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圆的标准方程教学设计


圆的标准方程教学设计 王会群

一、 教材分析 1. 教学内容

普通高中课程标准实验教科书《数学》必修 2 第二章平面解析 几何初步中 2﹒2 节圆与方程。本节主要研究圆的方程,直线与圆的 位置关系,圆与圆的位置关系,以及他们在生活中的简单运用。 2. 教材的地位与作用

圆是最简单的曲线之一,这节教材安排在学习了直线之后,学 习三大圆锥曲线之前, 旨在熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准 备。同时有关圆的问题,特别是直线与圆的位置问题,也是解析几何 中的基本问题, 这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的 思想方法。应此教学中应加强练习,使学生确实掌握这单元的知识和 方法。 初中教材中对圆的内容降低最低要求。本课是单元的第一课, 和直线方程一样,教学中先设计一个问题情景,让学生讨论,并引导 学生观察圆上点在运动时, 不变的是什么, 抓住圆的本质, 突破难点。 3. 三维目标

(1)知识与技能 A.掌握圆的标准方程,并根据方程写出圆的坐标和圆的半径。 B.会选择适当的坐标系来解决与圆有关的实际问题。

(2)过程与方法 A.实际问题引入,师生共同探讨。 B.探究曲线方程的基本方法。 (3)情感态度与价值观 培养用坐标法研究几何问题的兴趣。 4.教学重点 圆的标准方程及运用 5. 教学难点 求圆的标准方程的条件的确定。 二.教法分析 高一学生,在老师的引导下,已经具备一定探究与研究问题的 能力。所以在设计问题时应考虑周全和灵活性,采用启发式探索 式教学,师生共同探讨,共同研究,让学生积极思考,主动学习。 在教学过程中采用讨论法, 向学生提供具备启发式和思考性的 问题。因此,要求学生在课上讨论,提高学生的探索,推理,想 象,分析和总结归纳等方面的能力。 三.学法分析 从高考发展的趋势看, 高考越来重视学生的分析问题解决问题 的能力。因此,要求学生在学习中遇到问题时,不要急于求成, 而要根据问题提供的信息回忆所学知识,采用转化思想,数形结 合的思想,选择最佳方案加以解决“瞎撞,乱撞”的不良思想。 四.教学过程

项 目

具 体 内 容

教 师 活 动

学 生 教 学 活 动 意 图

复 习

教 师 提

复习直 线的方 程形式, 帮助同 学去联 想圆的 方程

复习上节课内容,思考一下几个问题 什么是直线方程?确定直线方程的要素有哪些? 直线方程有哪几种表达式,都是什么样的 ?

问。

引 入 新 课

上节课我们已经学过直线方程的概念,直线斜率及直线 方程的常见表达式,我们知道了关于 x,y 的二元一次方程都 表示一条直线,那么曲线方程会有怎样的表达式呢?这节课 让我们一起来学习最常见的曲线----圆的方程的第一节圆的 标准方程。 一、新课引入 同学们在初中的时候就已经初步了解了圆的有关知识, 那么哪一位同学来回答圆的概念? 是的, 平面内到一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆。 定点是圆心,定长是圆的半径。圆心和半径分别确定了圆的 位置和大小. 现在我们求以 C(a,b)为圆心, r 为半径的圆的方程
X,似

教 师 在 黑 板 上 引 导 启 发 同 学 们 一 起 建 立 圆 的 标 准 方程, 加 深 学 生 学 习 印 象。

首先我们建立一个直角 坐标系,设点 M(x,y)是圆 上任意一点,那点 M 在圆上 的条件是|MC|=r,那么由我 们已经学过的两点间的距离公式,所说条件可以转化 为方程表示:

将上式两边平方得: (x-a)2+(y-b)2=r2. (1) 显然, 圆上任意一点 M 的坐标 (x, y) 适合方程 (1) ; 如果平面上一点 M 的坐标(x,y)适合方程(1), 可得|MC|=r,则点 M 在圆上。 所以方程(1)是以 C(a,b)为圆心、r 为半径的圆的方 程.我们把它叫做圆的标准方程.
提 醒 学 同学独立

那同学们观察一下圆的标准方程形式有什么特 点?思考一下当圆心在原点时,x 轴上,y 轴上时,圆 的方程是什么? 这是二元二次方程,展开后没有 xy 项,括号内变 数 x,y 的系数都是 1.点(a,b)、r 分别表示圆心的 坐标和圆的半径. 且当圆心在原点即 C(0,0)时,方程为 x2+y2=r2 圆心在 x 轴上时: ( x ? a)2 ? y 2 ? r 2
圆心在 y 轴上时: x 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2

生 注 意 圆 心 在 不 同 位 置 时 圆 的 标 准 方 程 的 不 同 形 式。

思考,给 出答案。

(r ? 0) (r ? 0)

圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆, 所以,只要 a,b,r 三个量确定了且 r>0,圆的方程就给定 了. 这就是说要确定圆的方程, 必须具备三个独立的条件. 注 意,确定 a、b、r,可以根据条件,利用待定系数法来解决. 口头练习

确定圆 的标准 方程的 必要条 件。 教 师 注 意 提 醒 同 学 语 言 精 练 准确。 学生独立 总结。

1 说出下列圆的圆心和半径: (1)(x-3)2+(y-2)2=5; (2)x2+(y-5)2=8; (3)(x+2)2+ y2=m2 (m≠0) 总结:已知圆的标准方程,要能够熟练地求出它 的圆心和半径.
2、说出下列圆的方程: (1) 圆心在原点,半径为 3. (2) 圆心在点 C(3, -4), 半径为 7. (3)圆心在点 C(3,,0).且与 y 轴相切。

总结:根据圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标 准方程. 容易看出,如果点 M。(x。,y。)在圆外,则 点到圆心的距离大于圆的半径 r,即

确定点 与圆的 位置关 系的条 件。

( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2
如果点 M。(x。,y。)在圆内,则点到圆心的 距离小于圆的半径 r,即

( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2
当然我们刚才做的练习题都是比较简单的,那当 遇到比较复杂的条件时,我们怎么来确定圆的标准方 程呢?我们来做下面的一道题。

例 1 写出圆心为 A(2,-3) 半径长等于 5 的

教 师 亲

学生独立

教师书

圆的并判断点 M(5,-7), N(5 ,-1)是否在这个圆上

自 讲 解 例 题 的 解 题 过 程, 看同 学 反 应 情 况 给

思考,自 觉发言。

写板书, 规范答 题过程

例 2 根据下列条件,求圆的方程: (1)

予 适 当 提醒、 启

圆心在点 C(-2,1),并过点 A(2, 发。

-2)的圆。 (2)圆心在点 C(1,3),并与直线
3x ? 4 y ? 6 ? 0 相切的圆的方程
教 师 注 意 多 种 方 法 解 学生独立 思考,自 觉发言。

(3) ⊿ ABC 的三个顶点的坐标分别是

题。

A(5,1),B(7,-3),C(2,-8), 求 它 的 外 接
通过简

圆的方程
教 师 应 该 注 意 提 醒 学 生 熟 练 掌 握 做 文 字 叙 述题。 学生自己 练习做题 步骤,然 后独立思 考。

单的例 题的学 习, 熟悉 圆的标 准方程 的基本 建立方 法。

小结本题:求圆的方程的方法 ⑴ 定义法:直接求出圆心坐标和半径 ⑵ 待定系数法:步骤是 ① 设 圆 的 标 准 方 程 为 : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ② 由条件列方程(组)解之得 a, b, r 的值 ③ 写出圆的标准方程

课堂练习与提高

随堂巩固: 1、已知两点 P1(4,9) P2(6,3) ,求以

题 目 较 为困难, 教 师 在 课 堂 上 讲 解 时 对 同 学 启示。 教师书 写板书, 规范答 题过程

线段 P1P2 为直径的圆的方程,并判断点 M(6, 9)在圆上、在圆内、还是在圆外?

同学在课 堂练习, 一名同学 在黑板演 示

2、已知 Δ AOB 的顶点坐标分别是 A(4,0) , B(0,3) ,O(0,0) ,求 Δ AOB 外接 圆的 方程。

教 师 提 问。

小 组 讨 论,课堂 练习,找 一名同学 叙述思路

本课小结 1.圆的方程的推导步骤。 2.圆的方程的特点:点(a,b)、r 分别表示圆心坐标和圆的半径。 3.由不同的已知条件求解圆的标准方程。 4. 求圆的方程的两种方法:(1)待定系数法;(2)定义法。 5. 数型结合的数学思想

同学总 结, 巩固 加深印 象。

P 124 2.3.4.

作 业

教 学 后 记

板 书 设 计

一、建立圆的标准方程 1、圆的方程的推导 (x-a)2+(y-b)2=r2 2、圆的标准方程的特点: 圆心(a,b)定位,r 定型 3、点与圆的位置关系

2.3.1 圆的标准方程 二.圆的标准方程的应用 例1 例2 例3

复习引入 (擦掉) 学生练习

五.教学后记 教学不仅应向学生传授知识,而更重要的在于让学生参 与获得知识的活动。教师应使学生在解决问题的过程中积极 思考,使其在动手、动口,动脑的过程中懂得如何学习数学, 体会数学知识的来龙去脉,从而培养其主动获取数学知识的 能力。



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