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【答案版】安徽省蚌埠市第二中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学(文)试题



蚌埠二中 2015-2016 学年高二第二学期期中考试 数学文试题
本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的,请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 1.已知 i 是虚数单位,则复数 z1 ? 2 ? i z 2 ? 1 ? 2i ,则

z1 ? z 2 在( , )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A. 某校高三有 8 个班,1 班有 51 人,2 班有 53 人,由此推断各班人数都超过 50 人 B.由三角形的性质,推测空间四面体的性质 C. 在数列{an}中,a1=1, a n ?1 ?

an (n ? 1,2,3,? ? ?) ,由此归纳出{an}的通项公式 1 ? an

D.三角函数都是周期函数,tanα 是三角函数,因此 tanα 是周期函数 3. 算法的三种基本结构是( ) A.顺序结构,分支结构,流程结构 B.顺序结构,选择结构,循环结构 C. 流程结构,选择结构,循环结构 D. 流程结构,分支结构,循环结构 x2 y2 . 设双曲线 - =1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方程为( 4 a2 b2 2 1 A.y=± 2x B.y=± 2x C.y=± x D.y=± x 2 2 5.用反证法证明命题“ 若a2 ? b2 ? 0, 则a、b全为0(a、b ? R)”,其反设 A. a、b至少有一个不为0 C. a、b全不为0 B. a、b至少有一个为0 D. a、b中只有一个为0 6.如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 5,则输出 s 的值为( ) A.7 B.8 C.10 D. 11 7. 在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 ? x ? ? 4 x 后,曲线 C 变为曲 +y′2=1,则曲线 C 的方程为( A.9x2+16y2=1

)

是(

)

? ? y? ? 3y

线 x′2

) C. x
2

B. 16x2+9y2=1

x y ? ?1 9 16
2 2

16
? ?

?

y ?1 9
2

D.

8. 在极坐标系中,点 ? 2, ? 到圆 ? ? 2 cos? 的圆心的距离为(

??
3?
2

)

A.2

B. 4 ? ? 9

C.

4?

?
9
2 2

D. 3

9.已知实数 1,t,4 成等比数列,则圆锥曲线 x

t
A.

? y ? 1的离心率为(
1 或 3 2
1



2 2

B.

2 或 3 2

C.

D.

2 或3 2

10.若等差数列{an}的公差为 d,前 n 项的和为 Sn,则数列{ }为等差数列,公差为 .类似,若各项均为正 n 2 数的等比数列 {bn} 的公比为 q ,前 n 项的积为 Tn ,则等比数列 {
2

Sn

d

n

Tn } 的公比为 (

)

A.

q
2

B.q C. q D. q 11. 近日石家庄狮身人面像拆除,围绕此事件的种种纷争,某媒体通过随机询问 100 名性别不同的居民对 此的看法,得到下表 认为就应依法拆除 男 女 附: P(K2≥k) k 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 45 30 认为太可惜了 10 15

n

n?ad-bc?2 K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? 参照附表,得到的正确结论是:( ) A.在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“认为拆除太可惜了与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“认为拆除太可惜了与性别无关” C.有 90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别有关” D.有 90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别无关” 12. 以下五个个命题,①若实数 a>b,则 a+i>b+i.②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近

? ? 0.2 x ? 12 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量 y ? 一定增加 0.2 单 于 1.③在回归直线方程 y
位.④对分类变量 X 与 Y,它们的随机变量 K 的观测值 k 来说,k 越小, “X 与 Y 有关系”的把握程度越大. ⑤由“若 a, b, c ? R ,则 ? ab? c ? a ?bc ? ”类比“若 a, b, c 为三个向量,则 a ? b c ? a b ? c ” ;正确的个 数是( ) A.1 B.2 C.3 二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 抛物线 x 2 ? 8 y 的 焦点坐标为_____ _ 14.已知直线 l 的参数方程为 ?
3 (t 为参数),则直线 l 的倾斜角为________. ? x ? ?4 ? 2 t ? 1 ? y? t ? 2
2

? ??

? ?

? ? ?

? ? ?

? ?

D.4

15. 自然数按下列的规律排列 1 2 5 10 | | | 4 - 3 6 11 | | 9 - 8 - 7 12 | 16 -15 - 14 - 13

17 | 18 | 19 | 20 | 25 - 24 - 23 - 22 - 21 则上起第 50 行,左起第 51 列的数为________ 16. 函 数 f ( x ) ? ln x ? 3ax 有两个零点,则 a 的取值范围是______
[来源:学科网]

三.解答题: (本大题共 6 小题,满分共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤). 17. (本题满分 10 分) 已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? 1 ? ai , (1)当 a ? 3 时, 求复数 z 的模.(2)若 z 为纯虚数,
2

a 为何值.

18.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+1. (1)求 f(x)的 单调递减区间; (2)求 f(x)在点(-2,f(-2))处的切线方程.

19.(本题满分 12 分)某电器经销商,在某周内获纯利 y(元) ,与该周每天销售产品数 x 之间的部分数据 关系见表: x 3 4 5 7 8 9 y 已知 ? x 2
i ?1 i 6

66

69
6 i ?1 i i

73

89

90

91

2 ? 244 , ? yi ? 38748 , ? x y ? 3001. i ?1

6

?? 参考公式: b

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

? 残差: e ? yi ? y i ? ? y ? bx ,a

?

?

(1)求 x, y ;(保留两位小数)(2)判断纯利 y 与每天销售产品数 x 之间是否线性相关,如果线性相关,求出回 归方程(保留两位小数). (3)如果纯利 y 与每天销售产品数 x 之间线性相关,计算相应于点(9,91)的残差.(保 留两位小数)

20. (本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点, x 轴非负半轴为极轴建立坐标系,已知
x ? ?2 ? t 曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? 4 cos ? ,直线 l 的参数方程为: ? ,两曲线相交于 ? 2 ( t 为参数) ? ? y ? ?4 ? 2 t ? ? 2 ? 2

M , N 两点. 求:
3

(1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)若点 P 的直角坐标为 P(?2, ?4) 求 PM ? PN 的值.

21.(本题满分 12 分)设椭圆 2 + 2=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1 ,F2,离心率为 2 5 ,过点 F2 且与

x2 a

y2 b

5 5

x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 2 5 .(1)求椭圆的方程;
(2)设过点 F2 的直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,若 M(-6,0),求当三角形 MAB 的面积 S 最大值时直线 l 的方 程.
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

22. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1)当 a=1 时,求 f(x)的极值点. (2)求 y ? f ( x) 的单调区间; (3)设 g ( x) ? x 2 ? 2 x ,当 a ? 值范围.

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2ln x(a ? R) . 2

1 时,若对任意 x1 , x2 ? (0,2] , ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求 a 的取 2

4

蚌埠二中 2015-2016 学年度高二第二学期 期中考试数学(文)试题答案 一.选择题:(选择每题 5 分) 1
学+科+网]

[ 来源:

2 D

3 B 14. ?

4 C

5 A 15. 2550

6 D

7 B

8 D

9 B

10 C

11 C

12 A

A

二.填空题: 13. (0,2)

16. (0,1/3e)

6
三.解答题: 17.解: (1) 5 ??????.5 分 (2)1 ??????.10 分 18. 解: (1)f ′(x)=-3x +6x+9. 令 f ′(x)<0,解得 x<-1,或 x>3, ∴函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)和(3,+∞).??????6 分 (2)15x+y+27=0??..............................................???????12 分 19. 解: (1) x ;?????4 分 ? 6, y ? 79.67 , (2)由散点图知,y 与 x 有线性相关关系, 设回归直线方程: ? y ? bx ? a , 3001 ? 6 * 6 * 79.67 , a ? 51.17
2

b?

∴ 回归直线方程 y ?

244 ? 6 * 36

? 4.75

? 4.75x ? 51.17 .???8 分

(3)-2.92????????????????12 分 20. 解: (1)曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 4 x , 直线 l 的普通方程 x ? y ? 2 ? 0 . ??????????? 6 分

(2)直线错误!未找到引用源。的参数方程为错误!未找到引用源。(t 错误!未找到引用源。为参数), 代入 y =4x 错误!未找到引用源。, 得到 t ? 12 2t ? 48 ? 0 错误!未找到引用源。,设 M,N 对应的参数分
2

2

别为 t1,t2 则 t1 ? t 2 ? 12 2 , t1t 2 ? 48 ? 0 所以|PM|+|PN|=|t1+t2|= 12 2 21. 解:
[来源:Zxxk.Com]

???????????12 分

a 5 ? 2 b 2 5 ? ? ? a 5 x2 2 所以 b=1,所以椭圆方程为 +y =1???????????5 分
2

(1)由题可知 ? c ? 2 5 .解得 a ?

? 5, c ? 2

5 (2)由题意,可设直线 l 的方程为 x=my+2, 则点 M 到直线 l 的距离 d

?

8 1? m

.
2

5

x=my+2, ? ? 2 由?x 2 +y =1 ? ?5

得(m +5)y +4my-1=0.

2

2

4m 1 ,y1y2=- 2 m2+5 m +5 2 2 2 2 2 2 于是 AB= ?x1-x2? +?y1-y2? = ?1+m ??y1-y2? = ?1+m ?[?y1+y2? -4y1y2] 2 2 16m 4 2 5?m +1? 2 = ?1+m ?[ 2 ]= . 2+ 2 2 ?m +5? m +5 m +5 2 2 8 5· m +1 8 5· m +1 8 5 8 5 从而 S= = = ≤ =2 5. 2 2 m +5 ?m +1?+4 4 4 2 2 m +1+ 2 2 m +1· 2 m +1 m +1 设 l 与 E 的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 y1+y2=- 当且仅当

m2+1=

4

m2+1

,即 m=± 3时等号成立.

故当 m=± 3时,S 最大,此时,直线 l 的方程为 x= 3y+2 或 x=- 3y+2,即 x- 3y-2=0 或 x+ 3y-2=0. ?????????12 分 法二:S=1/2*|MF2|*|y1-y1| 22. 解: f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ?

2 ( x ? 0) . x

????1 分 ????3 分

(Ⅰ)f(x)的极值点为 x=1 和 x=2 (Ⅱ) f ?( x ) ?

( ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) . x ①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ? 1 ? 0 , 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ; 在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) ,单调 递减区间是 (2, ??) . 1 1 1 1 ②当 0 ? a ? 时, ? 2 ,在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ) 上 f ?( x) ? 0 , 2 a a a 1 1 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 (2, ) . a a 2 1 ( x ? 2) ③当 a ? 时, f ?( x) ? , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ??) . 2x 2 1 1 1 ④当 a ? 时,0 ? 1 ? 2 , 在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) a a 2 a 1 1 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) . a a
(Ⅲ)由已知,在 (0, 2] 上有 因为
min

f

g ( x ) ? ?1,由(Ⅱ)可知,

max

?g

????8 分
min



1 当 a ? 时, f ( x ) 在 (0, 2] 上单调递增, 2 故 f ( x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 ,
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

所以只需, ? 2a ? 2 ? 2 ln 2 ? ?1,解得 a 故 ln 2 ? 1

? ln 2 ?

2

?a?

1 2

1, 2

????12 分

6

7



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