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2014届高中数学步步高大一轮复习讲义第十二章12.6



数学

北(理)

§12.6 离散型随机变量的均值 与方差
第十二章 概率与统计

基础知识·自主学习
要点梳理
1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 ? xi ? xn P p1 p2 ? pi ? pn (1)均值 称 EX= x1p1+x

2p2+?+xipi+?+xnpn 为随机变量 X 的均值或 数学期望 , 它反映了离散型随机变量取值的

难点正本 疑点清源

1.对均值(或数学期望) 的理解
(1) 期望是算术平均值概念的 推广,是概率意义下的平均. (2)EX 是一个实数,由 X 的分 布列唯一确定, 即 X 作为随机 变量是可变的,而 EX 是不变的, 它描述 X 值取值的平均状态. (3)公式 EX=x1p1+x2p2+?+ xnpn 直接给出了 EX 的求法, 即随机变量取值与相应概率 值分别相乘后相加.由此可 知, 求出随机变量的数学期望 关键在于写出它的分布列.

平均水平 .

基础知识

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思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
(2)方差
2 称 DX= E(X-EX) 为随机变量 X 的

难点正本 疑点清源

2.方差的意义
DX 表示随机变量 X 对 EX 的平均偏离程度, DX 越大表明平均偏离程度 越大,说明 X 的取值越 分散,反之 DX 越小,X 的取值越集中,由方差 定义知,方差是建立在 期望这一概念之上的.

方差,它刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的 平均偏离程度 . 2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)= aEX+b . (2)D(aX+b)= a2DX .(a,b 为常数) 3.二项分布的均值、方差 np ,DX= 若 X~B(n,p),则 EX=____

np(1-p) .

基础知识

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思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
20 9
5 3

解析

A

A
A

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 离散型随机变量的均值、方差
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】(2012· 湖北)根据以往的经验,某工程 施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的 影响如下表: 降水 X< 300≤ 700≤ X≥ 量 X 300 X<700 X<900 900 工期 延误 0 2 6 10 天数 Y 历年气象资料表明,该工程施工期间降水 量 X 小 于 300,700,900 的 概 率 分 别 为 0.3,0.7,0.9.求: (1)工期延误天数 Y 的均值与 方差;(2)在降水量 X 至少是 300 mm 的条 件下,工期延误不超过 6 天的概率.

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题型分类·深度剖析
题型一 离散型随机变量的均值、方差
探究提高 【例 1】(2012· 湖北)根据以往的经验,某工程 思维启迪 解析 施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的 先求出降水量在各范围内的概 影响如下表:

降水 X< 300≤ 700≤ X≥ 量 X 300 X<700 X<900 900 工期 延误 0 2 6 10 天数 Y 历年气象资料表明,该工程施工期间降水 量 X 小 于 300,700,900 的 概 率 分 别 为 0.3,0.7,0.9.求: (1)工期延误天数 Y 的均值与 方差;(2)在降水量 X 至少是 300 mm 的条 件下,工期延误不超过 6 天的概率.

率, 再求对应工期延误天数的概 率,列出 Y 的分布列.

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题型分类·深度剖析
题型一 离散型随机变量的均值、方差
探究提高 【例 1】(2012· 湖北)根据以往的经验,某工程 思维启迪 解析 施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的 解 (1)由已知条件和概率的加法公式有 影响如下表: 由于出现的结果有限,每次每

P(X <300) = ,≤ P(300 ≤ X<700) 降水 300 700 ≤ X≥ =P(X<700)-P(X<300) X < 0.3 颗只能有四种结果,且每种结 = 0.7 - 0.3 = 0.4 , P(700 ≤X<900) 量X 300 X<700 X<900 900 = P(X<900) - P(X<700) = 0.9 -

0.7工期 =0.2,P(X≥900)=1-P(X<900)=1果出现的可能性是相等的,所 -0.9=0.1.
延误 0 2 所以 Y 的分布列为 天数 6 10

以是古典概型.由于试验次数

Y 0 2 6少,故可将结果一一列出. 10 Y 历年气象资料表明,该工程施工期间降水 P 0.3 0.4 0.2 0.1 量 X 小 于 300,700,900 的 概 率 分 别 为 于是,EY=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3; 0.3,0.7,0.9.求: (1)工期延误天数 Y 的均值与 2 2 2 2 DY = (0 - 3) × 0.3 + (2 - 3) × 0.4 + (6 - 3) × 0.2 + (10 - 3) ×0.1 方差;(2)在降水量 X 至少是 300 mm 的条 =9.8. 件下,工期延误不超过 6 天的概率.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 离散型随机变量的均值、方差
探究提高 【例 1】(2012· 湖北)根据以往的经验,某工程 思维启迪 解析 施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的 故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为由于出现的结果有限,每次每 9.8. 影响如下表:

(2)降水 由概率的加法公式,得 X ≥300)=1-P(X<300)=0.7, X ≥ X< 300≤ 700≤ P( 颗只能有四种结果,且每种结 量 X 300 X<700 X<900 900 又 P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6. 工期 果出现的可能性是相等的,所 由 延误 条 件 概 率 , 得 P(Y≤6|X≥300) = P(X<900|X≥300) = 0 2 6 10 以是古典概型.由于试验次数 天数 P?300≤X<900? 0.6 6 = = . 0.7 7 P?Y X≥300? 少,故可将结果一一列出.
历年气象资料表明,该工程施工期间降水 故在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下,工期延误不超过 6 天 量 X 小 于 300,700,900 的 概 率 分 别 为 6 的概率是 . 0.3,0.7,0.9. 求: 7 (1)工期延误天数 Y 的均值与 方差;(2)在降水量 X 至少是 300 mm 的条 件下,工期延误不超过 6 天的概率.

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题型分类·深度剖析
题型一 离散型随机变量的均值、方差
探究提高 【例 1】(2012· 湖北)根据以往的经验,某工程 思维启迪 解析 施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的 (1) 求离散型随机变量的均值 影响如下表:

降水 X< 300≤ 700≤ X≥ 量 X 300 X<700 X<900 900 工期 延误 0 2 6 10 天数 Y 历年气象资料表明,该工程施工期间降水 量 X 小 于 300,700,900 的 概 率 分 别 为 0.3,0.7,0.9.求: (1)工期延误天数 Y 的均值与 方差;(2)在降水量 X 至少是 300 mm 的条 件下,工期延误不超过 6 天的概率.

与方差关键是确定随机变量的 所有可能值,写出随机变量的 分布列,正确运用均值、方差 公式进行计算. (2) 概率与统计的结合是高考 的热点,熟练掌握基础知识, 理解二者的联系是解题的 关键.
思想方法 练出高分

基础知识

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题型分类·深度剖析
变式训练 1 某中学在高三开设了 4 门选修课, 每个学生必须且只需选

修 1 门选修课.对于该年级的甲、乙、丙 3 名学生,回答下面的问题: (1)求这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率; (2)某一选修课被这 3 名学生选修的人数的数学期望.
A3 3 4 (1)3 名学生选择的选修课互不相同的概率:p1= 3 = ; 4 8



(2)设某一选修课被这 3 名学生选择的人数为 ξ,则 ξ=0,1,2,3.P(ξ=0) 2 33 27 C1 27 C2 9 C3 1 33 33 3 =43=64, P(ξ=1)= 43 =64, P(ξ=2)= 43 =64, P(ξ=3)= 43 =64.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
变式训练 1 某中学在高三开设了 4 门选修课, 每个学生必须且只需选

修 1 门选修课.对于该年级的甲、乙、丙 3 名学生,回答下面的问题: (1)求这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率; (2)某一选修课被这 3 名学生选修的人数的数学期望.
所以 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 27 27 9 1 P 64 64 64 64

27 27 9 1 3 数学期望 Eξ=0×64+1×64+2×64+3×64=4.

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题型分类·深度剖析
题型二 二项分布的均值、方差
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 某人投弹命中目标的概率 p =0.8. (1)求投弹一次, 命中次数 X 的均值 和方差; (2)求重复 10 次投弹时命中次数 Y 的均值和方差.

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题型分类·深度剖析
题型二 二项分布的均值、方差
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 某人投弹命中目标的概率 p =0.8. (1)求投弹一次, 命中次数 X 的均值 和方差; (2)求重复 10 次投弹时命中次数 Y 的均值和方差.

重复 10 次,Y 服从二项分布.

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题型分类·深度剖析
题型二 二项分布的均值、方差
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 某人投弹命中目标的概率 p =0.8. (1)求投弹一次, 命中次数 X 的均值 和方差; (2)求重复 10 次投弹时命中次数 Y 的均值和方差.



(1)随机变量 X 的分布列为 X 0 1

P 0.2 0.8 故 EX=0×0.2+1×0.8=0.8, DX
=(0-0.8)2×0.2+(1-0.8)2×0.8 =0.16. (2)由题意知, 命中次数 Y 服从二
项分布,即 Y~B(10,0.8), ∴EY=np=10×0.8=8, DY = np(1 - p) = 10×0.8×0.2 = 1.6.

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题型分类·深度剖析
题型二 二项分布的均值、方差
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 某人投弹命中目标的概率 p =0.8. (1)求投弹一次, 命中次数 X 的均值 和方差; (2)求重复 10 次投弹时命中次数 Y 的均值和方差.

若 X~B(n,p),则 EX=np,DX =np(1-p).

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题型分类·深度剖析
变式训练 2

为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植

杨树、沙柳等植物.某人一次种植了 n 株沙柳,各株沙柳成活与 否是相互独立的,成活率为 p,设 ξ 为成活沙柳的株数,数学期望 3 Eξ=3,方差 Dξ 为 . 2 (1)求 n,p 的值并写出 ξ 的分布列; (2)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种 沙柳的概率.

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题型分类·深度剖析
3 解 (1)由 Eξ=np=3,Dξ=np(1-p)= , 2 1 1 得 1-p=2,从而 n=6,p=2.
ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 6 1 6 15 20 15 6 1 P 64 64 64 64 64 64 64

(2)记“需要补种沙柳”为事件 A,则 P(A)=P(ξ≤3),得
1+6+15+20 21 15+6+1 21 P(A)= =32或 P(A)=1-P(ξ>3)=1- =32. 64 64

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题型分类·深度剖析
题型三 均值与方差的应用
思维启迪 解析
【例 3】 现有甲、乙两个项目,对甲项 目每投资 10 万元,一年后利润是 1.2 万元、1.18 万元、1.17 万元的概率分别 1 1 1 为 、 、 ;已知乙项目的利润与产品 6 2 3 价格的调整有关,在每次调整中,价格 下降的概率都是 p(0<p<1),设乙项目产 品价格在一年内进行两次独立的调 整.记乙项目产品价格在一年内的下降 次数为 X,对乙项目每投资 10 万元,X 取 0、1、2 时,一年后相应利润是 1.3 万元、1.25 万元、0.2 万元.随机变量 X1、X2 分别表示对甲、乙两项目各投资 10 万元一年后的利润.(1)求 X1,X2 的 概率分布列和均值 EX1 , EX2 ; (2) 当 EX1<EX2 时,求 p 的取值范围.

探究提高

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题型分类·深度剖析
题型三 均值与方差的应用
思维启迪 解析
【例 3】 现有甲、乙两个项目,对甲项 目每投资 10 万元,一年后利润是 1.2 万元、1.18 万元、1.17 万元的概率分别 1 1 1 为 、 、 ;已知乙项目的利润与产品 6 2 3 价格的调整有关,在每次调整中,价格 下降的概率都是 p(0<p<1),设乙项目产 品价格在一年内进行两次独立的调 整.记乙项目产品价格在一年内的下降 次数为 X,对乙项目每投资 10 万元,X 取 0、1、2 时,一年后相应利润是 1.3 万元、1.25 万元、0.2 万元.随机变量 X1、X2 分别表示对甲、乙两项目各投资 10 万元一年后的利润.(1)求 X1,X2 的 概率分布列和均值 EX1 , EX2 ; (2) 当 EX1<EX2 时,求 p 的取值范围.

探究提高

(1)求分布列,应先确定 X 的取值, 再求 X 的取值对应的概率; (2)由 EX1<EX2,找出关于 p 的不等 式,即可求出 p 的范围.

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题型分类·深度剖析
题型三 均值与方差的应用
思维启迪 解析
【例 3】 现有甲、乙两个项目,对甲项 目每投资 10 万元,一年后利润是 1.2 万元、1.18 万元、1.17 万元的概率分别 1 1 1 为 、 、 ;已知乙项目的利润与产品 6 2 3 价格的调整有关,在每次调整中,价格 下降的概率都是 p(0<p<1),设乙项目产 品价格在一年内进行两次独立的调 整.记乙项目产品价格在一年内的下降 次数为 X,对乙项目每投资 10 万元,X 取 0、1、2 时,一年后相应利润是 1.3 万元、1.25 万元、0.2 万元.随机变量 X1、X2 分别表示对甲、乙两项目各投资 10 万元一年后的利润.(1)求 X1,X2 的 概率分布列和均值 EX1 , EX2 ; (2) 当 EX1<EX2 时,求 p 的取值范围.

探究提高

解 (1)X1 的概率分布列为 X1 1.2 1.18 1.17 1 1 1 P 6 2 3 1 1 1 EX1=1.2× +1.18× +1.17× = 6 2 3 1.18.
由题设得 X~B(2, p), 即 X 的概率 分布列为 X P 0 (1-p)2 1 2p(1-p) 2 p2

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题型分类·深度剖析
题型三 均值与方差的应用
思维启迪 解析
【例 3】 现有甲、乙两个项目,对甲项 目每投资 10 万元,一年后利润是 1.2 万元、1.18 万元、1.17 万元的概率分别 1 1 1 为 、 、 ;已知乙项目的利润与产品 6 2 3 价格的调整有关,在每次调整中,价格 下降的概率都是 p(0<p<1),设乙项目产 品价格在一年内进行两次独立的调 整.记乙项目产品价格在一年内的下降 次数为 X,对乙项目每投资 10 万元,X 取 0、1、2 时,一年后相应利润是 1.3 万元、1.25 万元、0.2 万元.随机变量 X1、X2 分别表示对甲、乙两项目各投资 10 万元一年后的利润.(1)求 X1,X2 的 概率分布列和均值 EX1 , EX2 ; (2) 当 EX1<EX2 时,求 p 的取值范围.

探究提高

故 X2 的概率分布列为 X2 1.3 1.25 2p(1-p) 0.2 p2
2 P (1-p)

所 以

EX2 = 1.3×(1 - p)2 +

1.25×2p(1 - p) + 0.2×p2 = 1.3×(1 - 2p + p2) + 2.5×(p - p2) + 0.2×p2 =-p2-0.1p+1.3.

(2) 由 EX1<EX2 ,得- p2 - 0.1p + 1.3>1.18,

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题型分类·深度剖析
题型三 均值与方差的应用
思维启迪 解析
【例 3】 现有甲、乙两个项目,对甲项 目每投资 10 万元,一年后利润是 1.2 万元、1.18 万元、1.17 万元的概率分别 1 1 1 为 、 、 ;已知乙项目的利润与产品 6 2 3 价格的调整有关,在每次调整中,价格 下降的概率都是 p(0<p<1),设乙项目产 品价格在一年内进行两次独立的调 整.记乙项目产品价格在一年内的下降 次数为 X,对乙项目每投资 10 万元,X 取 0、1、2 时,一年后相应利润是 1.3 万元、1.25 万元、0.2 万元.随机变量 X1、X2 分别表示对甲、乙两项目各投资 10 万元一年后的利润.(1)求 X1,X2 的 概率分布列和均值 EX1 , EX2 ; (2) 当 EX1<EX2 时,求 p 的取值范围.

探究提高

整理得(p+0.4)(p-0.3)<0,解得 -0.4<p<0.3.
因为 0<p<1,所以当 EX1<EX2 时, p 的取值范围是 0<p<0.3.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 均值与方差的应用
思维启迪 解析
【例 3】 现有甲、乙两个项目,对甲项 目每投资 10 万元,一年后利润是 1.2 万元、1.18 万元、1.17 万元的概率分别 1 1 1 为 、 、 ;已知乙项目的利润与产品 6 2 3 价格的调整有关,在每次调整中,价格 下降的概率都是 p(0<p<1),设乙项目产 品价格在一年内进行两次独立的调 整.记乙项目产品价格在一年内的下降 次数为 X,对乙项目每投资 10 万元,X 取 0、1、2 时,一年后相应利润是 1.3 万元、1.25 万元、0.2 万元.随机变量 X1、X2 分别表示对甲、乙两项目各投资 10 万元一年后的利润.(1)求 X1,X2 的 概率分布列和均值 EX1 , EX2 ; (2) 当 EX1<EX2 时,求 p 的取值范围.

探究提高

(1)解决实际应用问题时, 关键是正 确理解随机变量取每一个值时所表 示的具体事件. (2) 随机变量的均值反映了随机变 量取值的平均水平,方差反映了随 机变量稳定于均值的程度,它们从 整体和全局上刻画了随机变量,是 生产实际中用于方案取舍的重要理 论依据,一般先比较均值,若均值 相同,再用方差来决定.
思想方法 练出高分

基础知识

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题型分类·深度剖析
变式训练 3 A,B 两个投资项目的利润分别为随机变量 X1 和 X2, 5% 0.8 10% 0.2

根据市场分析,X1 和 X2 的分布列分别为 X1 P

X2

2%

8%

12%

P

0.2

0.5

0.3

(1)在 A,B 两个项目上各投资 100 万元,Y1 和 Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润,求方差 DY1,DY2; (2)将 x(0≤x≤100)万元投资 A 项目,100-x 万元投资 B 项目,f(x) 表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的 和.求 f(x)的最小值,并指出 x 为何值时,f(x)取到最小值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
解 Y1 P (1)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列分别为 5 0.8 10 0.2

Y2 P

2 0.2

8 0.5

12 0.3

EY1=5×0.8+10×0.2=6, DY1=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4,
EY2=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,
DY2=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12.
?100-x ? ?100-x? ? x ? ? x ? 4 ? ? ? ?2 2 ? ? ? ? (2)f(x) = D 100Y1 + D ? Y2? = 100 DY1 + ? ? DY2 = 1002 100 100 ? ? ? ? ? ? ? ?

4 [ x +3(100-x) ] =1002(4x2-600x+3×1002). 600 当 x= =75 时,f(x)=3 为最小值. 2×4
2 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 15.离散型随机变量的均值与方差问题
典例:(12 分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球,已知甲 袋中共有 m 个球,乙袋中共有 2m 个球,从甲袋中摸出 1 个球为 2 红球的概率为 ,从乙袋中摸出 1 个球为红球的概率为 P2. 5 (1)若 m=10,求甲袋中红球的个数; (2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后,从中摸出 1 个红球的概率 1 是 ,求 P2 的值; 3 1 (3)设 P2= ,若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球,每次摸出 1 5 个球,并且从甲袋中摸 1 次,从乙袋中摸 2 次.设 ξ 表示摸出红 球的总次数,求 ξ 的分布列和均值.
审 题 视 角
基础知识

规 范 解 答
题型分类 思想方法

温 馨 提 醒
练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 15.离散型随机变量的均值与方差问题
规 范 解 答 温 馨 提 醒 审 题 视 角

(1)概率的应用, 知甲袋中总球数为 10 和摸 1 个为红球的概率, 求红球. (2)利用方程的思想,列方程求解.(3)求分布列和均值,关键是求 ξ 的 所有可能值及每个值所对应的概率.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 15.离散型随机变量的均值与方差问题
规 范 解 答 温 馨 提 醒
3分 6分

审 题 视 角

2 解 (1)设甲袋中红球的个数为 x,依题意得 x=10× =4. 5 2 m+2mP2 5 1 3 (2)由已知,得 =3,解得 P2=10. 3m 3 4 4 48 (3)ξ 的所有可能值为 0,1,2,3. P(ξ=0)=5×5×5=125, 2 4 4 3 1 4 56 P(ξ=1)=5×5×5+5×C1 × 2 5×5=125, 2 1 4 3 ?1?2 19 2 ?1?2 2 1 P(ξ=2)=5×C2×5×5+5×?5? =125,P(ξ=3)=5×?5? =125. ? ? ? ? 所以 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 48 56 19 2 P 125 125 125 125
48 56 19 2 4 所以 E(ξ)=0×125+1×125+2×125+3×125=5.
基础知识 题型分类 思想方法

8分

10分 12分

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 15.离散型随机变量的均值与方差问题
规 范 解 答 审 题 视 角

温 馨 提 醒

求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤: 第一步:确定随机变量的所有可能值. 第二步:求每一个可能值所对应的概率. 第三步:列出离散型随机变量的分布列. 第四步:求均值和方差. 第五步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 15.离散型随机变量的均值与方差问题
规 范 解 答 温 馨 提 醒 审 题 视 角

(1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值.(2)本题解 答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范.如第(3)问中,不明确 写出 ξ 的所有可能值,不逐个求概率,这都属于解答不规范.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.期望与方差的常用性质.掌握下述有关性质,会给解题

方 法 与 技 巧

带来方便: (1)E(aξ + b) = aEξ + b ; E(ξ + η) = Eξ + Eη ; D(aξ + b) = a2Dξ;(2)若 ξ~B(n,p),则 Eξ=np,Dξ=np(1-p).

2.基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差, 可直接按定义(公式)求解; (2)已知随机变量 ξ 的期望 、方差,求 ξ 的线性函数 η= aξ+b 的期望、方差和标准差,可直接用 ξ 的期望、方差 的性质求解; (3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布 (如二项分 布),可直接利用它们的期望、方差公式求解.
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

思想方法·感悟提高

失 误 与 防 范

1.在没有准确判断概率分布列模型之前不能乱套公式.
2.对于应用问题,必须对实际问题进行具体分析,一 般要将问题中的随机变量设出来,再进行分析,求 出随机变量的概率分布列, 然后按定义计算出随机 变量的期望、方差.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.已知某一随机变量 X 的概率分布列如下,且 EX=6.3,则 a 的值 为 X P A.5 B. 6 4 0.5 a 0.1 C.7 9 b D.8 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.已知某一随机变量 X 的概率分布列如下,且 EX=6.3,则 a 的值 为 X P A.5 B. 6 4 0.5 a 0.1 C.7 9 b D.8 ( C )

解 析
由分布列性质知:0.5+0.1+b=1,∴b=0.4.

∴EX=4×0.5+a×0.1+9×0.4=6.3,∴a=7.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4
X P

专项基础训练
5
-1 1 2 0 1 3

6
1 1 6

7

8

9

2.已知 X 的分布列为 7 EY= ,则 a 的值为 3 A.1

,且 Y=aX+3, ( ) D.4

B. 2

C.3

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4
X P

专项基础训练
5
-1 1 2 0 1 3

6
1 1 6

7

8

9

2.已知 X 的分布列为 7 EY= ,则 a 的值为 3 A.1

,且 Y=aX+3, ( B )

B. 2

C.3

D.4

解 析
1 1 1 1 先求出 EX=(-1)× +0× +1× =- . 2 3 6 3 再由 Y=aX+3 得 EY=aEX+3.
? 1? 7 ∴3=a×?-3?+3.解得 a=2. ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

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练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.一射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率都为 0.6,现有 4 颗子弹,则射击停止后剩余子弹的数目 X 的期望值 为 A.2.44 B.3.376 C.2.376 ( D.2.4 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.一射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率都为 0.6,现有 4 颗子弹,则射击停止后剩余子弹的数目 X 的期望值 为 A.2.44 B.3.376 C.2.376 ( C D.2.4 )

解 析
X 的所有可能取值为 3,2,1,0,其分布列为 X P 3 0.6 2 0.24 1 0.096 0 0.064

∴EX=3×0.6+2×0.24+1×0.096+0×0.064=2.376.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球 3 次, 一旦发球成功, 则停止发球, 否则一直发到 3 次为止. 设 学生一次发球成功的概率为 p(p≠0),发球次数为 X,若 X 的数学期望 EX>1.75,则 p 的取值范围是 ( ? ?7 ? ? ?1 ? 7? 1? A.?0,12? B.?12,1? C.?0,2? D.?2,1? ? ? ? ? ? ? ? ? )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球 3 次, 一旦发球成功, 则停止发球, 否则一直发到 3 次为止. 设 学生一次发球成功的概率为 p(p≠0),发球次数为 X,若 X 的数学期望 EX>1.75,则 p 的取值范围是 ( C ) ? ?7 ? ? ?1 ? 7? 1? A.?0,12? B.?12,1? C.?0,2? D.?2,1? ? ? ? ? ? ? ? ?

解 析

由已知条件可得 P(X=1)=p,P(X=2)=(1 -

p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2, 则 EX=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1- 5 1 2 2 p) =p -3p+3>1.75,解得 p>2或 p<2,又由 p∈(0,1),可得 ? 1? p∈?0,2?. ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.在篮球比赛中,罚球命中 1 次得 1 分,不中得 0 分.如果某运 动员罚球命中的概率为 0.7, 那么他罚球 1 次的得分 X 的均值是 ________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.在篮球比赛中,罚球命中 1 次得 1 分,不中得 0 分.如果某运 动员罚球命中的概率为 0.7, 那么他罚球 1 次的得分 X 的均值是 0.7 ________ .

解 析
EX=1×0.7+0×0.3=0.7.

基础知识

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练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.有一批产品,其中有 12 件正品和 4 件次品,有放回地任取 3 件, 若 X 表示取到次品的件数,则 DX=________.

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.有一批产品,其中有 12 件正品和 4 件次品,有放回地任取 3 件,

9 若 X 表示取到次品的件数,则 DX=________. 16

解 析
? 1? 1 由题意知取到次品的概率为 ,∴X~B?3,4?, 4 ? ? 1? 9 1 ? ∴DX=3×4×?1-4?=16. ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

A组

专项基础训练

1 9 2 3 4 6 7 8 5 7.(2011· 上海)马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率分布列
如下表: x P(ξ=x) 1 ? 2 ! 3 ?

请小牛同学计算 ξ 的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且 两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相 同.据此,小牛给出了正确答案 Eξ=________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

A组

专项基础训练

1 9 2 3 4 6 7 8 5 7.(2011· 上海)马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率分布列
如下表: x P(ξ=x) 1 ? 2 ! 3 ?

请小牛同学计算 ξ 的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且 两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相

2 同.据此,小牛给出了正确答案 Eξ=________. 解 析
设“?”处的数值为 x,则“!”处的数值为 1-2x,则
Eξ=1· x+2×(1-2x)+3x=x+2-4x+3x=2.

基础知识

题型分类

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练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)为了某项大型活动能够安全进行,警方从武警训练基地挑 选防爆警察,从体能、射击、反应三项指标进行检测,如果这三 项中至少有两项通过即可入选. 假定某基地有 4 名武警战士(分别 记为 A、B、C、D)拟参加挑选,且每人能通过体能、射击、反应 2 2 1 的概率分别为 , , .这三项测试能否通过相互之间没有影响. 3 3 2 (1)求 A 能够入选的概率; (2)规定: 按入选人数得训练经费(每入选 1 人, 则相应的训练基地 得到 3 000 元的训练经费),求该基地得到训练经费的分布列与数 学期望.

基础知识

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练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

解 析
解 (1)设 A 通过体能、射击、反应分别记为事件 M、N、P,则 A 能够入选包含以下几个互斥事件: MN P , M N P, M NP, MNP. 2 2 1 2 ∴P(A)=P(MN P )+P(M N P)+P( M NP)+P(MNP)=3×3×2+3
1 1 1 2 1 2 2 1 12 2 ×3×2+3×3×2+3×3×2=18=3. 2 答 A 能够入选的概率为3. ? ? ?? ? 2?4 1 1 2 1 3 (2)P(没有入选任何人 )=?1-3? = ,P(入选了一人)=C4?3??3? 81 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 24 2 2 2 1 2 3 2 3 1 =81,P(入选了两人)=C4?3? ?3? =81,P(入选了三人)=C4?3? ?3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 32 16 4 2 4 ? ? =81,P(入选了四人)=C4 3 =81, ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

解 析
记 ξ 表示该训练基地得到的训练经费,该基地得到训练经费 的分布列为 ξ P 0 1 81 3 000 8 81 6 000 24 81 9 000 32 81 12 000 16 81

8 24 32 16 Eξ=3 000× +6 000× +9 000× +12 000× =8 000(元) 81 81 81 81
所以,该基地得到训练经费的数学期望为 8 000 元.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

A组

专项基础训练

7 9 3 4 6 8 5 9. (12 分)(2011· 重庆)某市公租房的房源位于 A、 B、 C 三个片区. 设

每位申请人只申请其中一个片区的房源, 且申请其中任一个片区 的房源是等可能的,求该市的任 4 位申请人中: (1)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (2)申请的房源所在片区的个数 ξ 的分布列与期望.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

A组

专项基础训练

7 9 3 4 6 8 5 9. (12 分)(2011· 重庆)某市公租房的房源位于 A、 B、 C 三个片区. 设

每位申请人只申请其中一个片区的房源, 且申请其中任一个片区 的房源是等可能的,求该市的任 4 位申请人中: (1)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (2)申请的房源所在片区的个数 ξ 的分布列与期望.

解 析
解 (1)方法一 所有可能的申请方式有 34 种,恰有 2 人申请
2 A 片区房源的申请方式有 C2 · 2 种,从而恰有 2 人申请 A 片区 4 2 C2 · 2 8 4 房源的概率为 4 = . 3 27

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

A组

专项基础训练

7 9 3 4 6 8 5 9. (12 分)(2011· 重庆)某市公租房的房源位于 A、 B、 C 三个片区. 设

每位申请人只申请其中一个片区的房源, 且申请其中任一个片区 的房源是等可能的,求该市的任 4 位申请人中: (1)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (2)申请的房源所在片区的个数 ξ 的分布列与期望.

解 析

方法二

设对每位申请人的观察为一次试验, 这是

4 次独立重复试验.

1 记“申请 A 片区房源”为事件 A,则 P(A)=3. 从而,由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知, ? ? ? ? 8 2 1 2 2 2 恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为 P4(2)=C4?3? ?3? = . 27 ? ? ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

A组

专项基础训练

7 9 3 4 6 8 5 9. (12 分)(2011· 重庆)某市公租房的房源位于 A、 B、 C 三个片区. 设

每位申请人只申请其中一个片区的房源, 且申请其中任一个片区 的房源是等可能的,求该市的任 4 位申请人中: (1)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (2)申请的房源所在片区的个数 ξ 的分布列与期望.

解 析

3 1 (2)ξ 的所有可能值为 1,2,3.又 P(ξ=1)= 4= , 3 27

1 3 2 2 2 4 C2 C ?2 -2? 14? 14? 3?C2C4+C4C2? 3 ? ? P(ξ=2)= = 4 或 P ? ξ = 2 ? = = 4 ?, 3 27? 3 27 ? ? 2 3 2 1 ? C 4? C1 C C 4 4A3 3 4 2 P(ξ=3)= = ?或P?ξ=3?= 34 =9?. 4 3 9? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

A组

专项基础训练

7 9 3 4 6 8 5 9. (12 分)(2011· 重庆)某市公租房的房源位于 A、 B、 C 三个片区. 设

每位申请人只申请其中一个片区的房源, 且申请其中任一个片区 的房源是等可能的,求该市的任 4 位申请人中: (1)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (2)申请的房源所在片区的个数 ξ 的分布列与期望.

解 析

综上知,ξ 的分布列为

ξ 1 2 3 1 14 4 P 27 27 9 1 14 4 65 从而有 Eξ=1× +2× +3× = . 27 27 9 27
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2 1 1. 若 X 是离散型随机变量, P(X=x1)= , P(X=x2)= , 且 x1<x2, 3 3 4 2 又已知 EX= ,DX= ,则 x1+x2 的值为 ( ) 3 9 5 7 11 A. B. C.3 D. 3 3 3

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2 1 1. 若 X 是离散型随机变量, P(X=x1)= , P(X=x2)= , 且 x1<x2, 3 3 4 2 又已知 EX= ,DX= ,则 x1+x2 的值为 ( C ) 3 9 5 7 11 A. B. C.3 D. 3 3 3

解 析

分析已知条件,利用离散型随机变量的均值

1 4 ? 2 +x2·= , ?x1· 3 3 3 和方差的计算公式得:?? ? 2 ? 4 ?2 1 2 ??x1-4?2· ?x2- ? ·= , + 5 ? 3? 3 ? 3? 3 9 ?? x = 1 ? ? ? 3 ?x1=1, ?x1=1, 解得? 或? 又∵x1<x2,∴? ? ? ?x2=2, ?x2=2, ?x2=2 3 ?
∴x1+x2=3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组

专项能力提升

7 2 3 4 6 5 2.已知抛物线 y=ax2+bx+c (a≠0)的对称轴在 y 轴的左侧,其中

a,b,c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在这些抛物线中,记随机变 量 ξ=|a-b|的取值,则 ξ 的数学期望 Eξ 为 8 3 2 A. B. C. 9 5 5 ( 1 D. 3 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组

专项能力提升

7 2 3 4 6 5 2.已知抛物线 y=ax2+bx+c (a≠0)的对称轴在 y 轴的左侧,其中

a,b,c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在这些抛物线中,记随机变 量 ξ=|a-b|的取值,则 ξ 的数学期望 Eξ 为 8 3 2 A. B. C. 9 5 5 1 D. 3 ( A )

∴ξ 的分布列为

∵抛物线的对称轴在 y 轴的左侧, b b ∴-2a<0,即a>0,也就是 a,b 必须同号,
ξ P 0 1 3 1 4 9 2 2 9

解 析

1 4 2 8 ∴Eξ=0×3+1×9+2×9=9.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

B组

专项能力提升

1 7 2 3 4 6 5 3.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为

b,不得分的概率为 c(a、b、c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的 2 1 均值为 2,则a+ 的最小值为 ( ) 3b 32 28 14 16 A. B. C. D. 3 3 3 3

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

B组

专项能力提升

1 7 2 3 4 6 5 3.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为

b,不得分的概率为 c(a、b、c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的 2 1 均值为 2,则a+ 的最小值为 ( D ) 3b 32 28 14 16 A. B. C. D. 3 3 3 3 由已知得,3a+2b+0×c=2, 解 析 2 即 3a+2b=2,其中 0<a<3,0<b<1. 2 1 3a+2b ?2 1 ? 1 2b a 10 2b a ? ? + =3+ + + ≥ +2 又 a + 3b = 2 3 a 2b 3 a· 2b = ?a 3b? 16 2b a 3 ,当且仅当 a =2b,即 a=2b 时取“等号”,又 3a+2b=2, 1 1 2 1 16 即当 a=2,b=4时,a+3b的最小值为 3 .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.罐中有 6 个红球,4 个白球,从中任取 1 球,记住颜色后再放 回,连续摸取 4 次,设 ξ 为取得红球的次数,则 ξ 的期望 Eξ =________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.罐中有 6 个红球,4 个白球,从中任取 1 球,记住颜色后再放 回,连续摸取 4 次,设 ξ 为取得红球的次数,则 ξ 的期望 Eξ 12 =________. 5

解 析
因为是有放回地摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成功) 3 的概率均为 ,连续摸 4 次(做 4 次试验),ξ 为取得红球(成 5 ? 3? 功)的次数,则 ξ~B?4,5?, ? ? 3 12 从而有 Eξ=np=4×5= 5 .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.签盒中有编号为 1、2、3、4、5、6 的六支签,从中任意取 3 支, 设 X 为这 3 支签的号码之中最大的一个,则 X 的数学期望为 ________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.签盒中有编号为 1、2、3、4、5、6 的六支签,从中任意取 3 支, 设 X 为这 3 支签的号码之中最大的一个,则 X 的数学期望为
5.25 ________ .

由题意可知,X 可以取 3,4,5,6, 1 1 C2 3 C2 3 3 4 P(X=3)= 3= ,P(X=4)= 3= ,P(X=5)= 3= ,P(X=6) C6 20 C6 20 C6 10 2 C5 1 = 3= . C6 2
由数学期望的定义可求得 EX=5.25.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.设 l 为平面上过点(0,1)的直线,l 的斜率等可能地取-2 2,- 3, 5 5 - ,0, , 3,2 2,用 ξ 表示坐标原点到 l 的距离,则随机 2 2 变量 ξ 的数学期望 Eξ=________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.设 l 为平面上过点(0,1)的直线,l 的斜率等可能地取-2 2,- 3, 5 5 - ,0, , 3,2 2,用 ξ 表示坐标原点到 l 的距离,则随机 2 2 4 变量 ξ 的数学期望 Eξ=________. 7
当 l 的斜率 k 为± 2 2时,直线 l 的方程为± 2 2x-y+1 1 1 5 =0,此时坐标原点到 l 的距离 d= ;当 k 为± 3时,d= ;当 k 为± 3 2 2 2 时,d= ;当 k 为 0 时,d=1,由古典概型的概率公式可得分布列如下: 3 1 1 2 ξ 1 3 2 3 2 2 2 1 P 7 7 7 7 1 2 1 2 2 2 1 4 所以 Eξ=3×7+2×7+3×7+1×7=7.

解 析

基础知识

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B组

专项能力提升

5 1 7 2 3 4 6 7. (13 分)(2012· 课标全国)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进

若干枝玫瑰花, 然后以每枝 10 元的价格出售, 如果当天卖不完, 剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关 于当天需求量 n(单位:枝,n∈N)的函数解析式. (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位: 枝),整理得下表: 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元), 求 X 的分布列、数学期望及方差. ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由.
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1 2

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4 5 6 7

解 析
解 (1)当日需求量 n≥16 时,利润 y=80.

当日需求量 n<16 时,利润 y=10n-80. ? ?10n-80,n<16, 所以 y 关于 n 的函数解析式为 y=? (n∈N). ? ?80,n≥16 (2)①X 可能的取值为 60,70,80, 并且 P(X=60)=0.1, P(X=70)=0.2,
P(X=80)=0.7.
X 的分布列为 X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7

X 的数学期望为 EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.
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4 5 6 7

解 析

X 的方差为 DX=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+

(80-76)2×0.7=44. ②方法一 花店一天应购进 16 枝玫瑰花.理由如下:

若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列为 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

Y 的数学期望为 EY =55×0.1 + 65×0.2 + 75×0.16 + 85×0.54 = 76.4. Y 的 方 差 为 DY = (55 - 76.4)2×0.1 + (65 - 76.4)2×0.2 + (75 -

76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04.
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解 析

由以上的计算结果可以看出, DX<DY,即购进 16

枝玫瑰花时利润波动相对较小. 另外,虽然 EX<EY,但两者相差不大.故花店一天应购进 16 枝玫

瑰花. 方法二 花店一天应购进 17 枝玫瑰花.理由如下:
若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列为 Y P
76.4.
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55 0.1

65 0.2

75 0.16

85 0.54

Y 的数学期望为 EY = 55×0.1 + 65×0.2 + 75×0.16 + 85×0.54 =

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

解 析
由以上的计算结果可以看出,EX<EY,即购进 17 枝玫瑰花时的平 均利润大于购进 16 枝时的平均利润.

故花店一天应购进 17 枝玫瑰花.

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