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山东省武城县第二中学2015-2016学年高一上学期第三次月考数学试题



高一年级阶段性测试 数学试题 2016.1.14 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一.选择题:(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,每题 5 分) 1. 设集合 U ? {1,2,3,4,5} , A ? {1,2,3} ,则 CuA=( A. {4} B. {2

,4, 5} ) C. (3, 4] D. (3, 4) ) D. {1,3,4}

C. {4,5}

2. f ( x) ? 4 ? x ? lg( x ? 3) 的定义域为( A. (3, ??) 3.设 f ? x ? ? ? A. 1 B. (??, 4]

? x2 , x ? 0
x ?2 , x ? 0

,则 f ? ? f ? ?1? ? ? =( B. 2

) C. 4 D. 8

4. 已知点 P( x,3) 是角 ? 终边上一点,且 cos ? ? ? A.5 B. ? 5

4 ,则 x 的值为( ) 5
C.4 ) D. ?4

5. 某程序框图如图所示, 若输出的 S=57, 则判断框内位 ( A.k>4? B.k>5? C.k>6? D.k>7?

6.某单位在 1~4 月份用电量(单位:千度)的数据如下表:

? ? 5.25 ,由此可 ? ? bx 已知用电量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其回归方程 y
预测 5 分月份用电量(单位:千度)约为( ) A.1.9 B.1.8 C.1.75 7. 三个数 a ? 6 , b ? 0.7 , c ? log0.5 6 的大小顺序是(
0 .7 6

D.1.7 ) D. c ? b ? a

A. b ? c ? a 8.函数 f ( x ) ? e ?
x

B. b ? a ? c

C. c ? a ? b )

1 的零点所在的区间是( x

A.(0, )

1 2

B. ( ,1)

1 2

C. (1, )

3 2

D. ( ,2)

3 2

9. 在区间 ( ? A.

? ?

3 , ) 上随机地取一个实数 x,则事件“ tan x ? ”发生的概率为( 2 2 3
B.



1 6

1 3
b a
x

C.

2 3


D.

5 6

10. 二次函数 y ? ax2 ? bx 与指数函数 y ? ( ) 的图象只可能是(

(x 11.已知 sin
A.

3? 4 13? ) ? ,则 cos( -x) ?( 7 5 14
B. -



3 5

3 5

C.

4 5

D.-

4 5

12. 设函数 f ( x) 为二次函数,且满足下列条件:① f ( x ) ? f (

1 ? 2a )( a ? R ) ;②若 x1 ? x 2 , 2
) D. a ?

x1 ? x2 ? 0 时,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则实数 a 的取值范围是(
A. a ?

1 2

B. a ?

1 2

C. a ?

1 2

1 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题(共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.二次函数 f (x)= ? x ? 6 x 在区间 [0, 4] 上的值域是
2

14.幂函数 y ? ( m ? m ? 1 )x
2

?5 m ?3

在 x ? (0,+ ? )上为减函数,则 m 的值为



15.已知, f ?x ? ? 16.下列命题中:

1 ax ? 4ax ? 3
2

的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是________________.

2 (1)若集合 A ? {x | kx ? 4 x ? 4 ? 0} 中只有一个元素,则 k ? 1 ;

(2)已知函数 y ? f (3 ) 的定义域为 ??1,1? ,则函数 y ? f ? x ? 的定义域为 ? ??,0? ;
x

(3)方程 2 ? log2 ( x ? 2) ? 1 的实根的个数是 2.
x
5 3 (4)已知 f ( x) = x ? ax ? bx ? 8 ,若 f (?2) ? 8 ,则 f (2) ? ?8 ;

(5)已知 2

a

? 3 ? k (k ? 1) 且 ? ? 1 ,则实数 k ? 18 ;

b

1 a

2 b

其中正确命题的序号是__________. (写出所有正确命题的序号) 三.解答题(共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分) 设集合 A ? {x | ?1 ? x ? 3} , B ? {x | 2 x ? 4 ? x ? 2} , C ? {x | x ? a ? 1} . (1)求 A? B ; (2)若 B ? C ? C ,求实数 a 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.2012 年 2 月 29 日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》 ,其中空气质量等级标准见右表: 某环保部门为了解近期甲、乙两居民区的空气质量状况,在过去 30 天中分别随机抽测 了 5 天的 PM2.5 日均值作为样本,样本数据如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) . (Ⅰ)分别求出甲、乙两居民区 PM2.5 日均值的样本平均数,并由此判断哪个小区的空气质 量较好一些; (Ⅱ)若从甲居民区这 5 天的样本数据中随机抽取两天的数据, 求恰有一天空气质量超标的概率. 甲 7 5 83 8 3 4 6 7 8 乙 2 8 75

PM2.

0

19.(本小题满分 12 分)二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x, 且 f (0) ? 1 . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)在区间 ? ?1,1? 上, f ( x) 的图象恒在 y ? 2 x ? m 的图象上方,试确定实数 m 的范围. 20. (本小题满分 12 分) 某企业拟投资 A 、 B 两个项目,预计投资 A 项目 m 万元可获得利润 P ? ? 1 ? m ? 20 ?2 ? 105 万 80 元;投资 B 项目 n 万元可获得利润 Q ? ?

59 79 2 ? 40 ? n ? ? ? 40 ? n? 万元.若该企业用 40 2 80

万元来投资这两个项目,则分别投资多少万元能获得最大利润?最大利润是多少? 21.(本小题满分 12 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 b 的值;

? 2x ? b 是奇函数 2 x ?1 ? 2

(2)判断函数 f ( x) 的单调性(不用证明) ; (3)若对任意 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围。 22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) 和 g ( x) 的图象关于原点对称,且 f ( x) ? x2 ? 2x . (I)求函数 g ( x) 的解析式; (II)解不等式 g ( x) ? f ( x)? | x ? 1 | ; (Ⅲ)若方程 g ( x) ? ?f ( x) ? 1 ? 0 在 (?1,1) 上有且只有一个实根,求实数 ? 的取值范围. 数学月考试题答案 2016.1.14 一,选择题 二.填空 13.[0,9] 三.解答题 17.(1)∵ A ? {x | ?1 ? x ? 3} , B ? {x | 2 x ? 4 ? x ? 2} ={x|x≥2} ∴ A? B ={x|2≤x<3} (2)若 B ? C ? C ,则 a-1≤2,解得 a≤3 18 解:(Ⅰ)甲居民区抽测样本数据分别是 37,45,73,78,88;乙居民区抽测的样本数据分别 是 32,48,67,65,80. …………………………………………………………………………1 分 14.2 15[0, 1-5 CCBDA 6-10 CDBBA 11-12 CA

3 ) 4

16 (3) (5)

37 ? 45 ? 73 ? 78 ? 88 ? 64.2 ………………………………………………3 分 5 32 ? 48 ? 67 ? 65 ? 80 x乙 ? ? 58.4 -………………………………………………5 分 5 x甲 ?
则 x甲 > x乙 ) 由此可知,乙居民小区的空气质量要好一些.………………………………………6 分 (Ⅱ)由茎叶图知,甲居民区 5 天中有 3 天空气质量未超标,有 2 天空气质量超标.---8 分 记未超标的 3 天样本数据为 a 、 b 、 c ,超标的两天为 m 、n ,则从 5 天中抽取 2 天的 所有情况为:ab、ac、am、an、bc、bm、bn、cm、cn、mn, ,基本事件数为 10.……10 分 记“5 天中抽取 2 天,恰有 1 天空气质量超标”为事件 cm、cn,基本事件数为 6. ,可能结果为:am、an、bm、bn、

? P ( A) ?

6 3 ? . 10 5

………………………………………………………………12 分

19.(1)设 f(x)=ax2+bx+c,由 f(0)=1 得 c=1,故 f(x)=ax2+bx+1. ∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x. 即 2ax+a+b=2x,所以 ?

? 2a ? 2 ?a ? 1 ,∴f(x)=x2-x+1. ………………………… 6 分 ,? ? ?a ? b ? 0 ?b ? ?1

(2)由题意得 x2-x+1>2x+m 在[-1,1]上恒成立.即 x2-3x+1-m>0 在[-1,1]上恒成立. 设 g(x)= x2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线 x=

故只需 g(1)>0,即 12-3× 1+1-m>0,解得 m<-1. 12 分 20.问题解析:解:设投资 x 万元于 A 项目,则投资( 40 ? x )万元于 B 项目,……2 分 总利润 w ? ?

3 ,所以 g(x) 在[-1,1]上递减. 2

1 79 59 ( x ? 20) 2 ? 105 ? (? x 2 ? x) ………………………………………5 分 80 80 2 2 ? ?( x ?15) ? 325 …………………………………………………………………8 分 当 x ? 15 时, Wmax ? 325 (万元)
所以投资 A 项目 15 万元,B 项目 25 万元时可获得最大利润,最大利润为 325 万元。

21. (1)因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) =0, ……………………………………(2 分)

b ?1 1 ? 2x ? 0 ? b ? 1 ? f ( x) ? 即 2?2 2 ? 2 x ?1
(2) f ( x ) 在 (??, ??) 上为减函数. (3)因 f ( x ) 是奇函数, 从而不等式: f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) < 0

…………………………………………(4 分) …………………………………………(6 分)

等价于 f (t 2 ? 2t ) <? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) ,

………………………………(7 分) …………………………(8 分)

因 f ( x ) 为减函数,由上式推得: t 2 ? 2t >k ? 2t 2 .
2

0 , ………………………………………………(10 分) 即对一切 t ? R 有:3t ? 2t ? k>
0 ? k<? 从而判别式 ? ? 4 ? 12k<
22. (1) g ( x) ? ? x ? 2 x
2

1 ………………………………………………(12 分) 3

1 2 2 (3) ? ? 或 ? ? 2 3
(2) [ ?1, ]