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9.18函数的周期性



要点梳理
1.奇、偶函数的概念

忆一忆知识要点

一般地, 设函数 y=f(x)的定义域为 A.如果对于任意的 x∈A, 都有 f(-x)=f(x) ,那么称函数 y=f(x)是偶函数. 如果对于任意的 x∈A,都有 f(-x)=-f(x),那么称函数 y =f(x)是奇函数. 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴

对称. 2.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ,偶函数 在关于原点对称的区间上的单调性 相反 . (2)在公共定义域内,
①两个奇函数的和是 奇函数 ,两个奇函数的积是偶函数;

要点梳理

忆一忆知识要点

②两个偶函数的和、积都是 偶函数 ; ③一个奇函数,一个偶函数的积是 奇函数 .

3.函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单 调性完全相同; 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调 性,则其单调性恰恰相反. (2)若 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x)=f(|x|). (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0,则必有 f(0)=0. f(0)=0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件.

已知f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,求 当 x<0时,f(x)的解析式,并画出此函数f(x)的 y 图象. 解: ∵当x≥0时,f(x)=x2-2x, ∴当x<0时,-x>0, f(-x) = (-x)2-2(-x) = x2+2x,
又 f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x). 即 -f(x)= (x2+2x), ∴ f(x)=-x2-2x.
2 ? x ? 2 x, x ≥ 0, ? 故f ( x ) ? ? 2 ? ? ? x ? 2 x , x ? 0.

o

x

已知 f(x) 是定义在R上的奇函数,当x>0 时, f(x)=x2+x-1, 求函数f(x)的表达式.
y

? x ? x ? 1, x ? 0, ? f ( x ) ? ?0, x ? 0, 2 ?? ? x ? x ? 1, x ? 0.
2

o

x

周期性 对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定 义域内的每一个值时,都有________________ f(x+T)=f(x) ,那么函数 f(x) k T(k∈Z 且 k≠0) T 叫做这个函数的周期. 就叫做周期函数,______ ____________ f(x+kT)=f(x) . 也是函数 f(x)的周期,即有________________ 注意:若函数 f(x)对定义域中任意 x 满足 f(x+a)=-f(x) 1 2a 或 f(x+a)=± ,则函数 f(x)是周期函数,周期为________ . f ? x?

考点 函数周期性的判断及其应用 示例1 已知函数 f(x)的定义域为 R,若函数 f(x)是奇函数, 函数 f(x+1)是偶函数,则函数 f(x)的周期是________.

分析 求周期即求满足 f(x+T)=f(x)的 T 值.

【答案】4 【解析】∵f(x+1)是偶函数,∴f(-x+1)=f(x+1). ∵f(x)是奇函数, ∴f(-x+1)=f(-(x-1))=-f(x-1). ∴-f(x-1)=f(x+1). 上式 x 用 x+1 代入,得-f(x)=f(x+2). ∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x). ∴T=4. 【点评】紧扣定义 f(x+T)=f(x),其中括号内 x 的系数相 同.先利用奇偶性化成“f”运算括号内 x 的系数相同,再利用解 析式变化成 f(x+T)=f(x).

展示1 (2011 年上海)设函数 g(x)是定义在 R 上以 1 为周期 的函数,若函数 f(x)=x+g(x)在区间[0,1]上的值域为[-2,5], 则函数 f(x)在区间[0,3]上的值域为_____________.

【答案】[-2,7] 【解析】设 x1∈[0,1], ∴f(x1)=x1+g(x1)∈[-2,5]. ∵函数 g(x)是以 1 为周期的函数, 设 x2=x1+1∈[1,2],则 f(x2)=f(x1+1)=x1+1+g(x1)∈[-1,6]. 设 x3=x1+2∈[2,3],则 f(x3)=f(x1+2)=x1+2+g(x1)∈[0,7]. 综上,可知当 x∈[0,3]时,f(x)∈[-2,7].

已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 满 足 f(x) = ? ?log2?1-x?,x≤0, ? 则 f(2 009)的值为( ) ? f ? x - 1 ? - f ? x - 2 ? , x >0 , ? A.-1 B.0 C.1 D.2

示例2

【答案】C 【解析】由已知,得 f(-1)=log22=1,f(0)=0,f(1)=f(0) -f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1- (-1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1, f(6)=f(5)-f(4)=0. 所以函数 f(x)的函数值以 6 为周期重复性出现. 所以 f(2 009) =f(5)=1.故选 C.

展示2 已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(x+1)+f(x)= 0 且在区间[-1,0]上单调递增,设 a=f( 2),b=f(2),c=f(3), 则( ) A.c<a<b B.b<c<a C.c<b<a D.a<b<c

【答案】A 【解析】∵f(x+1)+f(x)=0, ∴f(x+2)+f(x+1)=0. ∴f(x+2)=f(x).∴函数 f(x)是周期为 2 的周期函数. ∴a=f( 2)=f( 2-2), b=f(2)=f(0),c=f(3)=f(-1). ∵函数 f(x)在区间[-1,0]上单调递增, ∴c<a<b.

方法点拨:周期性的判断方法: ①定义法:考虑是否存在非零常数 T,使得对于任意 x 都 有 f(x+T)=f(x); ②公式法:若函数 f(x)的周期为 T,则函数 f(ωx+φ)的周 T 期为|ω|; ③图象法:若函数 f(x) 的图象有两条对称轴 x = a , x = b(b≠a),则函数 f(x)是以 T=2|a-b|为周期的周期函数;若函 数 f(x)的图象有两个对称中心(a,0),(b,0)(a≠b),则函数 f(x)是 以 T=4|a-b|为周期的周期函数.

本课的主要考点是周期性的判定及利用周期性求特定的 函数值或求函数解析式.判定一般用定义,注意式子的变形, 可以用换元法;求函数值有时需要考虑周期性.

1. (2012 年重庆理)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数且 以 2 为周期,则“函数 f(x)为区间[0,1]上的增函数”是“函数 f(x)为区间[3,4]上的减函数”的( ) A.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.充要条件

【答案】D 【解析】 因为函数 f(x)为偶函数, 所以若函数 f(x)在区间[0,1] 上是增函数, 则函数 f(x)在区间[-1,0]上为减函数. 又函数 f(x) 的周期是 2,所以在区间[3,4]上也为减函数.若函数 f(x)在区 间[3,4]上为减函数, 根据函数的周期性, 可知函数 f(x)在区间[- 1,0]上为减函数.又函数 f(x)为偶函数,根据对称性,可知函数 f(x)在区间[0,1]上是增函数.综上,可知“函数 f(x)为区间[0,1] 上的偶函数”是“函数 f(x)为区间[3,4]上的减函数”的充要条 件,选 D.

2.(2012 年浙江文)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 ?3? 的 偶 函 数 , 当 x ∈ [0,1] 时 , f(x) = x + 1 , 则 f ?2? = ? ? _______________________________________.

3 【答案】 2
?3? ?3 ? ? 1? ?1? 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 【解析】f 2 =f 2-2 =f -2 =f 2 = +1= . 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2

3.(2012 年江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数, ?ax+1,-1≤x<0, ? 在区间[-1,1]上,函数 f(x)=?bx+2 ,0≤x≤1, ? x + 1 ? ?1? ?3? ∈R.若 f?2?=f?2?,则 a+3b 的值为________. ? ? ? ? 其中 a,b

【答案】-10 【解析】∵f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数, b+2 ∴f(-1)=f(1),即-a+1= 2 .① ?3? ?3 ? ? 1? ?1? 1 又 f?2?=f?2-2?=f?-2?=-2a+1=f?2?, ? ? ? ? ? ? ? ? b+4 1 ∴- a+1= .② 2 3 联立①②,得 a=2,b=-4.∴a+3b=-10.

函数的奇偶性与周期性
设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 011).

(1)只需证明 f(x+T)=f(x),即可说明 f(x)是周期函数; (2)由 f(x)在[0,2]上的解析式求得 f(x)在[-2,0]的解析式, 进而 求 f(x)在[2,4]上的解析式; (3)由周期性求和.

(1)证明

∵f(x+2)=-f(x),

∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数.
(2)解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2], ∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8, 又 f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].

(3)解

∵f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.

又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =?=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 011)=0.

探究提高
判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x) (T≠0)便可证明函数 是周期函数,且周期为 T,函数的周期性常与函数的其他性 质综合命题,是高考考查的重点问题.

1 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=- ,当 f(x)

变式训练 3

2.5 2≤x≤3 时,f(x)=x,则 f(105.5)=________.
解析 由已知,可得 f(x+4)=f[(x+2)+2] 1 1 =- =- =f(x). 1 f(x+2) - f(x)
故函数的周期为 4. ∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5). ∵2≤2.5≤3,由题意,得 f(2.5)=2.5. ∴f(105.5)=2.5.



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