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函数的奇偶性与周期性



新县二高艺术年级数学导学案(17)
王琼璞编 马海游审 内容:函数的奇偶性 2014.9.19

课前学习:

1、 函数奇偶性定义:一般的,设对于函数 f(x)定义域内的任意一个自变量 x, 奇函数: ;偶函数: ; 2 、奇偶函数的性质: (1)具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶 函 数 的 必

要 不 充 分 条 件 是 其 定 义 域 关 于 原 点 对 称 ) . (2)奇函数的图象关于 对称,偶函数的图象关于 对称. (3)若奇函数的定义域包含数 0,则 f(0)=0. (4)奇函数在关于原点对称的区间上单调性 ,偶函数在关于原点对称的 区间上单调性 。 (5)在具有奇偶性函数的公共定义域上:

奇+奇=奇,奇*奇=偶,偶+偶=偶,偶*偶=偶,奇*偶=奇
3、判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理, 但必须注意使定义域不受影响; 4. 拓展延伸: 一般地,对于函数 y=f(x) ,定义域内每一个自变量 x 都有 f(a+x)=f(a-x),则它的图象关于 x=a 成轴对称。用文字语言概括为:f 后括号里 两个自变量之和是定值的时候,函数图像关于直线 x=定值/2 对称。
自我检测:
1、判断并证明下列函数的奇偶性 ( 1) f ( x ) ? x ?

1 x

(2)f(x)=(x+1)

1-x ; 1+x

1 1 (3)f(x)=x( x + ); 2 -1 2

( 4) f ( x ) ?

1 x2

(5) f ( x) ? x

2

x ?[?1, 2]

(6)f(x)=log2(x+ x2+1)

2.已知 f ( x) 是定义 R 上的奇函数, 且 f ( x) 在 ?0, ?? ? 上是减函数. 下列关系式中正确的是 ( ) A. f (5) ? f (?5) 3.下列说法错误的是 A. f ( x) ? x ? B. f (4) ? f (3) C. f (?2) ? f (2) D. f (?8) ? f (8) ( )

1 是奇函数 x

C. f ( x) ? 0, x ? [?6,6] 既是奇函数,又是偶函数 D. f ( x) ?

B. f ( x) ?| x ? 2 | 是偶函数

x3 ? x2 既不是奇函数,又不是偶函数 x ?1

4、已知函数 f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则 m 的值是 ( ) A.1 B.2 C .3 D.4 5、(2011· 吉林模拟)已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值为( ) 1 1 1 1 A.- B. C. D.- 3 3 2 2 6、(2010· 山东)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常数), 则 f(-1)等于 ( ) A.3 B.1 C.-1 D.-3 7、已知 f(x)是奇函数,在[3,7]是增函数且最大值为 4,那么 f(x)在[-7,-3]上是 函数, 且最 值为 . ?x+1??x+a? 为奇函数,则 a=________. x

8、(2011· 开封模拟)设函数 f(x)=

9、函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当 x∈(0,+∞)时是增函数,若 f(1)=0,求不等式 1 f[x(x- )]<0 的解集.(提示:请自己做出函数的大致图像,数形结合,解决问题。) 2

10、设函数 f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3) 图象; (3)说明函数 f(x)的单调性;

(1)证明 f(x)是偶函数; (2)画出这个函数的 (4)求函数的值域.

新县二高艺术年级数学导学案(18)
王琼璞编 马海游审 内容:函数的周期性 2014.9.20

课前自主学习: 1、周期性的定义:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当自变 量 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x)=f(x+T)成立,那么就称函数 y=f(x)为 周期函数。 2、 周期函数的图象特点: 将函数 y=f(x)的图象向左(右)平移 T 的整数倍个单 位,所得的函数图象与函数 y=f(x)的图象重合。 3、函数图像有两条对称轴,或者两个对称中心,或者即是轴对称图形又是中心 对称图形的时候,要考虑函数的周期性。 4、周期函数的性质: T T ①f(x+T)=f(x)常常写作 f(x+ 2 )=f(x- 2 ). ②如果 T 是函数 y=f(x)的周期, 则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是 y=f(x)的周期, 即 f(x +kT)=f(x). ③若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 x 都有 f(x+a)=-f(x)或 f(x+ 1 1 a)= 或 f(x+a)=- (a 是常数且 a≠0),则 f(x)是以______为一个周期的周期 f?x? f?x? 函数.

过关检测:
1、(2009· 江西改编)已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)
=f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2 012)+f(2 011)的值为 ( ) A.-2 B.-1 C .1 D.2 2、定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数,且 f(x)=f(2-x).若 f(x)在区间[1,2]上是减函数, 则 f(x)( ) A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数 1 3、 (2011· 鞍山月考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并满足 f(x+2)=- ,当 1≤x≤2 f?x? 时,f(x)=x-2,则 f(6.5)等于 ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 4.(2011· 咸阳月考)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 若 f(x)满足 f(x+3)=f(x), 且 f(1)>1, 2m-3 f(2)= ,则 m 的取值范围是________. m+1

5、已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,g(x)是 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1),若 f(2)= 2,则 f(2 010)的值为________。

6、(2011· 承德模拟)已知函数 f(x)=x3+x, 对任意的 m∈[-2,2], f(mx-2)+f(x)<0 恒成立, 则 x 的取值范围为________.

7、(2009· 山东)已知定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增 函数,若方程 f(x)=m(m>0),在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3 +x4=________.

a 8、(2011· 舟山调研)已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R). x (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在[2,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围.

9、函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围.



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