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必修2直线与圆解答题(难)



心海一舵中小学生课外成长学堂

直线与圆解答题(必修 2)
1.已知直线 l : m x ? (m ? 1) y ? 3 . (Ⅰ)求直线 l 斜率的取值范围; (Ⅱ)若直线 l 被圆 C : x ? y ? 2 y - 8 ? 0 截得的弦长为 4,求直线 l 的方程.
2 2

解:(Ⅰ)斜率 k ?

r />m ,当 m ? 0 时, k ? 0 ; 当 m ? 0 时,一方面 k ? 0 , m ?1 m m 1 1 ? ? ,当且仅当 m ? 1 时取“=”,综上, k 的取值范围为 [0, ] . 另一方面 k ? m ?1 2 m 2 2
2 2

(Ⅱ)圆的标准方程为 x ? ( y ? 1) ? 9 . 由

由题意,圆心 (0, 1)到直线 l 的距离 d ?

9 ? 22 ? 5

| ?m ? 1 ? 3 | m ? (m ? 1) 2

? 5 及 m ? 0 解得 m ? 1 ,∴直线 l 的方程为: x ? 2 y ? 3 ? 0
2 2 2 2

2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1: ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 和圆 C2: ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 4 . (Ⅰ)若直线 l 过点 A(4, 0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂的直线 l1 和 l2,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标. 解:(Ⅰ)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交,所以直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) , 圆心 C1 到直线 l 的距离为 d , 因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3 , 所以 d ?

2 2 ? ( 3) 2 ? 1
∴ k=0 或 k ? ?

y

d?

| 1 ? k (?3 ? 4) | 1? k
2

?1 ,

k (24k ? 7) ? 0

,

7 24
1 O 1 A

C2

所求直线 l 的方程为 y=0 或 7x+24y-28=0 (Ⅱ)设点 P(a, b) 直线 l1: y ? b ? k ( x ? a) ;l2: y ? b ? ?
C1 1 ( x ? a) k x

因为圆 C1、圆 C2 的半径相等,且分别被直线 l1、l2 截得的弦长相等, 所以圆心 C1 到直线 l1 的距离、圆心 C2 到直线 l2 的距离相等.

| 1 ? k (?3 ? a) ? b | 1? k 2

?

|5?

1 (4 ? a) ? b | k , 1 2 1? ( ) k


| (a ? 3)k ? (1 ? b) |?| (5 ? b)k ? (4 ? a) |
(a+3)k+(1-b)=-(5-b)k-(4-a) 或

(a+3)k+(1-b)=(5-b)k+(4-a) ∵ k 的取值有无穷多个 ∴ ?

?a ? 3 ? 5 ? b ?1 ? b ? 4 ? a

?a ? 3 ? ?5 ? b ? ?1 ? b ? ?4 ? a

5 ? a? ? ? 2 解得 ? ?b ? ? 1 ? 2 ?

3 ? a?? ? ? 2 或? 13 ?b ? ? 2 ?

∴ P ( , ? ) 或 P(?

5 2

1 2

3 13 , ) 2 2

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3. (已知圆 M: 2 x ? 2 y ? 4 y ? 23 ,直线 l0:x+y=8 , l0 上一点 A 的横坐标为 a , 过点 A 作圆 M 的两条切线 l1 , l2 , 切点分别为 B ,C. (Ⅰ)当 a=0 时,求直线 l1 , l2 的方程; (Ⅱ)当直线 l1 , l2 互相垂直时,求 a 的值;
2 2

(Ⅲ)是否存在点 A,使得 BC 长为 10 ?若存在,求出点 A 的坐标,若不存在,请说明理由. . 解:(Ⅰ)圆 M: x 2 ? ( y ? 1) 2 ?

5 25 圆心 M(0 , 1) , 半径 2 2
73 5

y

A(0, 8) , 设切线的方程为 y=k x+8 , 圆心距 d ?

9 k ?1
2

?

5 2

,

∴k ? ?

B A M O D C x

所求直线 l1 , l2 的方程为 y ? ?

73 x?8 5

(Ⅱ)当 l1 ⊥l2 时,四边形 MCAB 为正方形, ∴

| AM |? 2 | MB |? 2 ?

5 2

?5
a 2 ? 7a ? 12 ? 0
∴ a=3 或 a=4

2 2 设 A(a , 8-a), M(0 , 1) 则 a ? (7 ? a ) ? 5

(Ⅲ)若 BC ? 10 , 则 BD ?

10 5 , MB ? ∴ MD ? 10 2 2 5 2 MB =MD·MA ∴ MA ? 10 4 7 5 ∵圆心 M 到直线 l0 的距离为 ∴ 点 A 不存在 ? 10 2 4

4. 已知点 O 为坐标原点,圆 C 过点(1, 1)和点(-2 , 4),且圆心在 y 轴上. (Ⅰ)求圆 C 的标准方程; (Ⅱ)如果过点 P(1, 0)的直线 l 与圆 C 有公共点,求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (Ⅲ)如果过点 P(1, 0)的直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点, 且|AB|= 2 3 ,试求直线 l 的方程. 解:(Ⅰ)∵点 (1,1) 和点 (?2, 4) 连线段的中垂线方程是 x ? y ? 3 ? 0 , 又其与 y 轴交点为(0, 3),而圆心同时在中垂线和 y 轴上 ∴圆心坐标为(0,3),圆半径 r ? 5 ∴ 圆 C 的标准方程是: x ? ( y ? 3) ? 5
2 2

(Ⅱ)设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 ,设点(0, 3)到此直线距离为 d ,

k 2 ?1 (Ⅲ)设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 | ?3 ? k | ? ( 5 ) 2 ? ( 3) 2 ? 2 则由圆心(0, 3)到此直线距离为 d ? 2 k ?1 解得 k=-1 或 k=7 故直线 l 的方程是 x ? y ? 1 ? 0或7 x ? y ? 7 ? 0

则由 d ?

?3 ? k

? 5 ,即 2k 2 ? 3k ? 2 ? 0

解得 k ? ?

1 或k ? 2 2

5. 已知圆 C: ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 ,直线 l1 过定点 A (1,0). (Ⅰ)若 l1 与圆 C 相切,求 l1 的方程;
2 2

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(Ⅱ)若 l1 的倾斜角为 45°,l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求线段 PQ 的中点 M 的坐标; (Ⅲ)若 l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求三角形 CPQ 的面积的最大值, 并求此时直线 l1 的方程. 解:(Ⅰ) ①若直线 l1 的斜率不存在,则直线 l1:x=1,符合题意. ②若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . 由题意知,圆心(3,4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2, 3k ? 4 ? k 3 即: ? 2 ,解之得 k ? . 2 4 k ?1 所求直线 l1 的方程是 x ? 1 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 . (Ⅱ) 直线 l1 方程为 y=x-1. ∵PQ⊥CM, ∴ CM 方程为 y-4=-(x-3), 即 x+y-7=0. ? y ? x ? 1, ? x ? 4, ∵? ∴? ∴ M 点的坐标为(4, 3). ? y ? 3. ? x ? y ? 7 ? 0, (Ⅲ) 直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0, 设直线方程为 kx ? y ? k ? 0 , 则圆心到直线 l1 的距离 又∵△CPQ 的面积

y

C

1 O

A 1 x

d?

2k ? 4 1? k 2
y l1 Q M P 1 O A 1 x

S?

1 d ?2 4?d2 ? d 4?d2 2
? (d 2 ? 2) 2 ? 4

C

2 4 = 4d ? d ?



当 d= 2 时,S 取得最大值 2.

∴d ?

2k ? 4 1? k 2

= 2

∴ k=1 或 k=7

所求直线 l1 方程为 x-y-1=0 或 7x-y-7=0 .
2 2

6. 已知圆 A 过点 P ( 2 , 2 ),错误!未找到引用源。且与圆 B: ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? r (r ? 0) 关于直线
2

x ? y ? 2 ? 0 对称.
(Ⅰ)求圆 A 和圆 B 方程; (Ⅱ)求两圆的公共弦长; (Ⅲ)过平面上一点 Q( x0 , y0 ) 向圆 A 和圆 B 各引一条切线,切点分别为 C、D,设 求证:平面上存在一定点 M 使得 Q 到 M 的距离为定值,并求出该定值. 所求直线 l1 方程为 x-y-1=0 或 7x-y-7=0 . 解:(Ⅰ)设圆 A 的圆心 A(a,b),由题意得:

QD ? 2, QC

?b ? 2 ? ?1 ? ?a ? 0 ?a ? 2 解得 ? ? A(0,0) ? b ? 0 a ? 2 b ? 2 ? ? ? ?2?0 ? 2 ? 2 2 2 2 设圆 A 的方程为 x ? y ? r ,将点 P( 2 , 2 )代入得 r=2
∴圆 A: x ? y ? 4 ,圆 B: ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 (Ⅱ)由题意得两圆的公共弦所在直线方程为 l:x-y+2=0,设(0, 0)到 l 的距离为 d,
2 2 2 2

则 d=

0?0?2 2

? 2 , ∴公共弦长 m=2 ? 2 2 ? ( 2 ) 2 ? 2 2

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x0 ? y0 ? 4 4 4 20 2 2 68 2 2 ∴化简得: x0 ? y0 ? x0 ? y0 ? ? 0 , ∴配方得: ( x0 ? ) 2 ? ( y0 ? ) 2 ? 3 3 3 3 3 9 2 17 2 2 ∴存在定点 M( ,? )使得 Q 到 M 的距离为定值,且该定值为 . 3 3 3 2 2 2 7. 如图平面上有 A(1 , 0)、B(-1 , 0)两点,已知圆 C 的方程为 ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 2 .
(Ⅰ)在圆 C 上求一点 P1 使△ABP1 面积最大并求出此面积; (Ⅱ)求使 | AP | ? | BP | 取得最小值时的圆 C 上的点 P 的坐标. 解:(Ⅰ)∵三角形的面积只与底长和高有关系, 又|AB|=2 为定值, ∴在圆上只要找到最高点即可. 又∵圆心 C 坐标为(3, 4) ,半径为 2 ∴P1 横坐标为 3, 纵坐标为 4+2=6
2 2

(Ⅲ)证明:由题设得:

( x0 ? 2) 2 ? ( y0 ? 2) 2 ? 4
2 2

? 2,

y C P x B O A

P1 (3, 6),
2

S?ABP1
2

1 ? ? 2? 6 ? 6 2
2 2
2

AP ? BP = ? x ? 1? ? y 2 ? ? x ? 1? ? y 2 ? 2 ? x 2 ? y 2 ? ? 2 =2 OP ? 2
要使 | AP | ? | BP | 取得最小值只要使 | OP | 最小即可
2 2 2

(Ⅱ)设 P(x , y), 则由两点之间的距离公式知

又 P 为圆上的点,所以 | OP | min ?| OC | ?r = 3 ? 4 ? 2 ? 3
2 2

( r 为半径)

∴ AP ? BP

?

2

2

?

min

? 2 ? 32 ? 2 ? 20

此时直线 OC : y ?

4 x 3
(舍去)∴点 P 的坐标为 ? ,

9 ? 4 ? x? y ? x ? ? ? 5 3 由? 解得 ? ?? x ? 3 ? 2 ? ? y ? 4 ? 2 ? 4 ? y ? 12 ? ? 5 ?
2 2

21 ? x? ?3 ? ? 5 或? ? y ? 28 ? 5 ?

? 9 12 ? ? ?5 5 ?

8. 已知圆 O 的方程为 x +y =1, 直线 l1 过点 A(3 , 0), 且与圆 O 相切. (Ⅰ)求直线 l1 的方程; (Ⅱ)设圆 O 与 x 轴交与 P, Q 两点,M 是圆 O 上异于 P, Q 的任意一点,过点 A 且与 x 轴垂直的直线为 l2, 直线 PM 交直线 l2 于点 P′,直线 QM 交直线 l2 于点 Q′. 求证:以 P′Q′为直径的圆 C 总过定点,并求出定点 坐标. 解:(Ⅰ)∵直线 l1 过点 A(3,0) ,且与圆 C: x ? y ? 1相切, 设直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,即 kx ? y ? 3k ? 0 ,
2 2

则圆心 O(0,0) 到直线 l1 的距离为 d ? ∴直线 l1 的方程为 y ? ?

| 3k | k ?1
2

? 1 ,解得 k ? ?

2 , 4

2 2 ( x ? 3) ,即 y ? ? ( x ? 3) . 4 4 (Ⅱ)对于圆方程 x 2 ? y 2 ? 1 ,令 y ? 0 ,得 x ? ?1 ,即 P(?1,0), Q(1,0) . 又直线 l2 过点 A 且与 x 轴垂直, ∴直线 l2 方程为 x ? 3 , t 设 M ( s, t ) ,则直线 PM 方程为 y ? ( x ? 1). s ?1 ? x ? 3, 4t 2t ? 解方程组 ? , 得 P' (3, ). 同理可得, Q' (3, ). t s ? 1 s ? 1 y ? ( x ? 1) ? s ?1 ?
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∴ 以 P?Q? 为直径的圆 C ? 的方程为 ( x ? 3)( x ? 3) ? ( y ?

4t 2t )( y ? ) ? 0, s ?1 s ?1 6s - 2 又 s 2 ? t 2 ? 1, ∴ 整理得 ( x2 + y 2 - 6 x + 1) + y= 0, t 若圆 C′ 经过定点,只需令 y = 0 ,从而有 x2 - 6 x + 1 = 0 ,解得 x ? 3 ? 2 2 ,

∴ 圆 C′ 总经过定点的坐标为 (3 ? 2 2,0) . 2 9. 已知:以点 C (t, )(t∈R , t ≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A, 与 y 轴交于点 O、B, 其中 O 为坐标原 t 点.(Ⅰ)求证:△OAB 的面积为定值; (Ⅱ)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M、N,若 OM=ON,求圆 C 的方程. 解:(Ⅰ)∵圆 C 过原点 O

? OC 2 ? t 2 ?

4 , t2

设圆 C 的方程是

2 4 (x ? t) 2 ? ( y ? ) 2 ? t 2 ? 2 t t

4 ;令 y ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ? 2t t 1 1 4 ? S ?OAB ? OA ? OB ? ? | | ? | 2t |? 4 ,即△OAB 的面积为定值. 2 2 t (Ⅱ)? OM ? ON , CM ? CN , ? OC 垂直平分线段 MN . 1 1 2 1 解得: t ? 2或t ? ?2 ? k MN ? ?2,? k oc ? ,∴ 直线 OC 的方程是 y ? x ? ? t , 2 2 t 2 当 t ? 2 时,圆心 C 的坐标为 ( 2,1) , OC ? 5 , 1 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ? ? 5 ,圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 相交于两点. 5 9 当 t ? ?2 时,圆心 C 的坐标为 (?2,?1) , OC ? 5 ,圆心 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ? ? 5, 5 圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 不相交,? t ? ?2 不符合题意舍去.
令 x ? 0 ,得 y1 ? 0, y 2 ? 所求圆 C 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5
2 2

10. 已知⊙C 过点 P (1, 1), 且与⊙M: ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? r (r ? 0) 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称. (Ⅰ)求⊙C 的方程; (Ⅱ)过点 P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于 A、B, 且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补, O 为坐标原点, 试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由.
2 2 2

?a ? 2 b ? 2 ? ?2?0 ? ?a ? 0 ? 2 2 解:(Ⅰ)设圆心 C (a, b) ,则 ? , 解得 ? b?2 ?b ? 0 ? ?1 ? a?2 ? 2 2 2 2 2 2 设圆 C 的方程为 x ? y ? r , 将点 P 的坐标代入得 r ? 2 , ∴圆 C 的方程为 x ? y ? 2 (Ⅱ)由题意知, 直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数, 故可设 PA : y ? 1 ? k ( x ? 1) , ? y ? 1 ? k ( x ? 1) 2 2 2 ,得 (1 ? k ) x ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k ) ? 2 ? 0 PB : y ? 1 ? ?k ( x ? 1) ,由 ? 2 2 ? x ?y ?2
因为点 P 的横坐标 x ? 1 一定是该方程的解,故可得 xA ? 所以 k AB

k 2 ? 2k ? 1 k 2 ? 2k ? 1 x ? , 同理 , , B 1? k 2 1? k 2 y ? y A ?k ( xB ? 1) ? k ( xA ? 1) 2k ? k ( xB ? xA ) ? B ? ? ? 1 = kOP xB ? xA xB ? x A xB ? x A

所以直线 AB 和 OP 一定平行. 11. 已知圆 C: x2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? 2a 2 ? 4a ? 0 (0 ? a ? 4) ,直线 l :y=x+m.
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(Ⅰ)若 m=4 ,求直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值; (Ⅱ)若直线 l 是圆心 C 下方的切线,当 a 在(0 ,4 ]变化时,求 m 的取值范围. 解:(Ⅰ)? x ? y ? 2ax ? 2ay ? 2a ? 4a ? 0, ( x ? a) ? ( x ? a) ? 4a 圆心 C(-a , a ),半径为 r ? 2 a 设直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 2t,圆心 C 到直线 l 的距离为 d . m=4 时,直线 l:x-y+4=0
2 2 2 2 2

圆心 C 到直线 l 的距离 d ?

? 2 |a?2| 2 t 2 ? (2 a ) 2 ? 2(a ? 2) 2 ? ?2a 2 ? 12 a ? 8 ? ?2(a ? 3) 2 ? 10
当 a ? 3 时,直线 l 被圆 C 所截得的弦长的最大值为 2 10

| ?a ? a ? 4 |

(Ⅱ)圆心 C 到直线 l:x-y+m=0 的距离 d ? ∵直线 l 是圆 C 的切线, ∴d ? r即

| ?a ? a ? m | 2

?

2 | 2a ? m | 2


2 | 2a ? m |? 2 a 2 2 ∵直线 l 在圆心 C 的下方,∴ m ? 2a ? 2 2a ? ( 2a ? 1) ? 1

m ? 2a ? 2 2a

∵ a ? (0, 4] ∴ m ? [? 1, 8 ? 4 2 ]

12. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,平行于 x 轴且过点 A(3 3,2)的 3 入射光线 l1 被直线 l:y= x 反射. 3 反射光线 l2 交 y 轴于 B 点,圆 C 过点 A 且与 l1, l2 都相切. (Ⅰ)求 l2 所在直线的方程和圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P,Q 分别是直线 l 和圆 C 上的动点,求 PB+PQ 的最小值及此时点 P 的坐标. (Ⅰ)直线 l1:y=2, 设 l1 交 l 于点 D,则 D( 2 3 ,2) ∵l 的倾斜角为 30°,∴l2 的倾斜角为 60° ∴ k 2 ? ∴反射光线 l2 所在直线的方程为 y ? 2 ? 即 3x ? y ? 4 ? 0 已知圆 C 与 l1 切于点 A,设 C(a , b ) ∵圆心 C 在过点 D 且与 l 垂直的直线上,∴ b ? ? 3a ? 8 又圆心 C 在过点 A 且与 l1 垂直的直线上, ∴ a ? 3 3 由①②得 ① ② l2 y l A O B x l1

3

3( x ? 2 3)

?a ? 3 3 ? ? b ? ?1

圆 C 的半径 r=3

故所求圆 C 的方程为

( x ? 3 3 ) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9


(Ⅱ)设点 B(0, -4)关于 l 的对称点 B′(x0 ,y0)



y0 ? 4 3 x0 ? ? 2 3 2

y0 ? 4 ?? 3 x0

得 B′( ? 2 3 , 2) , 固定点 Q 可发现,当 B′,P,Q 共线时,PB+PQ 最小,故 PB+PQ 最小值为 B′C-3

? y ?1 x?3 3 ? ? ?2 ?1 ? 2 3 ? 3 3 ? 3 ? y? x ? 3 ?

解得 P(

3 1 , ) 2 2

∴ PB+PQ 最小值为 B′C-3= 2 21 ? 3

直线与圆解答题(必修 2)
1.已知直线 l : m x ? (m ? 1) y ? 3 . (Ⅰ)求直线 l 斜率的取值范围;
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(Ⅱ)若直线 l 被圆 C : x ? y ? 2 y - 8 ? 0 截得的弦长为 4,求直线 l 的方程.
2 2

2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1: ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 和圆 C2: ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 4 .
2 2 2 2

(Ⅰ)若直线 l 过点 A(4, 0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂的直线 l1 和 l2,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标.

y C2

C1 O

1 1 A

x

3. (已知圆 M: 2 x ? 2 y ? 4 y ? 23 ,直线 l0:x+y=8 , l0 上一点 A 的横坐标为 a , 过点 A 作圆 M 的两条切线 l1 , l2 , 切点分别为 B ,C. (Ⅰ)当 a=0 时,求直线 l1 , l2 的方程; (Ⅱ)当直线 l1 , l2 互相垂直时,求 a 的值;
2 2

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(Ⅲ)是否存在点 A,使得 BC 长为 10 ?若存在,求出点 A 的坐标,若不存在,请说明理由. .
y

B A M O D C x

4. 已知点 O 为坐标原点,圆 C 过点(1, 1)和点(-2 , 4),且圆心在 y 轴上. (Ⅰ)求圆 C 的标准方程; (Ⅱ)如果过点 P(1, 0)的直线 l 与圆 C 有公共点,求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (Ⅲ)如果过点 P(1, 0)的直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点,且|AB|= 2 3 ,试求直线 l 的方程.

5. 已知圆 C: ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 ,直线 l1 过定点 A (1,0). (Ⅰ)若 l1 与圆 C 相切,求 l1 的方程; (Ⅱ)若 l1 的倾斜角为 45°,l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求线段 PQ 的中点 M 的坐标; (Ⅲ)若 l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求三角形 CPQ 的面积的最大值,
2 2

y

从这里开始让每一个孩子掌舵自己人生的未来
C

8

1

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并求此时直线 l1 的方程.

6. 已知圆 A 过点 P ( 2 , 2 ),错误!未找到引用源。且与圆 B: ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? r (r ? 0) 关于直线
2 2 2

x ? y ? 2 ? 0 对称.
(Ⅰ)求圆 A 和圆 B 方程; (Ⅱ)求两圆的公共弦长; (Ⅲ)过平面上一点 Q( x0 , y0 ) 向圆 A 和圆 B 各引一条切线,切点分别为 C、D,设 求证:平面上存在一定点 M 使得 Q 到 M 的距离为定值,并求出该定值.

QD ? 2, QC

7. 如图平面上有 A(1 , 0)、B(-1 , 0)两点,已知圆 C 的方程为 ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 2 .
2 2 2

(Ⅰ)在圆 C 上求一点 P1 使△ABP1 面积最大并求出此面积; (Ⅱ)求使 | AP | ? | BP | 取得最小值时的圆 C 上的点 P 的坐标.
2 2

从这里开始让每一个孩子掌舵自己人生的未来

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y C P x B O A

8. 已知圆 O 的方程为 x +y =1, 直线 l1 过点 A(3 , 0), 且与圆 O 相切. (Ⅰ)求直线 l1 的方程; (Ⅱ)设圆 O 与 x 轴交与 P, Q 两点,M 是圆 O 上异于 P, Q 的任意一点,过点 A 且与 x 轴垂直的直线为 l2, 直线 PM 交直线 l2 于点 P′,直线 QM 交直线 l2 于点 Q′. 求证:以 P′Q′为直径的圆 C 总过定点,并求出定点 坐标.

2

2

2 )(t∈R , t ≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A, 与 y 轴交于点 O、B, 其中 O 为坐标原 t 点.(Ⅰ)求证:△OAB 的面积为定值; (Ⅱ)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M、N,若 OM=ON,求圆 C 的方程. 9.已知:以点 C (t,
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10. 已知⊙C 过点 P (1, 1), 且与⊙M: ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? r (r ? 0) 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称. (Ⅰ)求⊙C 的方程; (Ⅱ)过点 P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于 A、B, 且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补, O 为坐标原点, 试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由.
2 2 2

11. 已知圆 C: x2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? 2a 2 ? 4a ? 0 (0 ? a ? 4) ,直线 l :y=x+m. (Ⅰ)若 m=4 ,求直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值; (Ⅱ)若直线 l 是圆心 C 下方的切线,当 a 在(0 ,4 ]变化时,求 m 的取值范围.

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12. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,平行于 x 轴且过点 A(3 3,2)的入射光线 l1 被直线 l:y= 反射光线 l2 交 y 轴于 B 点,圆 C 过点 A 且与 l1, l2 都相切. (Ⅰ)求 l2 所在直线的方程和圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P,Q 分别是直线 l 和圆 C 上的动点,求 PB+PQ 的最小值及此时点 P 的坐标. y

3 x 反射. 3

l A O B l2 x l1

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