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1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)



三角函数
1.4.2正弦函数余弦函数的性质 (二)

复习:正弦函数对称性
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2



?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

对称轴:

x?

?
2

? k? , k ? Z

对称中心: ( k? ,0) k ? Z

复习:余弦函数对称性
y
1

?3? 5? ? 2

' P ?2? 3? ?? ?

2

? ? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

P

5? 2

3?

x

对称轴: x ? ? ? ? ,0,? , 2? ?
x ? k? , k ? Z
3? 5? 对称中心: ?( ? ,0),( ,0),( ,0),( ,0)? 2 2 2 2 (

?

?

?
2

? k? ,0) k ? Z

? 求 y ? sin(2 x ? ) 函数的对称轴和对称中心
3

?

例 题
?
3

解(1)令

z ? 2x ?



y ? sin(2 x ?

?
3

) ? sin z

y ? sin z
2x ?

的对称轴为 z ?
?
3 ?

?
2

? k? , k ? Z

?
2

? k?
x?

解得:对称轴为
(2) y ? sin z

?
12

?k

?
2

,k ? Z

的对称中心为 ( k? ,0) , k ? Z
2x ?

z ? k?

?
3

? k?

x??

?
6

?k

?
2

对称中心为 ( ?

?
6

?k

?
2

,0) , k ? Z

4.正弦余弦函数的单调性
函数 y ? f ( x),若在指定区间任取 x1、x2 , 且 x1 ? x2 ,都有:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则f(x)在这个区间上是增函数. 1、__________ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则f(x)在这个区间上是减函数. 2、__________
函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。

增函数:上升

减函数:下降

观察正余弦函数的图象,探究其单调性

探究:正弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

5? 3? ? ? 3? 5? … … [? , ]、 [ , ] 上时, 当 在区间 [? ,? ]、

x

2

2

2 2

2

2

曲线逐渐上升,sinα的值由 ? 1增大到 1 。
7? 5? 3? ? ? 3? 5? 7? [? , ? ]、 [ , ]、 [ , ]… 当x在区间 … [? , ? ]、 2 2 2 2 2 2 2 2

上时,曲线逐渐下降, sinα的值由1减小到 ? 1 。

探究:正弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

2 2 都是增函数,其值从-1增大到1; ? 3? 而在每个闭区间[ ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z )上都是 2 2 减函数,其值从1减小到-1。

正弦函数在每个闭区间[?

?

? 2k? ,

?

? 2k? ]( k ? Z )

探究:余弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

[??,、 0] [?, 2? ][3? , 4? ]? 上时, 当x在区间?[?3? , ?2? ]、

曲线逐渐上升,cosα的值由? 1 增大到1 。
[0 ? ]、 [2?, 3? ]? 上时, 当x在区间 ?[?2? , ?? ]、,

曲线逐渐下降, sinα的值由1 减小到? 1 。

探究:余弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

由余弦函数的周期性知:
在每个闭区间[k ? 2?

? ? , 2k? ]都是增函数,

其值从-1增大到1 ; 而在每个闭区间 [2k? ,2k? ? ? ] 上都是减函数, 其值从1减小到-1。

练习:不求值,判断下列各式的符号。 23? 17? ? ? 2、 cos( ? ) ? cos( ? ) 1、 sin( ? ) ? sin( ? ) 5 4 18 10 ? ? ? ? ? ? 分析:比较同名函数值的大小,往往可以利用函数的 解: 1、 ? ? ? ? ? ? ? , 且y ? sin x在[? , ]上增函数。 2 10 18 2 2 2 单调性,但需要考虑它是否在同一单调区间上,若是, ? ? ? ? ? sin( ? ) ? sin( ? ) 即sin( ? ) ? sin( ? ) ? 0 即可判断,若不是,需化成同一单调区间后再作判断。
10 18 18 10 17? 17? ? 23? 23? 3? cos( ? ) ? cos ? cos (2)、 cos( ? ) ? cos ? cos 5 5 5 4 4 4 ? 3? ?0 ? ? ? ? , 且y ? cos x在[0, ? ]上是减函数 4 5 3? ? 3? y ?
? cos

23? 17? ? ? ) ? cos(? O ) ??0 ? ? 3? cos( 5? ?2? ? 3? ?? ? ? 52 ? 2 4 2
2
?1

? cos 即 cos -cos ? 0 5 4 51 4

3? 2

2?

5? 2

3?

x

练习
y ? 4 sin x x ?[?? , ? ]
先画草图,然后根据草图判断
y
4

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?4

3? 2

2?

5? 2

3?

x

练习
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

(1)sinx > 0 : (0 ?2k? , ? ?2k? )

k?Z k?Z

(2)sin x ? 0 :( ?? ?2k? , 0 ?2k? )

y

1

(1)cos x ? 0 : (2)cos x ? 0 :

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

(?

?
2

? 2

O

?

?2k?

?1

,

?
2

2

?

3? 2

2?

5? 2

3?

x

?2k? ) ?2k? )

k?Z k?Z

3? ( ?2k? , 2 2

?

探究:正弦函数的最大值和最小值 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

最大值: 当

x?

?
2

有最大值 y ? 1 ? 2k? 时, 有最小值 y ? ?1 ? 2k? 时,

最小值:当x

??

?
2

探究:余弦函数的最大值和最小值 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

最大值: 当

x ? 0 ? 2k? 时, 有最大值 y ? 1
x ??
有最小值 y ? ?1 ? 2k? 时,

最小值:当

例题
求使函数 y ? 3 cos( 2 x ?

?

2 自变量的集合,并写出最大值、最小值。 y
1

) 取得最大值、最小值的

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

分析:令 z ? 2 x ?

?
化未知为已知

2 则 y ? 3 sin z

练习
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

小结
1.能根据图象说出函数的单调性和最值。

2. y ? A sin(?x ? ? ) ? y ? A sin z
化未知为已知



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