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(理数)湖北武汉武昌区2015届高三元月调考数学(理)word版 - 副本



武昌区 2015 届高三年级元月调研考试 理 科 数 学 试 卷
本试题卷共 4 页,共 22 题。满分 150 分,考试用时 120 分钟 ★祝考试顺利 ★ 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置,认真核对与 准考证号条形码上的信息是否一致,并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。 2.选择题的作答:选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。 3.非选择题的作答:用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。答在试 题卷上或答题卷指定区域外无效。 4.考试结束,监考人员将答题卷收回,考生自己保管好试题卷,评讲时带来。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.i 为虚数单位,若 ( 3 ? i) z ? 3 ? i ,则 | z |? A.1 2.已知 A ? ?( x, y ) ? 的 A.充分而不必要的条件 C.充要条件 3.若 ( ax ?
2

B. 2

C. 3

D.2

? ? ? ?

?| x ? 1 |? 1? ? 2 2 “存在点 P ? A ”是“ P ? B ” ? , B ? {( x, y) | ?x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1} , ?| y ? 1 |? 1? ?
B.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件

b 6 ) 的展开式中 x3 项的系数为 20,则 a2+b2 的最小值为 x
B.2 C.3 D.4

A.1 4.根据如下样本数据 x 3

4

5

6

7

? 0.5 ? 2.0 y 4.0 2.5 0.5 ? ? bx ? a .若 a ? 7.9 ,则 x 每增加 1 个单位, y 就 得到的回归方程为 y

A.增加 1.4 个单位 C.增加 1.2 个单位

B.减少 1.4 个单位 D.减少 1.2 个单位

5.如图,取一个底面半径和高都为 R 的圆柱,从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心 为顶点的圆锥,把所得的几何体与一个半径为 R 的半球放在同一水平面 ? 上.用一平行于平面 ? 的 平面去截这两个几何体, 截面分别为圆面和圆环面 (图中阴影部分) .设截面面积分别为 S圆 和 S圆环 , 那么 A. S圆 ? S圆环 B. S圆 = S圆环 C. S圆 ? S圆环 D.不确定

理科数学

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6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积和体积分别是 A.24+ 6 2 和 40 B.24+ 6 2 和 72 C.64+ 6 2 和 40 D.50+ 6 2 和 72
正视图 4 侧视图 6

2

3

? x ? y ? 2 ? 0, ? 7.已知 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一 ,则实数 a 的值为 ... ? 2 x ? y ? 2 ? 0. ?
1 A. 或-1 2 1 B.2 或 2 C.2 或 1 D.2 或-1

俯视图

8.如图,矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(0,—1),B( ? ,—1),C( ? ,1),D(0,1),正弦曲线 f(x)=sinx 和余弦曲线 g(x)=cosx 在矩形 ABCD 内交于点 F,向矩形 ABCD 区域内随机投掷一点,则该点落在 阴影区域内的概率是 y A. 1 ? 2 C D ? F B. 1 ? 2 f(x)=sinx 2? O E x 1 C. g(x)=cosx ? A B 1 D. 2? 9.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A, B 是抛物线上的两个动点,且满足
2

?AFB ?

| MN | 2? .设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N ,则 的最大值是 | AB | 3
B. 3 2 C. 3 3 D. 3 4

A. 3

10.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,它的图象关于直线 x ? 1 对称,且 f ?x ? ? x ?0 ? x ? 1? . 若函数 y ? f ? x ? ? A. [ ?

1 ? a 在区间 ?? 10,10? 上有 10 个零点(互不相同) ,则实数 a 的取值范围是 x
B. ( ?

4 4 , ] 5 5

4 4 , ) 5 5

C. [ ?

1 1 , ] 10 10

D. ( ?

1 1 , ) 10 10

理科数学

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二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填在答题卡对 .... 应题号 的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ... (一)必考题(11—14 题) 11.已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点, F 为 AD 的中点,则 AE ? BF ? _______. 12.根据如图所示的框图,对大于 2 的整数 N,输出的数列的通项公式是_______. 13.设斜率为

x2 y 2 2 的直线 l 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 交于不同的两点 P、Q,若点 P、Q 在 x 轴 a b 2
.

上的射影恰好为双曲线的两个焦点,则该双曲线的离心率是

14. “渐升数”是指除最高位数字外,其余每一个数字比其左边的数字大的正整数(如 13456 和 35678 都是五位的“渐升数” ). (Ⅰ )共有 个五位“渐升数” (用数字作答) ; .

(Ⅱ ) 如果把所有的五位 “渐升数” 按照从小到大的顺序排列, 则第 110 个五位 “渐升数” 是

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号 后的方框用 2B 铅笔涂黑. 如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15. (选修 4-1:几何证明选讲) 过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点),再作割线 PBC 依次交圆于 B,C.若 PA=6,AC=8,BC =9,则 AB=________. 16. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? t, ( t 为参数, a 为实数常数) ,曲线 C2 的参数方程是 ?y ? t ? a

? x ? ?t , ( t 为参数,b 为实数常数) .以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ? y ? ? t ? b ?
曲 线 C3 的 极 坐 标 方 程 是 ? ? 1 . 若 C1 与 C2 分 曲 线 C3 所 成 长 度 相 等 的 四 段 弧 , 则

a 2 ? b2 ?

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 11 分) 已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ? 0.
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?
6

) ? sin( 2 x ?

?

? ) ? cos 2 x ? sin 2 x ? a 的在区间 [ 0, ] 上的最小值为 2 6

(Ⅰ )求常数 a 的值; (Ⅱ )当 x ? [0, ? ] 时,求使 f ( x) ? 0 成立的 x 的集合.

18. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}的首项为 1,前 n 项和为 S n ,且 S1,S2,S4 成等比数列. (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )记 Tn 为数列 {

1 an ?1an

} 的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Tn ? 1007 ?若存在,求 n 的最
2015

大值;若不存在,说明理由. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 点 E, F 分别是棱 AB, BC 上的动点, 且 AE=BF. (Ⅰ)求证:A1F⊥ C1E; (Ⅱ)当三棱锥 B1 ? BEF 的体积取得最大值时,求二面角 B1 ? EF ? B 的正切值. D1 A1 B1 C1

D 20. (本小题满分 12 分)
日车流量 x
0? x?5

C E B F

A

对某交通要道以往的日车流量(单位:万辆)进行统计,得到如下记录:
5 ? x ? 10

10 ? x ? 15

15 ? x ? 20

20 ? x ? 25

x ? 25

0.05 0.25 0.35 0.25 0.10 0 频率 将日车流量落入各组的频率视为概率,并假设每天的车流量相互独立. (Ⅰ)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日车流量都不低于 10 万辆且另 1 天的日车流量低于 5 万辆的概率; (Ⅱ)用 X 表示在未来 3 天时间里日车流量不低于 10 万辆的天数,求 X 的分布列和数学期望.

21. (本小题满分 14 分)
理科数学 第 4 页 (共 5 页)

x2 y 2 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 4,其长轴长和短轴长之比为 3 : 1 . a b
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 F 为椭圆 C 的右焦点,T 为直线 x ? t (t ? R) 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于 点 P,Q. (ⅰ)若 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点),求 t 的值; |TF| (ⅱ)在(ⅰ)的条件下,当 最小时,求点 T 的坐标. |PQ|

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? 1(a 为常数),曲线 y=f(x)在与 y 轴的交点 A 处的切线斜率为-1.
x

(Ⅰ)求 a 的值及函数 f(x)的单调区间;
x 2 (Ⅱ)证明:当 x ? 0 时, e ? x ? 1 ;

(Ⅲ)证明:当 n ? N 时, 1 ?

?

?n ? 1? . 1 1 1 ? ? ? ? ? ln 2 3 n (3e)n
3

理科数学

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