数学期望:E ? =1

3 8

3 8

1 8

1 8

10、(肇庆市 2013 届高三上学期期末)2012 年“双节”期间,高速公路车辆较多。某调查 公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方 法抽取 40 名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/t)分成六段:

[60,65),[65,70), [70, 75), [75,80),[80,85), [85,90) 后得到如图 4 的频率分布直方图.问:(1)某调查公司在采样中,用到的是什么
抽样方法? (2) 求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. (3) 若从车速在 [60, 70) 的车辆中任抽取 2 辆,求抽出的 2 辆车中速车在 [65, 70) 的车辆数 ? 的分布列及其均值(即 数学期望).

解:(1)系统抽样 (2)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 77.5

(2 分) (4 分)

设图中虚线所对应的车速为 x ,则中位数的估计值为:

0.01? 5 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? 5 ? 0.06 ? ( x ? 75) ? 0.5 ,解得 x ? 77.5
即中位数的估计值为 77.5 (6 分)

(3)从图中可知,车速在 [60, 65) 的车辆数为: m1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 (辆),(7 分)

车速在 [65, 70) 的车辆数为: m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 (辆) ∴ ? ? 0, 1, 2 ,

(8 分)

P(? ? 0) ?

2 0 C2 C4 C1C1 8 C 0C 2 6 1 ? , P (? ? 1) ? 2 2 4 ? , P(? ? 2) ? 2 2 4 ? , 2 C6 15 C6 15 C6 15

? 的分布列为
?
P
0 1 2

1 15

8 15

6 15
(11 分)

均值 E (? ) ? 0 ? 1?

8 6 4 ? 2? ? . 15 15 3

(12 分)

11、(中山市 2013 届高三上学期期末)某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年前 5 个月甲胶囊生产产量(单位:万盒)的数据如下表所示: 月份 x y (万盒) 1 4 2 4 3 5 4 6 5 6

? ? ? (Ⅰ)该同学为了求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ,根据表中数据已经正确计算
? ? 出 b ? 0.6 ,试求出 a 的值,并估计该厂 6 月份生产的甲胶囊产量数;

(Ⅱ) 若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊 4 盒和三月份生产的甲胶囊 5 盒, 小红同学从中随机购买了 3 盒甲胶囊, 后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊 均存在质量问题.记小红同学所购买的 3 盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为 ? ,求 ? 的分布 列和数学期望. 解:(Ⅰ) x ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? 3, y ? (4 ? 4 ? 5 ? 6 ? 6) ? 5 ,
? 因线性回归方程 y ? bx ? a 过点 ( x, y ) ,
1 5 1 5

∴ a ? y ? bx ? 5 ? 0.6 ? 6 ? 3.2 ,
? ∴6 月份的生产甲胶囊的产量数: y ? 0.6 ? 6 ? 3.2 ? 6.8

…………….6 分

(Ⅱ) ? ? 0,1, 2,3,
P(? ? 0) ?
3 C5 10 5 C1C 2 40 10 ? ? , P(? ? 1) ? 4 3 5 ? ? , 3 84 21 C9 84 42 C9

P(? ? 2) ?

2 1 C4 C5 30 5 C3 4 1 ? ? , P(? ? 3) ? 4 ? ? . 3 3 84 14 C9 C9 84 21

…………………….10 分

其分布列为

?
P
? E? ?

0
5 42

1
10 21

2
5 14

3
1 21

5 10 5 1 4 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 42 21 14 21 3

…………………….14 分

12、(珠海市 2013 届高三上学期期末)某中学校本课程共开设了 A,B,C,D 共 4 门选修 课,每个学生必须且只能选修 1 门选修课,现有该校的甲、乙、丙 3 名学生: (1)求这 3 名学生选修课所有选法的总数; (2)求恰有 2 门选修课没有被这 3 名学生选择的概率; (3)求 A 选修课被这 3 名学生选择的人数的数学期望. 解析:(Ⅰ)每个学生有四个不同选择,根据乘法法则,选法总数 N= 4 ? 4 ? 4 ? 64 ?? 3 分 (Ⅱ) 恰有 2 门选修课这 3 名学生都没选择的概率为

P2 ?

2 2 C 4 C 32 A2 2 ? 3 ? 3 ? 2 9 ? ? 4? 4? 4 16 43

?????? 7 分

(Ⅲ) 设 A 选修课被这 3 名学生选择的人数为 ? ,则 ? =0,1,2,3

33 27 P( ? =0)= 3 ? 4 64
P( ? =2)

1 C3 ? 32 27 P( ? =1)= ? 43 64 1 3 ?C3 9 ? 43 64

?
P

0

1

2

3



P( ? =3)=

27 64

27 64

9 64

1 64

3 C3 1 ? 3 4 64

?????? 9 分

? 的分布列是
???? 10 分

E? ? 0 ?

27 27 9 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? 64 64 64 64 4

???? 12 分



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