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第7章-第1节第七章 立体几何初步 (4)



理科数学(江苏专版)

固 基 础 · 自 主 落 实

启 智 慧 · 高 考 研 析

第四节
提 知 能 · 典 例 探 究

直线、平面垂直的判定及其性质
课 后 限 时 自 测

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内容 考 纲 传 真 直线与平面垂直 的判定及性质 两平面垂直的 判定及性质

要求 A B C √



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1.直线与平面垂直 (1)定义:如果一条直线 a 与一个平面 α 内的 任意 一条直线都 垂直,就说直线 a 与平面 α 互相垂直. (2)判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂 直,那么这条直线垂直于这个平面. (3)性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条 直线平行.
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2.直线和平面所成的角 (1)平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的 锐角 ,叫 做这条直线与这个平面所成的角. (2)一条直线 垂直 平面,则称它们所成的角是直角 ;一条直线 与平面 平行 或在平面内 ,则称它们所成的角是 0° 的角.

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3.二面角的有关概念 (1)二面角:一条直线和由这条直线出发的两个半平面 所组成 的图形叫做二面角.二面角的范围是 [0,π] . (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个 半平面内分别作垂直于棱 的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二 面角的平面角.

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4.平面与平面垂直 (1)定义:如果两个平面所成的二面角是 直二面角 ,就说这两 个平面互相垂直. (2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 ,那 么这两个平面互相垂直. (3)性质定理:如果两个平面互相 垂直 ,那么在一个平面内

垂直于它们交线 的直线垂直于另一个平面.

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1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误 的打“×”) (1)经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直. ( (2)如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一 个平面平行. ( ) )

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(3)若一条直线和平面内的无数条直线垂直,则这条直线必和 这个平面垂直. ( )

(4)若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的 直线与另一个平面也不垂直. ( )

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[ 解析]

(1)中过平面外一点能作无数个平面与已知平面垂直,

故错;(2)中的这条直线也有可能在另一个平面内,故错;(3)中不 符合有两相交直线这个条件,故错;(4)符合面面垂直的性质定理.

[ 答案]

(1)× (2)× (3)× (4)√

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2.(教材习题改编)设 l,m,n 是三条不同的直线,α,β,γ 是 三个不同的平面,给出下列四个命题: (1)若 m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α; (2)若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β; (3)若 l∥m,m⊥α,n⊥α,则 l∥n; (4)若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β. 其中所有正确命题的序号是________.

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[ 解析]

(1)中缺少条件 m 与 n 相交,故(1)错误;(2)中两平面

α,β 也有可能相交,故(2)错误;(3)符合直线与平面垂直的性质定 理及平行公理,故(3)正确;(4)中 m 可能与 β 平行,可能在 β 内, 也可能与 β 相交,故(4)错误.

[ 答案]

(3)

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3.如图 741,沿等腰三角形 ABC 底边上的高 AD,把△ABC 折成二面角 BADC,则下列说法中正确的是________.

图 741 ①平面 ABD 和平面 BDC 可能不垂直; ②平面 ADC 和平面 BDC 可能不垂直; ③平面 ABD 和平面 ADC 只能有一个与平面 BDC 不垂直; ④平面 ABD 和平面 ADC 都与平面 BDC 垂直.
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[ 解析]

由 AD 为△ABC 底面上的高知,折成二面角后,仍有

AD⊥BD,AD⊥CD,且 BD∩CD=D,所以 AD⊥面 BDC,故①② ③均不正确.

[ 答案]



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4.(2014· 浙江高考改编)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是 两个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥n,n∥α,则 m⊥α;②若 m∥β,β⊥α,则 m⊥α;③ 若 m⊥β,n⊥β,n⊥α,则 m⊥α;④若 m⊥n,n⊥β,β⊥α,则 m ⊥α. 其中所有正确命题的序号是________.

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[ 解析]

命题①②④中 m 均可能与平面 α 平行、垂直、斜交或

在平面 α 内,故①②④均错.

[ 答案]



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5.(2014· 苏锡、常镇四市调研)四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,PA⊥底面 ABCD,且 PA=4,则 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值为________.
[ 解析] 连结 PC,则∠PCA 即为 PC 与底面 ABCD 所成的角,

PA 4 tan∠PCA= = = 2. AC 2 2
[答案] 2

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考向 1

线面垂直的判定与性质

【典例 1】 (2014· 重庆高考)如图 742,四棱锥 PABCD 中, π 底面是以 O 为中心的菱形,PO⊥底面 ABCD,AB=2,∠BAD= , 3 1 M 为 BC 上一点,且 BM= . 2

图 742
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(1)证明:BC⊥平面 POM; (2)若 MP⊥AP,求四棱锥 PABMO 的体积.

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[ 解]

(1)证明:如图,因为四边形 ABCD 为菱形,O 为菱形中

心,连结 OB,则 AO⊥OB. π 因为∠BAD= , 3 π 故 OB=AB· sin∠OAB=2sin =1. 6 1 π 又因为 BM= ,且∠OBM= ,在△OBM 中, 2 3

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OM2=OB2+BM2-2OB· BM· cos∠OBM =1
2

?1? 1 ? ?2 +?2? -2×1× ×cos 2 ? ?

π 3 = . 3 4

所以 OB2=OM2+BM2,故 OM⊥BM. 又 PO⊥底面 ABCD,所以 PO⊥BC. 从而 BC 与平面 POM 内两条相交直线 OM,PO 都垂直, 所以 BC⊥平面 POM.

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π (2)由(1)可得,OA=AB· cos ∠OAB=2· cos = 3. 6 设 PO=a,由 PO⊥底面 ABCD 知,△POA 为直角三角形, 故 PA2=PO2+OA2=a2+3. 由△POM 也是直角三角形, 3 故 PM =PO +OM =a + . 4
2 2 2 2

连结 AM.在△ABM 中,AM2=AB2+BM2-2AB· BM· cos∠ABM =2
2

?1? 1 ? ?2 +?2? -2· 2·· cos 2 ? ?

2π 21 = . 3 4
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由已知 MP⊥AP,故△APM 为直角三角形,
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3 21 则 PA +PM =AM ,即 a +3+a + = , 4 4
2 2 2 2 2

3 3 3 得 a= ,a=- (舍去),即 PO= . 2 2 2 此时 S 四边形 ABMO=S△AOB+S△OMB 1 1 = · AO· OB+ · BM· OM 2 2 1 1 1 3 5 3 = × 3×1+ × × = . 2 2 2 2 8 所以四棱锥 PABMO 的体积 1 1 5 3 3 5 VPS · PO= × × = . ABMO= · 3 四边形 ABMO 3 8 2 16
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【规律方法】 1.证明直线和平面垂直的常用方法:(1)判定定理;(2)垂直于 平面的传递性(a∥b,a⊥α?b⊥α);(3)面面垂直的性质定理. 2.证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需 借助线面垂直的性质. 因此, 判定定理与性质定理的合理转化是证 明线面垂直的基本思想.

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【变式训练 1】 (2014· 扬州市期末考试)如图 743, 在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥平面 ABCD,E 是 PC 的 中点,F 为线段 AC 上一点.

图 743 (1)求证:BD⊥EF; AF (2)若 EF∥平面 PBD,求 的值. FC
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[ 解] BD.

(1)因为 PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,所以 PA⊥

因为四边形 ABCD 是正方形,所以 AC⊥BD. 又 PA∩AC=A,所以 BD⊥平面 PAC. 因为 EF?平面 PAC,所以 BD⊥EF. (2)设 AC 与 BD 交于点 O,连结 PO. 因为 EF∥平面 PBD,平面 PAC∩平面 PBD=PO,且 EF?平 面 PAC,所以 EF∥PO. AF 又 E 是 PC 的中点,所以 OF=FC,所以 AF=3FC,即 =3. FC
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考向 2

面面垂直的判定与性质

【典例 2】 (2014· 淮安、宿迁高三摸底)如图 744,在三棱锥 PABC 中,平面 ABC⊥平面 PAC,AB=BC,E,F 分别是 PA,AC 的中点,求证:

图 744 (1)EF∥平面 PBC; (2)平面 BEF⊥平面 PAC.
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[ 解]

(1)∵E,F 分别是 PA,AC 的中点,

∴EF∥PC. ∵PC?平面 PBC,EF?平面 PBC, ∴EF∥平面 PBC.

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(2)∵AB=BC,F 是 AC 的中点, ∴BF⊥AC, ∵平面 ABC⊥平面 PAC,平面 ABC∩平面 PAC=AC,BF?平 面 ABC, ∴BF⊥平面 PAC. ∵BF?平面 BEF, ∴平面 BEF⊥平面 PAC.

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【规律方法】 1.解答本题(2)的关键是先利用平面与平面垂直的性质定理得 出 BF⊥平面 PAC. 2.证明两个平面垂直,首先要考虑直线与平面的垂直,也可 简单地记为“证面面垂直,找线面垂直”,是化归思想的体现,这 种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似, 这种转化方法 是本讲内容的显著特征, 掌握化归与转化思想方法是解决这类问题 的关键.

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【变式训练 2】 如图 745, 在四棱锥 PABCD 中, 平面 PAD ⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60° ,E,F 分别是 AP,AD 的 中点.求证:

图 745 (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.
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[ 解] ∥PD.

(1)在△PAD 中,∵E,F 分别为 AP,AD 的中点,∴EF

又 EF?平面 PCD,PD?平面 PCD, ∴直线 EF∥平面 PCD.

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(2)连结 BD.∵AB=AD,∠BAD=60° , ∴△ABD 为正三角形. ∵F 是 AD 的中点,∴BF⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BF⊥平面 PAD. 又 BF?平面 BEF,∴平面 BEF⊥平面 PAD.

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考向 3 命题视角

直线、平面垂直的综合应用(高频考点)

线面垂直和面面垂直是历年高考重点主要命题角

度:①证明线面垂直;②证明线线垂直;③证明面面垂直.

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【典例 3】 (2013· 北京高考)如图 746,在四棱锥 PABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD,PA ⊥AD,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点.求证:

图 746 (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
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[ 思路点拨]

先由已知面面垂直得出线面垂直(1)得证; 结合(1)

及条件可以证出 CD⊥平面 PAD,进一步可证明 CD⊥平面 BEF.

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[ 解]

(1)因为平面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA 垂直于这两个平

面的交线 AD,所以 PA⊥底面 ABCD. (2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点, 所以 AB∥DE,且 AB=DE. 所以四边形 ABED 为平行四边形. 所以 BE∥AD. 又因为 BE?平面 PAD,AD?平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD.

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(3)因为 AB⊥AD,而且四边形 ABED 为平行四边形, 所以 BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD, 所以 PA⊥CD. 所以 CD⊥平面 PAD. 所以 CD⊥PD.

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因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点, 所以 PD∥EF.所以 CD⊥EF. 又因为 CD⊥BE,EF∩BE=E, 所以 CD⊥平面 BEF. 所以平面 BEF⊥平面 PCD.

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【通关锦囊】 1.证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是利 用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中一条垂直 于这个平面,则另一条也垂直于这个平面). 2.在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决.如有平 面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之 转化为线面垂直, 然后进一步转化为线线垂直. 故熟练掌握“线线 垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键.
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【变式训练 3】 (2014· 淮安调研)如图 747, 在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为矩形,平面 PAB⊥平面 ABCD,PA⊥PB,BP= BC,E 为 PC 的中点.

图 747 (1)求证:AP∥平面 BDE; (2)求证:BE⊥平面 PAC.
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[ 解]

(1)设 AC∩BD=O,连结 OE.

因为 ABCD 为矩形,所以 O 是 AC 的中点. 因为 E 是 PC 中点,所以 OE∥AP. 因为 AP?平面 BDE,OE?平面 BDE, 所以 AP∥平面 BDE.

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(2)因为平面 PAB⊥平面 ABCD,BC⊥ AB,平面 PAB∩平面 ABCD=AB, 所以 BC⊥平面 PAB. 因为 AP?平面 PAB,所以 BC⊥PA. 因为 PB⊥PA,BC∩PB=B,BC?平面 PBC,PB?平面 PBC, 所以 PA⊥平面 PBC. 因为 BE?平面 PBC,所以 PA⊥BE. 因为 BP=BC,且 E 为 PC 中点,所以 BE⊥PC. 因为 PA∩PC=P,PA?平面 PAC,PC?平面 PAC. 所以 BE⊥平面 PAC.
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明确 1 种关系 垂直问题的转化关系

掌握 3 类证法 1.证明线线垂直的方法 (1)定义:两条直线所成的角为 90° ;(2)平面几何中证明线线垂 直的方法;(3)线面垂直的性质:a⊥α,b?α?a⊥b;(4)线面垂直 的性质:a⊥α,b∥α?a⊥b.

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2.证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义:a 与 α 内任何直线都垂直?a⊥α; m、n?α,m∩n=A? ? ??l⊥α;(3)判定定理 2: (2)判定定理 1: ? l⊥m,l⊥n ? a∥b,a⊥α?b⊥α;(4)面面垂直的性质:α⊥β,α∩β=l,a?α,a ⊥l?a⊥β.

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3.证明面面垂直的方法 (1)利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角; (2)判定定理:a?α,a⊥β?α⊥β.

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思想方法之 14

立体几何中的等价转化思想

(2014· 山东高考改编)如图 748,四棱锥 PABCD 中, 1 AP⊥平面 PCD,AD∥BC,AB=BC= AD,E,F 分别为线段 AD, 2 PC 的中点.

图 748
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(1)求证:AP∥平面 BEF; (2)求证:平面 BEF⊥平面 PAC.

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【证明】 (1)设 AC∩BE=O,连结 OF,EC. 由于 E 为 AD 的中点, 1 AB=BC= AD,AD∥BC, 2 所以 AE∥BC,AE=AB=BC, 因此四边形 ABCE 为菱形, 所以 O 为 AC 的中点. 又 F 为 PC 的中点,因此在△PAC 中,可得 AP∥OF. 又 OF?平面 BEF,AP?平面 BEF, 所以 AP∥平面 BEF.
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(2)由题意知 ED∥BC,ED=BC. 所以四边形 BCDE 为平行四边形,因此 BE∥CD. 又 AP⊥平面 PCD,所以 AP⊥CD,因此 AP⊥BE. 因为四边形 ABCE 为菱形,所以 BE⊥AC. 又 AP∩AC=A,AP?平面 PAC,AC?平面 PAC, 所以 BE⊥平面 PAC. 又因为 BE?平面 BEF, 所以平面 BEF⊥平面 PAC.

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【智慧心语】 易错提示:(1)在(1)中,不能正确作出辅助线 FO 导致无法求 解. (2)在(2)中,在两个平面中不能确定哪一平面中内一条直线和 另一平面垂直. 防范措施:(1)证明线面平行,通常有两种方法,要么用线线 平行,要么用面面平行,条件中若出现中点,一般考虑作出三角形 的中位线. (2)证明面面垂直,要有等价转化思想的意识,关注条件,是 否有线面垂直,否则就要观察线线垂直.
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【类题通关】 如图 749,在斜三棱柱 ABCA1B1C1 中,底面 是等腰三角形,AB=AC,侧面 BB1C1C⊥底面 ABC.

图 749

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(1)若 D 是 BC 的中点,求证:AD⊥CC1; (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M,若 AM= MA1, 求证:截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C.

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[ 证明]

(1)∵AB=AC,D 是 BC 中点,

∴AD⊥BC. ∵平面 BB1C1C⊥平面 ABC,交线为 BC, ∴AD⊥平面 BB1C1C. 又∵CC1?平面 BB1C1C, ∴AD⊥CC1.

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(2)取 BC1 中点 E,连结 DE,ME, ∵BE=C1E,BD=CD, 1 ∴DE 綊 CC1, 2 ∵ABCA1B1C1 为棱柱,M 是 AA1 中点, 1 ∴AM 綊 CC1, 2

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∴DE 綊 AM,

∴ADEM 为平行四边形,∴AD∥ME, 由(1)知 AD⊥平面 BB1C1C, ∴ME⊥平面 BB1C1C. ∵ME?平面 MBC1, ∴截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C.

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课后限时自测(四十二) 点击图标进入…

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