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导数综合练习三



1.(2010 年广东卷.文)函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 A. (??,2) 答案 D 解析 D 6.(2009 全国卷Ⅱ理)曲线 y ? ( ) B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? 4 y ? 5 ? 0 B.(0,3) C.(1,4) D. (2,??)

(

)

>f ?( x) ? ( x ? 3)?e x ? ( x ? 3) ? e x ?? ? ( x ? 2)e x ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2 ,故选
x 在点 ?1,1? 处的切线方程为 2x ?1
D. x ? 4 y ? 5 ? 0

A. x ? y ? 2 ? 0 答案 B 解

y? |x?1 ?

2x ?1 ? 2x 1 | ? [ ? ] |x? 1 ? ?1 , x ? 1 (2 x ? 1) 2 (2 x ? 1) 2
故选 B.

故切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 2 ? 0

7.(2009 湖南卷文)若函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 [a, b] 上是增函数, ... 则函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象可能是 ( y ) y y y

o

a

b x

o

a

b x
B.

o

a

b x
C.

o

a

b x

A .

D.

解析

因为函数 y ? f ( x) 的导函数 ...y ? f ?( x) 在区间 [a, b] 上是增函数,即在区间 注意 C 中 y? ? k 为常数噢.

[a, b] 上各点处的斜率 k 是递增的,由图易知选 A.
9.(2009 天津卷理)设函数 f ( x) ? ( )

1 x ? ln x( x ? 0), 则 y ? f ( x) 3

1 e 1 B 在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点。 e 1 C 在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点。 e 1 D 在区间 ( ,1) 内无零点,在区间 (1, e) 内有零点。 e
A 在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用,基础题。 解析 由题得 f `( x ) ?

1 1 x?3 ? ? ,令 f `( x ) ? 0 得 x ? 3 ;令 f `( x ) ? 0 得 3 x 3x

0 ? x ? 3 ; f `( x ) ? 0 得 x ? 3 ,故知函数 f ( x ) 在区间 (0,3) 上为减函数,在区间

( 3,? ?)
为增函数,在点 x ? 3 处有极小值 1 ? ln 3 ? 0 ;又

f (1) ?

1 e 1 1 , f ?e ? ? ? 1 ? 0, f ( ) ? ? 1 ? 0 ,故选择 D。 3 3 e 3e
x 2 ? ?) p : f ( x)? e ? l nx? 2 x ? mx? 在 1 (0,

8. ( 2007 年 江 西 理 9 ) 设

内单调递增,

q : m ≥ ?5 ,则 p 是 q 的
( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 B
2

1.(2009 威海二模)右图是函数 f(x)=x +ax+b 的部分图象,则 函数 g ( x) ? ln x ? A. ( C. ( 答案

f '( x) 的零点所在的区间是
B. (1, 2) D. (2,3)





1 1 , ) 4 2

1 ,1) 2
C

2.(2009 天津重点学校二模)已知函数

y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (??,0)
若a

时不等式

f ( x) ? xf ' ( x) ? 0 成立,

? 30.3 f (30.3 ) , b ? (log? 3) f (log? 3),

1 1 c ? (log 3 ) f (log 3 ) ,则 a, b, c 的大小关系是 9 9
A. a 答案





?b?c
C

B. c

?b?a

C. c

?a?b

D. a

?c?b

3.(2009 嘉兴一中一模)下列图像中有一个是函数

f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? 1 3
( )

(a ? R, a ? 0) 的导数 f ?( x)

的图像,则

f (?1) ?

A. 答案 别 是 ( 答案

1 3
B

B. ?

1 3
3

C.

7 3

D. ?

1 5 或 3 3

1.(江苏省启东中学 2008 年高三综合测试一)函数 y=2x -3x -12x+5 在区间[0,3]上最大值与最小值分

2

)w. B. 5,-4 C. -4,-15 D. 5,-16 A

A. 5,-15

二、填空题 7.(四川省成都市新都一中高 2008 级 12 月月考)已知函数 x=-1 时有极值 0,则 m=_________;n=_________; 本题主要考查函数、导数、极值等基本概念和性质 0 答案 m=2,n=9.

f ( x) ? x3 ? 3mx2 ? nx ? m2 在

12.(2008 年江苏卷 8)直线 答案 ln2-1.

y?

1 x ? b 是曲线 y ? ln x ? x ? 0? 的一条切线,则实数 b= 2



15.(2007 年江苏 13)已知函数

f ( x) ? x3 ?12x ? 8 在区间 [?3,3] 上的最大值与最小值分别

为 M , m ,则 M 答案 32

?m ?



17.(2007 年湖南理 13)函数 答案

3] 上的最小值是 f ( x) ? 12x ? x3 在区间 [?3,



?16

18.(2007 年浙江文 15)曲线 答案

? 3) 处的切线方程是 y ? x3 ? 2x2 ? 4x ? 2 在点 (1,



5x ? y ? 2 ? 0
3

20.(2005 年重庆卷 ) 曲线 y=x 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴、直线 x=2 所围成的三角形的面积为 __________。 答案 8/3

二、填空题 10.(2009 辽宁卷文)若函数 f ( x) ?

x2 ? a 在 x ? 1 处取极值,则 a ? x ?1

解析

f’(x)=

2 x( x ? 1) ? ( x 2 ? a) ( x ? 1)2

f’(1)= 答案 3

3? a =0 ? a=3 4

13.(2009 江苏卷)在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线 C : y ? x3 ?10x ? 3 上,且 在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为 解析 考查导数的几何意义和计算能力。 .

y? ? 3x2 ?10 ? 2 ? x ? ?2 ,又点 P 在第二象限内,? x ? ?2 点 P 的坐标为(-2,
15) 答案 : a ? 1 【命题立意】 :本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质 的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答. 27.(2009 江西卷理) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

ex 函数的单调区间为 x



f ( x) 的单调增区间是: [1, ??) ; 单调减区间是: (??, 0), (0,1] .

三、解答题
21.(2008 年全国一 19)已知函数 (Ⅰ)讨论函数

f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R .

f ( x) 的单调区间;

(Ⅱ)设函数

? 2 1? f ( x) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围. ? 3 3?

解析 当a
2

(1)

f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 求导: f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1

≤ 3 时, ? ≤ 0 , f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 在 R 上递增 ? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为 x ?
?a ? a 2 ? 3 3

当a

2



? ? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? ?a ? a 2 ? 3 ? f ( x) 在 ? ??, , ? 递增, ? ? 递减, ? ? ? ? 3 3 3 ? ? ? ?

? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? ? 递增 ? ? ? 3 ? ?
? ?a ? ? ? (2 ) ? ? ?a ? ? ?
函数。 (Ⅰ)求 b 、 c 的值。 (Ⅱ)求 g ( x) 的单调区间与极值。 解 (Ⅰ)∵

a2 ? 3 2 ≤? 3 3 a2 ? 3 1 ≥? 3 3

,且 a

2

? 3 解得: a ≥

7 4

24.(2005 年安徽卷)设函数

f ? x ? ? x3 ? bx2 ? cx( x ? R) ,已知 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇

f ? x ? ? x3 ? bx2 ? cx ,∴ f ? ? x ? ? 3x2 ? 2bx ? c .从而

g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? (3x2 ? 2bx ? c) = x3 ? (b ? 3) x2 ? (c ? 2b) x ? c 是一个奇函数,所以 g (0) ? 0 得 c ? 0 ,由奇函数定义得 b ? 3 ; 3 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x) ? x ? 6 x ,从而 g ?( x) ? 3x ? 6 ,由此可知,

(??, ? 2) 和 ( 2, ??) 是函数 g ( x) 是单调递增区间;
(? 2, 2) 是函数 g ( x) 是单调递减区间;
g ( x) 在 x ? ? 2 时,取得极大值,极大值为 4 2 , g ( x) 在 x ? 2 时,取得极小值,极小

值为 ?4

2。

20.(2009 北京文) (本小题共 14 分) 设函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ? b(a ? 0) . (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间与极值点. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识, 考查综合分析和解决问题的能力. (Ⅰ) f ' ? x ? ? 3x2 ? 3a , ∵曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,
' ? ?3 ? 4 ? a ? ? 0 ?a ? 4, ? f ? 2? ? 0 ? ?? ?? ? ? f ? 2? ? 8 ?8 ? 6a ? b ? 8 ?b ? 24. ?

∴?

' 2 (Ⅱ)∵ f ? x ? ? 3 x ? a

?

? ? a ? 0? ,

当 a ? 0 时, f

'

? x? ? 0 ,函数 f ( x) 在 ? ??, ??? 上单调递增,

此时函数 f ( x) 没有极值点. 当 a ? 0 时,由 f ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a ,

? ? 当 x ? ? ? a , a ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减, 当 x ? ? a , ?? ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增,
' 当 x ? ??, ? a 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增, ' '

∴此时 x ? ? a 是 f ( x) 的极大值点, x ? 22.(2009 山东卷文)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

a 是 f ( x) 的极小值点.

1 3 ax ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3

(1)当 a , b 满足什么条件时, f ( x) 取得极值? (2)已知 a ? 0 ,且 f ( x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围. 解: (1)由已知得 f '( x) ? ax2 ? 2bx ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 ax ? 2bx ? 1 ? 0 ,
2

f ( x) 要取得极值,方程 ax 2 ? 2bx ? 1 ? 0 必须有解,
所以△ ? 4b ? 4a ? 0 ,即 b ? a ,
2 2

此时方程 ax ? 2bx ? 1 ? 0 的根为
2

?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a ?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a , x2 ? , x1 ? ? ? 2a a 2a a
所以 f '( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 a ? 0 时, x f ’(x) f (x) (-∞,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,+∞) + 增函数

所以 f ( x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 当 a ? 0 时, x f ’(x) f (x) (-∞,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,+∞) - 减函数

所以 f ( x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 综上,当 a , b 满足 b ? a 时, f ( x) 取得极值.
2

2 (2) 要使 f ( x) 在区间 (0,1] 上单调递增, 需使 f '( x) ? ax ? 2bx ? 1 ? 0 在 (0,1] 上恒成

立. 即b ? ?

ax 1 ax 1 ? , x ? (0,1] 恒成立, 所以 b ? (? ? ) max 2 2x 2 2x

1 2 a ( x ? ) ax 1 a 1 a ? 设 g ( x) ? ? , g '( x) ? ? ? 2 ? , 2 2x 2 2x 2 x2
令 g '( x) ? 0 得 x ?

1 1 或x?? (舍去), a a

当 a ? 1 时, 0 ?

1 ax 1 1 ? 1 ,当 x ? (0, 单调增函数; ) 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? a 2 2x a

当 x?(

ax 1 1 单调减函数, ,1] 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 2 2x a

所以当 x ?

1 1 )?? a. 时, g ( x) 取得最大,最大值为 g ( a a

所以 b ? ? a 当 0 ? a ? 1 时,

ax 1 1 ? 1 ,此时 g '( x) ? 0 在区间 (0,1] 恒成立,所以 g ( x) ? ? ? 在 2 2x a

区 间 ( 0 , 1] 上 单 调 递 增 , 当 x ? 1 时 g ( x) 最 大 , 最 大 值 为 g (1 )? ?

a ?1 ,所以 2

b??

a ?1 2
当 0 ? a ? 1 时, b ? ?

综上,当 a ? 1 时, b ? ? a ;

a ?1 2

【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最 值,函数在区间上为单调函数 ,则导函数在该区间上的符号确定 ,从而转为不等式恒成 立,再转为函数研究最值 .运用函数与方程的思想 ,化归思想和分类讨论的思想解答问 题. 22.设函数 f ( x) ?

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a>1 3

(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。 解析 本题考查导数与函数的综合运用能力, 涉及利用导数讨论函数的单调性, 第

一问关键是通过分析导函数, 从而确定函数的单调性, 第二问是利用导数及函数的最 值,由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。

解析

(I) f ?( x) ? x 2 ? 2(1 ? a) x ? 4a ? ( x ? 2)(x ? 2a)

由 a ? 1 知,当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 (??,2) 是增函数; 当 2 ? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 (2,2a) 是减函数; 当 x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 (2a,??) 是增函数。 综上,当 a ? 1 时, f ( x ) 在区间 (??,2) 和 (2a,??) 是增函数,在区间 (2,2a) 是减函 数。 (II)由(I)知,当 x ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 2a 或 x ? 0 处取得最小值。

1 f (2a) ? (2a) 3 ? (1 ? a)( 2a) 2 ? 4a ? 2a ? 24 a 3 4 ? ? a 3 ? 4a 2 ? 24 a 3
f (0) ? 24a
由假设知

?a ? 1 ? ? f (2a) ? 0, ? f (0) ? 0, ?

?a ? 1, ? 4 ? 即 ?? a(a ? 3)(a ? 6) ? 0, ? 3 ? ?24a ? 0.

解得 1<a<6

故 a 的取值范围是(1,6)
26.(2009 江西卷文) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6x ? a . 2

(1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 解析 (1) f ( x) ? 3x ? 9x ? 6 ? 3( x ?1)( x ? 2) ,
' 2 ' 2

因为 x ? (??, ??) , f ( x) ? m , 即 3x ? 9 x ? (6 ? m) ? 0 恒成立, 所以 ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得 m ? ?

3 3 ,即 m 的最大值为 ? 4 4

' ' ' (2) 因为 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ;

所以 当 x ? 1 时, f ( x) 取极大值 f (1) ?

5 ?a; 2

当 x ? 2 时, f ( x) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ; 故当 f (2) ? 0 或 f (1) ? 0 时, 方程 f ( x) ? 0 仅有一个实根. 解得 a ? 2 或 a ? 31.(2009 四川卷文) (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ? x3 ? 2bx2 ? cx ? 2 的 图 象 在 与 x 轴 交 点 处 的 切 线 方 程 是

5 . 2

y ? 5x ? 10 。
(I)求函数 f ( x) 的解析式; (II)设函数 g ( x) ? f ( x) ?

1 mx ,若 g ( x) 的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函 3

数 g ( x) 取得极值时对应的自变量 x 的值. 解析 (I)由已知,切点为(2,0),故有 f (2) ? 0 ,即 4b ? c ? 3 ? 0 ……①

2 又 f ?( x) ? 3x ? 4bx ? c ,由已知 f ?(2) ? 12 ? 8b ? c ? 5 得 8b ? c ? 7 ? 0 ……②

联立①②,解得 b ? ?1, c ? 1 . 所以函数的解析式为 f ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2
3 2

…………………………………4 分

(II)因为 g ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2 ?
3 2

1 mx 3

令 g ?( x) ? 3x ? 4 x ? 1 ?
2

1 m?0 3
2

当函数有极值时,则 ? ? 0 ,方程 3 x ? 4 x ? 1 ? 由 ? ? 4(1 ? m) ? 0 ,得 m ? 1 . ①当 m ? 1 时, g ?( x ) ? 0 有实数 x ?

1 m ? 0 有实数解, 3

2 2 ,在 x ? 左右两侧均有 g ?( x ) ? 0 ,故函数 3 3

g ( x) 无极值
②当 m ? 1 时, g ?( x) ? 0 有两个实数根

1 1 x1 ? (2 ? 1 ? m ), x2 ? (2 ? 1 ? m ), g ?( x), g ( x) 情况如下表: 3 3

x
g ?( x)
g ( x)

(??, x1 )
+ ↗

x1
0 极大值

( x1 , x2 )


x2
0 极小值

( x2 ? ?)
+ ↗

所以在 m ? (??,1) 时,函数 g ( x) 有极值; 当x?

1 1 (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极大值;当 x ? (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极小值; 3 3

…………………………………12 分 33.(2009 湖南卷文) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx 的导函数的图象关于直线 x=2 对称.
3 2

(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ) 若 f ( x) 在 x ? t 处取得最小值, 记此极小值为 g (t ) , 求 g (t ) 的定义域和值域。
2 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 2bx ? c .因为函数 f ?( x ) 的图象关于直线 x=2 对称,

所以 ?

2b ? 2 ,于是 b ? ?6. 6
3 2 2 2

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, f ( x) ? x ? 6x ? cx , f ?( x) ? 3x ?12x ? c ? 3( x ? 2) ? c ?12 . (ⅰ)当 c ? 12 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 无极值。 (ii)当 c<12 时, f ?( x) ? 0 有两个互异实根 x1 , x2 .不妨设 x1 < x2 ,则 x1 <2< x2 . 当 x< x1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 (??, x1 ) 内为增函数; 当 x1 <x< x2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ( x1 , x2 ) 内为减函数; 当 x ? x2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ( x2 , ??) 内为增函数. 所以 f ( x) 在 x ? x1 处取极大值,在 x ? x2 处取极小值. 因此,当且仅当 c ? 12 时,函数 f ( x) 在 x ? x2 处存在唯一极小值,所以 t ? x2 ? 2 .
2 于是 g (t ) 的定义域为 (2, ??) .由 f ?(t ) ? 3t ?12t ? c ? 0 得 c ? ?3t ? 12t .
2

于是 g (t ) ? f (t ) ? t ? 6t ? ct ? ?2t ? 6t , t ? (2, ??).
3 2 3 2

当 t ? 2 时, g ?(t ) ? ?6t 2 ? 12t ? 6t (2 ? t ) ? 0, 所以函数 g (t ) 在区间 (2, ??) 内是减函数,故 g (t ) 的值域为 (??,8). 36.(2009 辽宁卷文) (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? e x (ax 2 ? x ? 1) ,且曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与 x 轴平行。 (2)求 a 的值,并讨论 f(x)的单调性; (1)证明:当 ? ? [0, 解析

?
2

]时, f( cos ? ) ? f(sin? ) ? 2

(Ⅰ) f '( x) ? e x (ax2 ? x ? 1 ? 2ax ? 1) .有条件知, ………2 分 于

f '(1) ? 0 ,故 a ? 3? 2a ? 0? a?? 1 .
是 f '( x) ? ex (? x2 ? x ? 2) ? ?e x ( x ? 2)( x ? 1) . 故当 x ? (??, ?2) ? (1, ??) 时, f '( x) <0; 当 x ? (?2,1) 时, f '( x) >0. 从而 f ( x) 在 (??, ?2) , (1, ??) 单调减少,在 (?2,1) 单调增加.

………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) 在 [0,1] 单调增加,故 f ( x) 在 [0,1] 的最大值为 f (1) ? e , 最小值为 f (0) ? 1 . 从而对任意 x1 , x2 ? [0,1] ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1 ? 2 . 而当 ? ? [0, 从而 ………10 分

?
2

] 时, cos ? ,sin ? ? [0,1] .
………12 分

f (cos? ) ? f (sin? ) ? 2

39.(2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ?1, a ? 0
3

? ? ? 求 f ( x) 的单调区间;
直线 y=m 与 y ? ? ?? ? 若 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值, 求 m 的取值范围。

f ( x) 的图象有三个不同的交点,

解析

(1) f ' ( x) ? 3x2 ? 3a ? 3( x2 ? a),

当 a ? 0 时,对 x ? R ,有 f ' ( x) ? 0, 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 (??, ??) 当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 解得 x ? ? a 或 x ? 由 f ' ( x) ? 0 解得 ? a ? x ?

a;

a,

当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 (??, ? a ),( a , ??) ; f ( x) 的单调减区间为

(? a , a ) 。
(2)因为 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值, 所以 f ' (?1) ? 3? (?1)2 ? 3a ? 0,?a ? 1. 所以 f ( x) ? x ? 3x ?1, f ( x) ? 3x ? 3,
3 ' 2

由 f ( x) ? 0 解得 x1 ? ?1, x2 ? 1 。
'

由(1)中 f ( x) 的单调性可知, f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值 f (?1) ? 1 , 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 。 因为直线 y ? m 与函数 y ? f ( x) 的图象有三个不同的交点,又 f (?3) ? ?19 ? ?3 ,

f (3) ? 17 ? 1 ,
结合 f ( x) 的单调性可知, m 的取值范围是 (?3,1) 。 44.(2009 天津卷理) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? 2a ? 3a)e ( x ? R), 其中 a ? R
2 2 x

(1)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率; (2)当 a ?

2 时,求函数 f ( x) 的单调区间与极值。 3

本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等 基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分 12 分。

(I)解析

当a ? 0时,f ( x) ? x 2 e x ,f ' ( x) ? ( x 2 ? 2x)e x,故f ' (1) ? 3e.

所以曲线y ? f ( x)在点(1, f (1))处的切线的斜率为 3e.
(II) 解:f ' ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? 2a 2 ? 4a e x .

?

?

令f ' ( x) ? 0,解得 x ? ?2a,或 x ? a ? 2.由a ?
以下分两种情况讨论。 (1) 若a >

2 知, ? 2a ? a ? 2. 3

2 ,则 ? 2a < a ? 2 .当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3
? 2a

x

?? ?, ? 2a ?
+ ↗

?? 2a,a ? 2?
— ↘

a?2

?a ? 2, ? ??
+ ↗

0 极 大值

0 极 小值

所以f ( x)在(??, ? 2a), (a ? 2, ? ?)内是增函数,在 (?2a,a ? 2)内是减函数 .

函数f ( x)在x ? ?2a处取得极大值 f (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a . 函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极小值 f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 .
(2) 若a <

2 ,则 ? 2a > a ? 2 ,当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3
a?2

x

?? ?,a ? 2?
+ ↗

?a ? 2, ? 2a ?
— ↘

? 2a

?? 2a, ? ??
+ ↗

0 极 大值

0 极 小值

所以f ( x)在(??,a ? 2), (?2a, ? ?)内是增函数,在 (a ? 2, ? 2a)内是减函数。

函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极大值 f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 . 函数f ( x)在x ? ?2a处取得极小值 f (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a .
46.(2009 福建卷文) (本小题满分 12 分)

1 3 x ? ax 2 ? bx, 且 f '(?1) ? 0 3 (I)试用含 a 的代数式表示 b ;
已知函数 f ( x) ? (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间;

( Ⅲ ) 令 a ? ?1 , 设 函 数 f ( x) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处 取 得 极 值 , 记 点

M ( x1 , f ( x1 )), N ( x2 , f ( x2 )) ,证明:线段 MN 与曲线 f ( x) 存在异于 M 、 N 的公共
点; 解法一: (I)依题意,得 f '( x) ? x2 ? 2ax ? b 由 f '(?1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 得 b ? 2a ? 1 (Ⅱ)由(I)得 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (2a ? 1) x ( 3

故 f '( x) ? x2 ? 2ax ? 2a ?1 ? ( x ? 1)( x ? 2a ?1) 令 f '*( x) ? 0 ,则 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2a ①当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 当 x 变化时, f '( x) 与 f ( x) 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

(??,1 ? 2a)
+ 单调递增

(?2a, ?1)
— 单调递减

(?1 ? ?)
+ 单调递增

由 此 得 , 函 数 f ( x) 的 单 调 增 区 间 为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) , 单 调 减 区 间 为

(1 ? 2a, ?1)
②由 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 ,此时, f '( x) ? 0 恒成立,且仅在 x ? ?1 处 f '( x) ? 0 , 故函数 f ( x) 的单调区间为 R ③ 当 a ? 1 时 , 1 ? 2a ? ?1, 同 理 可 得 函 数 f ( x) 的 单 调 增 区 间 为 (??, ?1) 和

(1 ? 2a, ??) ,单调减区间为 (?1,1 ? 2a)
综上: 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为

(1 ? 2a, ?1) ;
当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 R; 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单调减区间为

(?1,1 ? 2a)
(Ⅲ)当 a ? ?1 时,得 f ( x) ?
3

1 3 x ? x 2 ? 3x 3

由 f '( x) ? x ? 2x ? 3 ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 3 由(Ⅱ)得 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3) 所以函数 f ( x) 在 x1 ? ?1.x2 ? 3 处取得极值。 故 M (?1, ).N (3, ?9) 所以直线 MN 的方程为 y ? ?

5 3

8 x ?1 3

1 ? y ? x 2 ? x 2 ? 3x ? ? 3 3 2 由? 得 x ? 3x ? x ? 3 ? 0 ? y ? ? 8 x ?1 ? 3 ?
令 F ( x) ? x ? 3x ? x ? 3
3 2

易得 F (0) ? 3 ? 0,F (2)? ? 3? 0,而 F ( x) 的图像在 (0, 2) 内是一条连续不断的曲 线, 故 F ( x) 在 (0, 2) 内存在零点 x0 , 这表明线段 MN 与曲线 f ( x) 有异于 M , N 的公共点 解法二: (I)同解法一 (Ⅱ)同解法一。 ( Ⅲ ) 当 a ? ?1 时 , 得 f ( x ) ?

1 3 2 x ? x 2 ? 3x , 由 f ' ( x )? x ,得 ? 2x? 3? 0 3x

x1 ? ?1, x2 ? 3
由(Ⅱ)得 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3) ,所以函

数 f ( x) 在 x1 ? ?1, x2 ? 3 处取得极值, 故 M (?1, ), N (3, ?9) 所以直线 MN 的方程为 y ? ?

5 3

8 x ?1 3

1 3 ? y ? x ? x 2 ? 3x ? ? 3 3 2 由? 得 x ? 3x ? x ? 3 ? 0 8 ? y ? ? x ?1 ? 3 ?
解得 x1 ? ?1, x2 ? 1.x3 ? 3

? x1 ? ?1 ? x2 ? 1 ? x3 ? 3 ? ? ?? 5 ? 11 ? y1 ? , ? y2 ? ? , ? y3 ? ?9 ? 3 ? 3 ?
所以线段 MN 与曲线 f ( x) 有异于 M , N 的公共点 (1, ?

11 ) 3

47.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分。 48.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分。 (1) . . . . . .16 分

49.(2009 重庆卷理) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 8 分)
2 设函数 f ( x) ? ax ? bx ? k (k ? 0) 在 x ? 0 处取得极值, 且曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1))

处的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 . (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ?

ex ,讨论 g ( x) 的单调性. f ( x)
2

解(Ⅰ)因 f ( x) ? ax ? bx ? k (k ? 0), 故f ?( x) ? 2ax ? b 又 f ( x) 在 x=0 处取得极限值,故 f ?( x) ? 0, 从而 b ? 0 由曲线 y= f ( x) 在(1,f(1) )处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 相互垂直可知

该切线斜率为 2,即 f ?(1) ? 2, 有2a=2,从而a=1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

g ( x) ?

ex (k ? 0) x2 ? k

g ?( x) ?

ex ( x2 ? 2x ? k ) (k ? 0) ( x 2 ? k )2

令 g ?( x) ? 0, 有x2 ? 2 x ? k ? 0 (1)当 ? ? 4 ? 4k ? 0, 即当k>1时,g?(x)>0在R上恒成立,

故函数g(x)在R上为增函数
(2)当 ? ? 4 ? 4k ? 0, 即当k=1时, g ?( x) ? K=1 时,g(x)在 R 上为增函数 (3) ? ? 4 ? 4k ? 0,即当0<k<1时, 方程 x ? 2 x ? k ? 0 有两个不相等实根
2

e x ( x ? 1)2 ? 0( x ? 0) ( x 2 ? k )2

x1 ? 1? 1? k , x2 ? 1? 1? k
当 x ? (??,1 ? 1 ? k )是g?( x) ? 0, 故g ( x)在(? ?,1 ? 1 ? k )上为增 函数 当 x? 时,g ?( x) ? 0, 故 g ( x)在( 上为减函 ( 1 ? 1 ? k ,1 ? 1 ? k) 1 ? 1 ? k ,1 ? 1 ? k) 数 时, g ?( x) ? 0, 故 g ( x)在( 上为增函数 x? ( 1 ? 1 ? k,+?) 1 ? 1 ? k,+?) 50.(2009 重庆卷文) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 7 分, (Ⅱ)问 5 分)
2 已知 f ( x) ? x ? bx ? c 为偶函数,曲线 y ? f ( x) 过点 (2,5) , g ( x) ? ( x ? a) f ( x) .

(Ⅰ)求曲线 y ? g ( x) 有斜率为 0 的切线,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若当 x ? ?1 时函数 y ? g ( x) 取得极值,确定 y ? g ( x) 的单调区间.
2 解: (Ⅰ)? f ( x) ? x ? bx ? c 为偶函数,故 f (? x) ? f ( x) 即有

(? x)2 ? b(? x) ? c ? x2 ? bx ? c 解得 b ? 0

又曲线 y ? f ( x) 过点 (2,5) ,得 22 ? c ? 5, 有 c ? 1

? g ( x) ? ( x ? a) f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? a 从 而 g ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1 , ? 曲 线
y ? g ( x) 有斜率为 0 的切线,故有 g ' ( x) ? 0 有实数解.即 3x2 ? 2ax ? 1 ? 0 有实数
解.此时有 ? ? 4a ? 12 ≥ 0 解得
2

? a ? ??, ? 3 ? ? ? ? 3, ??
围: a ? ??, ? 3 ? ? ? 3, ??

?

?









a









?

?

?

?

(Ⅱ)因 x ? ?1 时函数 y ? g ( x) 取得极值,故有 g ' (?1) ? 0 即 3 ? 2a ? 1 ? 0 ,解得

a?2
又 g ( x) ? 3x ? 4 x ? 1 ? (3x ? 1)( x ? 1)
' 2 ' 令 g ( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? ?

1 3

当 x ? (??, ?1) 时, g ' ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 (??, ?1) 上为增函数
' 当 x ? ( ?1, ? ) 时, g ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 ( ?1, ? ) 上为减函数 ' 当 x ? (? , ??) 时, g ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 ( ? , ??) 上为增函数

1 3

1 3

1 3

1 3

3.(2008 年福建卷 12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么 y=f(x),y=g(x)的图象 可能是 ( )

答案

D

4.(2008 年辽宁卷 6)设 P 为曲线 C:

y ? x2 ? 2x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾

斜角的取值范围为

? ?? 0, ,则点 P 横坐标的取值范围为 ? ? 4? ?
B.





A.

1? ? ?1, ? ? ? 2? ?
A

0? ??1,

C.

1? ?0,

D.

?1 ? , 1 ? ?2 ? ?

答案



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