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高一数学函数的零点


祝同学们天天进步

复习回顾: (1)一元二次方程是否有实根的判定方法. (2)二次函数的顶点坐标,对称轴方程。 一:利用一元二次方程根的判别式

? ? b ? 4ac
2

(1)△>0,二次方程有两个不同的实数根 (2)△=0,二次方程有两个相同的实数根 (3)△<0,二次方程没有实数根 二:二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
b 顶点坐标为( ? 2a
2 b 4 ac ? b , ) 对称轴为 x ? ? 2a 4a

观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的 二次函数的图象:
一元二次方程 方程的根 二次函数 图象与x轴的 交点

x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0

x= 3或 x=-1 x=1
无实数 根

y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3

(-1,0) (3,0) (1,0)
无交点

一般一元二次方程与相应二次函数的关系 △=b2-4ac ax2+bx+c=0 y=ax2+bx+c(a≠0)的 图象与x轴的交点 的根
△>0

x1,x2
x1=x2 无实根

(x1,0),(x2,0)
(x1,0) 无交点

△=0
△<0

函数零点的定义:

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫 做函数y=f(x)的零点。 注意:
零点指的是一个实数;

零点是一个点吗?

方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点

函数y=f(x)有零点

二次函数零点的个数
△=b2-4ac

ax2+bx+c=0

的根
△>0

y=ax2+bx+c(a≠0)的 图象与x轴的交点

△=0
△<0

两个不相 等的实根 两个相等 的实根 无实根

两个零点
二重零点 无零点

探究
观 察 二 次 函 数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的 图 象,如右图,我们发现函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3在 区间 ? ?2,1? 上有零点。计算 f (?2) 和 f (1) 的乘 积,你能发现这个乘积有什么特点?在区间
y 5 4 3 2 1 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 x

? 2, 4? 上是否也具有这种特点呢?

(1)当函数的图像通过零点且穿过x轴时,函数值变 号。 (2)两个零点把x轴分为三个区间。 可以推广到任意函数,只要它的图像是连续的,上述 性质同样成立。

例一:判断函数零点的个数

( 1 )f ( x) ? x ? x ? 6 1 2 (2) f ( x) ? x ? x
2

答案(1)两个

(2)一个

(1)可直接解方程(2)可解方程也可数形结合

互动探究
例二:求函数的零点

(1) y ? x ? 1
4

(2) f ( x) ? ?3x2 ? 7 x ? 6

答案(1)1和-1

2 (2)-3和 3

变式训练:
(1)求函数的零点 f ( x) ? ( x2 ? x ? 2)(x2 ? 2x ? 8)

(2)讨论y ? (ax ? 1)(x ? 2)的零点。

思考与讨论 :如何求函数的零 点?
规律方法:由于函数的零点是对应方 程的根,所以求函数的零点就是解与 函数相对应的方程,一元二次方程可 用求根公式,简单的高次方程可用因 式分解去求。

例三、求函数y=x3-2x2-x+2的零点,并画出它 的图像。
y

解:因为 x3-2x2-x+2=x2(x-2)-(x-2) =(x-2)(x2-1) =(x-2)(x-1)(x+1) 所以已知函数的零点为-1, 1,2. 3个零点把x轴分成4个区间: (-∞,-1)(-1,1)(1, 2)(2,+ ∞ )

2

-2

0

2 x

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课本练习A

本堂小结: 一:函数零点的概念 二:函数零点与方程根的关系

三:求函数的零点及判断零点的 个数

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腥杀戮,人类悲惨的痛哭,还有魔兽兴奋的吼叫,这些场面,夜北冥都冷漠的路过,没有插手。有很多的人,明明有亲手杀了 那些低阶魔兽的机会,偏偏就要跟懦夫似的跪地哭泣,然后没有任何反抗的被扑过来的魔兽咬死。或者等着别人来救,等有些 好运气的被胆子大的给救走了,再次遇到魔兽的时候高声尖叫的把自己的救命恩人给推进去魔兽口送死。这些人该死,救别人 的人也很愚蠢,就算你同情心泛滥, 也要看你救得是一头白眼狼还是真正的人,随便的抛却你的善心得来的不是回报,而是 残忍的伤害。夜北冥如是的想着,直到她经过一个国家,当时有上万只魔兽正在围攻。可是这个国家的人没有一点胆怯,老弱 夫孺,哪怕是一个刚满三岁的小孩子,也都拿起手中的能伤人的武器与魔兽对抗,哪怕下一秒他们就会成为魔兽口中的食物, 也毫不气馁的大声喊着“冲啊!”“赶出这些闯入我们家园的畜生!” “为了青龙王朝,战!战!战!”然后,接着一个又 一个人惨死在魔兽嘴下,这帮人的血性和骨气深深地触动了夜北冥坚硬的内心。于是,她伸手一挥,使出自身已经达到宗师境 的力量,将那些魔兽一一杀死,然后不顾那些已经在原地惊呆的众人人,瞬间消失在原地。用了整整三天的时间,将未央大陆 所有的魔兽聚集到一起,统一赶到了落叶森林,等魔兽们都进去后,选出了当时魔兽当中最强的一只并且成功驯服,由它监督 所有的魔兽不许任何一只踏出落叶森林半步,除非是被人类契约带走的。然后又回到第一次动手的地方,可没想到这里等着那 么多人!地上的血迹还有一些人类和魔兽的尸体都没有完全的处理完,那些在原地或做或战的人一看到夜北冥的身影出现,都 齐刷刷的朝夜北冥跪地喊道:“多谢神灵救我等性命!”只可惜夜北冥在看到她们开始跪地的时候就又消失了,并没有听见后 面的那些话。这次,夜北冥来到了一座王宫内,只是,王宫里一片哭泣声,所有人围着一个巨大的石棺,低着头啜泣,还有几 个的嗓门特别的大,不知是不是故意的,声音特别的尖细。没想到赶上人家办丧事了,夜北冥想趁着众人都没有发现,就飞身 离开,没想到眼前出现一名身着白色孝衣的女子。红着双眼,却满眼的激动,颤抖的说道:“恩人,是您吗?没想到您会来这 里!今天是我母皇入殡的日子,可以请您多留一会吗?”看到夜北冥脸上的拒绝,那名白衣女子立马焦急的摇着双手说 道:&quot;不不不,恩人您不要生气,我是青龙国太女木兮,我没有打扰您宝贵时间的意思,在我们面对群兽的进攻快要支持 不下去的时候,是您救了我们,我的命还是您救得,我的母皇已经在三天前逝去,今日终于可以入殡了,母皇入殡后我就要紧 跟着登基,我想有恩人您的出现,会让母皇在天


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