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高一数学综合练习(苏教版必修5)



高一数学必修 5 综合练习
一、填空题: (每小题 5 分,共 70 分) 1.若点 P(a,3) 在 2 x ? y ? 3 表示的区域内,则实数 a 的取值范围是___________; a ? 0 2.在△ABC 中,若 sinA∶sinB∶sinC = 7∶8∶9,则 cosA=______; 3.已知数列 2, 10, 4,
2

>2 3
项;11 ;0 ? a ? 1

, 2(3n ?1),

,那么 8 是这个数列的第

4.若不等式 x ? 2ax ? a ? 0 对一切实数 x 都成立, 则实数 a 的范围为

5.设数列 {an } 的通项公式为 an ? ?2n ? 27 , Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,则当

n ? _______时, Sn 取得最大值; 13
6.不等式

2x ?1 <1 的解集为____________; (?2,3) x?2

7.在 ?ABC 中,已知 a ? 4, b ? 6, ?C ? 120 , 则 sinA 的值是_________;

57 19

?x ? y ?1 ? 0 ? 8.已知变量 x、 y 满足约束条件 ? x ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? y 的最大值是__ _;5 ?y ? 2 ? 0 ?
9.数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , 2
an?1

? 2an ? 3 ,则通项 an ?

; log2 (3n ? 1)

10. ?ABC 中,已知 a ? 4, ?B ? 45? ,若解此三角形时有且只有唯一解,则 b 的值应满 足_____ ___; b ? 2 2 或 b ≥4
x y

11.已知点 P( x, y) 在经过两点 A(3,0), B(1,1) 的直线上, 那么 2 ? 4 的最小值是__;4 2 12.已知数列 ?bn ? 是首项为 ?4 ,公比为 2 的等比数列;又数列 ?an ? 满足 a1 ? 60,

an?1 ? an ? bn ,则数列 ?an ? 的通项公式 an ? _______________; ?2n?1 ? 64
13.在 4 ? +9× = 60 的两个 中,分别填入两自然数,使它们的倒数和最小,应分 别填上____________和___________.6,4 14.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序:正方形上连接着一个 等腰直角三角形,等腰直角三角形的直角边上再连接正方形 ,

如此继续.若共得到 1023 个正方形,设起始正方形的边长为

2 ,则最小正方形的边长为 2



1 32

二、解答题(共 90 分) 15. ?ABC 中,已知 a、b、c 成等差数列,SinA、SinB、SinC 成等比数列,试判断△ABC 的形状. 解:∵ a, b, c 成等差数列,∴ b ?
2 2

a?c 2

①又∵ sin A,sin B,sin C 成等比数列,

∴ sin B ? sin A ? sin C ,∴ b ? ac

②将①代入②得: (

a?c 2 ) ? ac ,∴ (a ? c) 2 ? 0 , 2

∴ a ? c 代入①得 b ? c ,从而 a ? b ? c ,∴△ ABC 是正△ 2 16.某村计划建造一个室内面积为 72m 的矩形蔬菜温室。在温室内,沿左、右两侧与后侧 内墙各保留 1m 宽的通道, 沿前侧内墙保留 3m 宽的空地。 当矩形温室的边长各为多少时? 蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是多少? 解:设矩形温室的左侧边长为 a m ,后侧边长为 b m ,则 ab ? 72 ,蔬菜的种植面积

s ? (a ? 4)(b ? 2) ? ab ? 4b ? 2a ? 8 ? 80 ? 2(a ? 2b) ≤ 80 ? 4 2ab ? 32(m2 )
当且仅当 a ? 2b,即a ? 12, b ? 6时,Smax ? 32 17.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 2n2 ,{bn } 为等比数列,且 a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 . ⑴求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式. ⑵设 cn ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn
2 2

解:⑴当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ;当 n ≥2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 2(n ?1) ? 4n ? 2 , 故 {an } 的 通 项 公 式 为 an ? 4n ? 2 , 设 {bn } 的 通 项 公 式 为 q , 则 b1 ? 2 , q ?

1 , 4

? bn ? b1q n ?1 ? 2 ?

1 2 ,即 bn ? n ?1 n ?1 4 4 a 4n ? 2 ⑵∵ cn ? n ? ? (2n ? 1)4n?1 , 2 bn 4n?1
∴ Tn ? c1 ? c2 ?

? cn ? [1? 3? 41 ? 5? 42 ?

? (2n ?1)4n?1 ]

4Tn ? [1? 4 ? 3? 42 ? 5 ? 42 ?

? (2n ? 3)4n?1 ? (2n ?1)4n ]
1 ? 4n?1 ) ? (2n ?1)4n ? [(6n ? 5)4n ? 5] 3

两式相减得: 3Tn ? ?1 ? 2(41 ? 42 ? 43 ? ∴ Tn ?

1 [(6n ? 5)4n ? 5] 9

18.已知二次函数 f ( x ) 的二次项系数为 a ,且不等式 f ( x) ? 2 x ? 0 的解集为(1,3) . ⑴若方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等实数根,求 f ( x ) 的解析式. ⑵若 f ( x ) 的最大值为正数,求 a 的取值范围. 解:⑴由 f ( x) ? 2 x ? 0 解集为(1,3) ,∴ f ( x) ? 2 x ? a( x ? 1)( x ? 3) ,且 a ? 0 ,因而

f ( x) ? ax2 ? (2 ? 4a) x ? 3a 由方程 f ( x) ? 6a ? 0 得 ax2 ? (2 ? 4a) x ? 9a ? 0 ,
因为方程②有两个相等的实根,∴ ? ? 0 ? a ? 1 或 ? ∴ f ( x) ? ?

1 1 ,而 a ? 0 ,∴ a ? ? 5 5

1 2 6 3 x ? x? 5 5 5
2

⑵由 f ( x) ? ax ? 2(1 ? 2a) x ? 3a, 得 ∴ f ( x) max

a 2 ? 4a ? 1 ?? a

?a ? 0, ? ∴ ? a 2 ? 4a ? 1 ? a ? ?2 ? 3 或 ?2 ? 3 ? a ? 0 ?0 ?? a ?
19. 在 ?ABC 中,设角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,已知 A ? C ? 2 B ,并且
2 sin A ? sinC ? cos B ,三角形的面积 S?ABC ? 4 3 ,求三边 a, b, c .
2 解:∵ A ? C ? 2 B ∴ B ? 60? ,所以 sin A sin C ? cos 60? ?

1 4



又 S ?ABC ? 4 3 ?

1 ac sin B ,得 ac ? 16 ② 2 sin A sin C sin A 2 1 sin C 2 sin A sin C 1 ?( ) ? ?( ) ,所以 ? ? ac a 64 c a c 8 a sin B a 2 ? c 2 ? b2 1 ? 8sin B ? 8sin 60? ? 4 3 ,所以 cos B ? ? , sin A 2ac 2

由b ?

a 2 ? c 2 ? b2 ? ac,(a ? c)2 ? b2 ? 3ac,(a ? c)2 ? 48 ? 48 ? 96 , a ? c ? 4 6 ,



与②联立,得 a ? 2( 6 ? 2), c ? 2( 6 ? 2) ,或 a ? 2( 6 ? 2), c ? 2( 6 ? 2) 20 . 已 知 等 差 数 列 ?an ? 中 , 公 差 d ? 0 , 其 前 n 项 和 为 S n , 且 满 足

a2 ? a3 ? 45, a1 ? a4 ? 14,
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)通过 bn ? S n 构造一个新的数列 ?bn ? ,是否存在一个非零常数 c ,使 ?bn ? 也为等
n?c

差数列; (3)对于 c ? ? 1 求 f (n) ?
2

bn (n ? N *) 的最大值. (n ? 2005 ) ? bn?1

解: (1)∵等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 0 , ∴?

?a 2 ? a3 ? 45 ?a 2 ? a3 ? 45 ?a 2 ? 5 ?? ?? ? d ? 4 ? a n ? 4n ? 3 . a ? 9 a ? a ? 14 a ? a ? 14 3 4 ? 1 ? 3 ? 2

1? (2) S n ? n?1 ? 4n ? 3? ? 2n? ?n ? ? , 2 2? ?
2n? n ? ? S 1 bn ? n ? ? 2 ? ,令 c ? ? ,即得 bn ? 2n , 2 n?c n?c 1 数列 ?bn ? 为等差数列,∴存在一个非零常数 c ? ? ,使 ?bn ? 也为等差数列. 2 ? 1?

(3) f (n) ?

bn n ? ? (n ? 2005 ) ? bn ?1 ?n ? 2005??n ? 1?

1 1 , ? 2005 2 2005 ? 2006 n? ? 2006 n

∵ 即

1 1 2005 2005 2005 ? ? ? ?1 ? ?1 ? 0 , f (44) f (45) 44 45 44 ? 45

1 1 ? ? 0 ,? f (45) ? f (44) , f (44) f (45)

∴ n ? 45 时, f ?n ? 有最大值

45 9 . ? 2050 ? 46 18860



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